$A[x]$ intégralement clos ssi $A$ l'est

Bonjour,

C'est dans Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 5, n°3, corollaire 2 de la proposition 13.

Les trois ingrédients principaux sont les suivants:
1) Si deux polynômes $P$ et $Q$ (EDIT: UNITAIRES!) sont tels que $PQ$ est à coefficients entiers sur $A$, alors $P$ et $Q$ sont à coefficients entiers sur $A$ (n°3, Proposition 11).
2) Si $R$ est une $A$-algèbre, un polynôme $P$ dans $R[X]$ est entier sur $A[X]$ si et seulement si ses coefficients sont entiers sur $A$ (n°3, Proposition 12).
3) Si $K$ est un corps, $K[X]$ est intégralement clos.

Merci Claude, j'ai effectivement oublié en tentant d'aller vite. Avec des polynômes non unitaires, c'est en effet très faux. Par exemple, $\frac{X}{2}.2X = X^2$ dans $\mathbb{Q}[X]$ sans que $\frac{1}{2}$ soit entier...

Je vais aller me mettre au piquet.