Polynôme sans facteur carré

Snair
Snair
dans Algèbre
Salut tout le monde !
Soit $K$ un corps commutatif. Soit $Q\in K[X]$ de degré $n\ge1$. Si $Q$ et $Q'$ sont premiers entre eux, alors $Q$ est sans facteur carré dans sa décomposition en produit de polynôme irréductibles.
Mais la réciproque est-elle vraie ?

Merci en avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Si $Q$ est sans facteurs carrés, on écrit $Q = \prod_i P_i$ avec les $P_i$ irréductibles deux à deux distincts. On dérive et on voit qu'aucun $P_i$ ne divise $Q'$ (il faut se convaincre qu'aucun polynôme irréductible ne peut diviser son polynôme dérivé).
  • Snair
    Snair
    @Pirot
    Merci pour votre réponse.
    Pourquoi $P_i$ ne divise $Q'$ ? :-S
  • Poirot
    Poirot
    Dérive, et tu verras.
  • gai requin
    gai requin
    Soit $T$ une indéterminée et $Q=X^2-T\in\mathbb F_2(T)[X]$.
    Alors $Q$ est irréductible mais $Q$ et $Q'=0$ ne sont pas premiers entre eux.
  • Poirot
    Poirot
    @gai requin : oups, je m'étais placé sur un corps parfait quand je m'étais griffonné la réponse :-S
  • Poirot
    Poirot
    Bref, tout ça pour dire que la réciproque est vraie tant qu'il est impossible qu'un polynôme irréductible divise son polynôme dérivé. C'est notamment le cas dans les corps de caractéristique $0$, ou sur les corps finis (mais ce ne sont pas les seuls bien sûr).
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