Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)
Système tarabiscoté
dans Algèbre
Bonjour,
Résoudre le système
\[
{{xyz} \over {y+z}} = 2, \ {{yzx} \over {z+x}} = 3, \ {{zxy} \over {x+y}} = 6.
\]
A+
Résoudre le système
\[
{{xyz} \over {y+z}} = 2, \ {{yzx} \over {z+x}} = 3, \ {{zxy} \over {x+y}} = 6.
\]
A+
Réponses
-
Sans réfléchir.
sage: var('x y z') (x, y, z) sage: S = [x*y*z-2*(y+z), x*y*z-3*(x+z), x*y*z-6*(x+y)] sage: solve(S,[x,y,z],solution_dict=1) [{z: 0, y: 0, x: 0}] -
Calculs complémentaires.
sage: T = [S[1]-S[0], S[2]-S[0]] sage: solve(T,[x,y,z]) [[x == 0, y == 1/2*r1, z == r1]] sage: map(lambda u:u.subs({z: 2*y}),T) [-3*x, -6*x] sage: map(lambda u:u.subs({z: 2*y, x:0}),S) [-6*y, -6*y, -6*y]En comparant les trois expressions de $xyz$, on trouve un système linéaire (T) dont les solutions sont données par $x=0$ et $z=2y$ ($y$ quelconque). Quand on reporte dans le système initial (dénominateurs chassés), celui-ci devient $-6y=0$. -
Aucune solution, donc.
-
Bonjour,
Aucune solution puisque, nécessairement, $\displaystyle x,y,z \neq 0$ et alors $\displaystyle {1 \over x y} + {1 \over x z} = {1 \over 2}, {1 \over x y} + {1 \over y z} = {1 \over 3}, {1 \over x z} + {1 \over y z} = {1 \over 6}$ et par différence entre les deux premières équations et comparaison à la troisième on trouve $\displaystyle {1 \over yz}=0.$ -
RE
D'accord.
Pour ne pas perdre le rythme, résoudre
\[
x(ax + by + cz) = m, \ y(ax + by + cz) = n, \ z(ax + by + cz) = p.
\]
A+Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos) -
En supposant que les inconnues sont $x$, $y$ et $z$ et que les autres lettres sont des paramètres, que tout ça vit dans $\R$ ou $\C$, en supposant que $am+bn+cp\ne0$ et admet une racine carrée $\delta$, les solutions sont apparemment les triplets $\pm(m/\delta,n/\delta,p/\delta)$.
sage: var('a b c m n p x y z') (a, b, c, m, n, p, x, y, z) sage: S = [x*(a*x+b*y+c*z)-m, y*(a*x+b*y+c*z)-n, z*(a*x+b*y+c*z)-p] sage: solve(S,[x,y,z]) [[x == m/sqrt(a*m + b*n + c*p), y == n/sqrt(a*m + b*n + c*p), z == p/sqrt(a*m + b*n + c*p)], [x == -m/sqrt(a*m + b*n + c*p), y == -n/sqrt(a*m + b*n + c*p), z == -p/sqrt(a*m + b*n + c*p)]] -
Exact.
A+Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos) -
Bon, si un esclave électronique fait ça à notre place, c'est pas de jeu. On va balancer toutes ces machines dans le Rhône, comme les canuts.
-
RE
Pour le premier système, rien que $x = 0$ prouve que la solution du système linéaire n'est pas solution du système initial.
A+Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos) -
RE
Quand il n'y en a plus, il y en a encore
Comme les ensembles de Kantor \[
ax = by = cz, \quad {1 \over x} + {1 \over y} + {1 \over z} = {1 \over d}
\] A+
[Kantor ? :-S AD]Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos) -
sage: S = [a*x-b*y, a*x-c*z, 1/x+1/y+1/z-1/d] sage: solve(S,[x,y,z]) [[x == (a + b + c)*d/a, y == (a + b + c)*d/b, z == (a + b + c)*d/c], [x == 0, y == 0, z == 0]]
On écarte la deuxième solution, ce qui prouve la grande supériorité de la femme sur la machine. -
Je ne distingue pas de femme dans cette affaire.
-
La « flemme » ?
-
bonjour
ce n'est pas le moment de confondre "femme" avec "flemme" !
attention aux réactions des ayatollahs féministes...
cordialement -
Ces systèmes tarabiscotés (joli mot !) proviennent de ce beau Cours d'Algèbre de E. Guitton que Piteux_gore nous a opportunément signalé et dont on peut acheter, pour une somme modique, la réédition BNF-Hachette, si l'on ne se contente pas de la version électronique, pour une fois légale.
