Forme bilinéaire non dégénérée.

Tu sais définir l'intersection orientée de deux simplexes de dimension $a$ et $n-a$ dans $\R^n$ ? Pourquoi c'est compatible avec l'homologie ?

Si tu prends dans $\R^3$ une courbe sans bord $C$ et un volume $V$ alors $C$ intersecte $\partial V$ en $2n$ points (il y a l'intérieur et l'extérieur de $V$, à chaque intersection $C$ passe de l'un à l'autre) et pour $n$ d'entre eux l'orientation est $+$ et pour les autres c'est $-$, donc le produit d'intersection est $n-n=0$

(pour définir l'orientation on oriente l'espace tangent de $C$ et de $\partial V$ et en chaque point d'intersection on regarde le signe du $\det$ de la concaténation de la base de $T_p C$ suivie de celle de $T_p\partial V$)
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Bref ça donne zéro pour tout bord donc c'est compatible avec l'homologie.

Il te reste plus qu'à comprendre l'aspect unimodular : trouver une base de l'homologie $(B_j)$ de $H_k(X,\Z)$ telle que pour chaque $B_j,\exists D_j\in H_{N-k}(X,\Z), B_j.D_j=1$.

Et résoudre le problème des intersections dégénérées : en perturbant le représentant de la classe d'homologie d'une telle façon que ça ne change pas la classe d'homologie et ça donne que des intersections non-dégénérées.

C'est essentiellement la dualité de Poincaré, prouvé sous cette forme dans Griffith-Harris par exemple. Il faut assumer que $X$ est lisse aussi.

Lupulus voulait dire qu'il faut assumer les hypothèses les plus coûteuses en généralité, telle que la lissité de $X$. « Assumer » était donc un raccourci pour « assumer qu'il faut supposer ».

Si ton produit est bilinéaire et non dégénéré, alors pour tout $V \in H_k(X, \mathbb Q)$, l'application $\alpha \mapsto \varphi(\alpha, V)$ est clairement une forme linéaire sur $H^k(X, \mathbb Q)$ et l'application $V \mapsto (\alpha \mapsto \varphi(\alpha, V))$ est linéaire injective. Si par hasard les dimensions des espaces $H^k(X, \mathbb Q)$ et $H_k(X, \mathbb Q)$ sont les mêmes, cela fournit bien l'isomorphisme voulu.

Tu ne noteras que je ne connais strictement rien aux objets dont tu parles. Ça prouve que ta question relève d'un manque de connaissances de base (ici l'algèbre (bi)linéaire) plutôt que de la compréhension des théories avancées que tu prétends manipuler.