Sous-groupe d'invariance

Bonsoir @reuns :

Voici ce qui me rebute exactement :
Pour toute extension finie $ k' $ de $ k $ dans $ \overline{k} $, on a le diagramme commutatif suivant :
$$ \xymatrix{
Z^r ( X \times_k k' ) \ar[d] \ar[r] & H_{ \mathrm{et} }^{2r} ( X \times_k k' , \mathbb{Q}_{ \ell } (r) ) \ar[d] \\
Z^r ( X \times_k \overline{k} ) \ar[r] & H_{ \mathrm{et} }^{2r} ( X \times_k \overline{k} , \mathbb{Q}_{ \ell } (r) )
} $$
Alors, je cherche à montrer que l'image de : $ H_{ \mathrm{et} }^{2r} ( X \times_k k' , \mathbb{Q}_{ \ell } (r) ) \longrightarrow H_{ \mathrm{et} }^{2r} ( X \times_k \overline{k} , \mathbb{Q}_{ \ell } (r) ) $ est : $ H_{ \mathrm{et} }^{2r} ( X \times_k \overline{k} , \mathbb{Q}_{ \ell } (r) )^{ \mathrm{Gal} ( \overline{k} / k' )} $, mais, je ne sais pas le faire. Est ce que tu sais le faire toi @reuns ?

Merci d'avance.

@reuns :

Sur le lien que tu mentionnes : https://en.wikipedia.org/wiki/Chow_group#Cycle_maps , comment définit-t-on le morphisme : $ CH_i (X) \to H_{2i}^{ \mathrm{BM} } (X , \mathbb{Z} ) $ ?

Merci d'avance.

Bonsoir,

Ici : https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c9.pdf , pages : $ 1 $ et $ 2 $, on trouve le paragraphe suivant :

For any scheme of finite type over a ground field and any integer $ k>0 $, we will define the so-called Chow groups $ A_k (X) $ whose elements are formal linear combination of $ k $ -dimentional closed subvarieties of $ X $, modulo ''boundaries'' in a suitable sense. The formal properties of this groups $ A_k (X) $ will be similar to those of homology groups. Il the ground field is $ \mathbb{C} $, you might even thought of the $ A_k (X) $ as being ''something like'' $ H_{2k} (X , \mathbb{Z} ) $, although these groups are usually different. But, there is a map $ A_{k} (X) \to H_{2k} ( X , \mathbb{Z} ) $, so you can think of elements in the Chow groups as something that determines a homology class, but this map is in general neither injective nor surjective.

Questions,

- Après avoir lu ce pavé, et puisqu'il est dit dans ce pavé que, en général, le morphisme $ A_k (X) \to H_{2k} (X , \mathbb{Z} ) $ n'est ni injective, ni surjective, pouvez vous me donner quelques exemples de morphismes $ A_k (X) \to H_{2k} (X , \mathbb{Z} ) $ qui ne sont pas injectives, ou qu'ils ne sont pas surjectifs ?

Merci d'avance.