Moi j'aime bien le 282. 6 :
$x+y+z=1,\quad x^2+y^2+z^2=13,\quad x^3+y^3+z^3=19$,
qu'on pourrait muscler en changeant les seconds membres
J'aimerais bien en savoir plus sur ce E. Guitton (Ernest ? Eugène ?). Quand nos historiens-des-mathématiques daigneront se pencher sur notre histoire, on pourra mieux connaître ces petits, ces obscurs, ces sans-grade.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Méthode classique : calculer $xy+yz+zx=\bigl((x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)\bigr)/2$ et $xyz=\cdots$ puis résoudre l'équation de degré $3$ correspondante grâce à une solution évidente.
Méthode astucieuse : exprimer $13$ comme somme de trois carrés, constater que la seule solution est $13=3^2+2^2+0^2$, mettre des signes pour que la somme vaille $1$ et constater que la somme des cubes vaut bien $19$.
Méthode sans réfléchir.sage: S = [x+y+z-1, x^2+y^2+z^2-13, x^3+y^3+z^3-19] sage: solve(S,[x,y,z]) [[x == 0, y == 3, z == -2], [x == 0, y == -2, z == 3], [x == 3, y == 0, z == -2], [x == 3, y == -2, z == 0], [x == -2, y == 0, z == 3], [x == -2, y == 3, z == 0]]
-
Bonsoir,
$s_1 = 1$
$s_1^2 - 2s_2 = 13$
$s_1^3 - 3s_1s_2 + 3s_3 = 19$
Donc:
$s_1=1,\ s_2=-6,\ s_3=0\ $ et $\ \{x,y,z\}=\{-2,0,3\}$
Cordialement,
Rescassol -
Je m'essaie à la résolution du système proposé par Chaurien.
Posons $N_1 = x + y + z$, $N_2 = x^2 + y^2 + z^2$, $N_3 = x^3 + y^3 + z^3$. Ce sont les sommes de Newton, et on peut les exprimer en fonction des polynômes symétriques $\sigma_1= x+ y + z$, $\sigma_2 = xy + xz + yz$, $\sigma_3 = xyz$.
En effet, $N_1^2 = N_2 + 2\sigma_2$, et $N_1^3 = N_3 + 3\sigma_1\sigma_2 - 3\sigma_3$
On obtient $\sigma_2 = \frac{1}{2}\left(1 - 13\right)$, soit $\sigma_2 = -6$. Ainsi, $\sigma_3 = \frac{-1}{3}\left(1 - 19 - 3 \times 1 \times (-6)\right)$, c'est-à-dire $\sigma_3 = 0$.
Les nombres $x,y,z$ recherchés sont donc nécessairement les racines du polynôme $X^3 - X^2 - 6X$. Ainsi, les solutions sont exactement toutes les permutations possibles du triplet $(0, 3, -2)$.
J'espère ne pas avoir fait d'erreur idiote de calcul. -
Y en a des qui sont moins paresseux que moi !
-
Tiens j'ai trouvé pareil comme solution $(0,3,-2)$ mais j'ai fais les calculs sur $\Z/ 221 \Z$ (why not ?) Par contre j'ai également trouvé une autre solution $(102, 117, 3)$ et ce n'est pas une permutation !
Remarque : $221 = 17 \times 13$ et si on regarde localement on a une surprise :-D -
$102 \equiv 0 \mod 17$,
$117 \equiv -2 \mod 17$,
$102 \equiv -2 \mod 13$,
$117 \equiv 0 \mod 13$.
C'est fourbe ça. -
Ça me fait penser à des chinoiseries pour le reste.
-
Oui c'est chinois, en gros j'ai "tordu" la solution sur $\Z/17 \Z$ et sur $\Z/13$ et recoller … en fait tu obtiens toutes les solutions en tordant "localement" !
Par exemple : tu prends $(0,3,-2)$ sur $\Z/17\Z$ et tu prends $(3,-2,0)$ sur $\Z/13\Z$ et tu recolles via Bézout $(u,v) \mapsto 52u-51v$ tu obtiens $(68,37,117)$ une autre solution ! -
Pour le plaisir.
$k:=ax=by=cz$
$1/x=a/k$,$\quad1/y=b/k$,$\quad1/z=c/k$
On additionne :
$1/d=(a+b+c)/k$,$\quad k=(a+b+c)d$
$x=k/a=(a+b+c)d/a$
$y=k/b=(a+b+c)d/b$
$z=k/c=(a+b+c)d/c$ -
RE
On peut aller un peu plus vite :
$ax = by = cz = {{a+b+c} \over {{1 \over x} + {1 \over y} + {1 \over z}}} = (a+b+c)d$, etc.
A+.Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos) -
RE @Chaurien http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1919384,1919616#msg-1919616
Edouard Guitton ?
Gustave-Ernest Guitton, ENS 1885, agrégé 1888 (4e)
A+Il arrive qu'un prince ait des scrupules... Une république n'en a jamais. (Aristobule de Samos)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 771 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 28
+23 Invités