Variétés avec $k(X)=k(x,y)$
Bonjour, $k=\C$,
Si $X$ est une variété algébrique lisse régulière de dimension $2$ de corps de fonctions (isomorphe à) $k(x,y)$, alors pour $p\in X$,
l'anneau $O_{X,p}$ des fonctions régulières en $p$ a un seul idéal maximal $(u,v)$ et son corps de fractions est $k(x,y)$.
A-t-on $O_{X,p}\cong k[x,y]_{(x,y)}$ ?
Autrement dit peut-on couvrir $X$ par des ouverts de $\Bbb{A}^2$.
Si $X$ est une variété algébrique lisse régulière de dimension $2$ de corps de fonctions (isomorphe à) $k(x,y)$, alors pour $p\in X$,
l'anneau $O_{X,p}$ des fonctions régulières en $p$ a un seul idéal maximal $(u,v)$ et son corps de fractions est $k(x,y)$.
A-t-on $O_{X,p}\cong k[x,y]_{(x,y)}$ ?
Autrement dit peut-on couvrir $X$ par des ouverts de $\Bbb{A}^2$.
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Réponses
Sauf erreur de ma part,
On a : $ k[x,y]_{ (x,y) } = O_{ \mathrm{Spm} ( k[x,y] ) , 0 } = O_{ \mathbb{A}^{2} (k) , 0 } $.
Alors, tu demandes, est ce que pour tout $ p \in X $, $ O_{ X , p } = O_{ \mathbb{A}^{2} (k) , 0 } $ ?. Je pense que non.
Edit :
Si $ X $ est quasi-affine, oui. ( Par définition ). Non ?
Avant tout un grand merci pour ta question puisqu'en cherchant dans la littérature j'ai été étonné par la réponse qui est ... oui!
Je ne détaille pas parce que je n'ai pas encore le temps de lire, mais le mot clef est «variétés uniformément rationnelles» ("uniformly rational varieties" en anglais), notamment cet article de Bogomolov: dans l'exemple 2.1, l'auteur affirme que les surfaces rationnelles lisses sont uniformément rationnelles, car obtenues par éclatement du plan projectif, du produit de deux droites projectives ou d'une surface de Hirzebruch (je ne le savais pas, et je vais y réfléchir). Je vais lire ça, ça a l'air génial.
Édition: dans l'exemple 2.1 que j'évoque, je me demande tout de même si l'auteur n'a pas uniquement en tête le cas des variétés propres ("complete" dans la question initiale posée par Gromov)...
Soit $ f \ : \ X \to Y $ une application continue entre espaces topologiques.
Soit $ \mathcal{G} $ un préfaisceau sur $ Y $.
Alors, pour tout $ x \in X $, on a : $ f^{-1} \mathcal{G}_x \simeq \mathcal{G}_{f(x)} $.
Edit :
Je n'ai pas vu ça au début :
Cette phrase signifie que : $ \mathcal{K}_X ( X ) = \mathcal{K}_{ \mathbb{A}^{2} (k) } ( \mathbb{A}^{2} (k)) $ avec : $ \mathcal{K} $ est le faisceau des fonctions méromorphes sur $ X $.
Alors, ta question se résume à dire :
Est ce que :
$ \mathcal{K}_X ( X ) = \mathcal{K}_{ \mathbb{A}^{2} (k) } ( \mathbb{A}^{2} (k)) \ \ \Longrightarrow \ \ i_{1}^{-1} O_X ( \{ p \} ) = i_{2}^{-1} O_{ \mathbb{A}^{2} (k)} ( \{ 0 \} ) \ \ \Longleftrightarrow \ \ O_{X,p} = O_{\mathbb{A}^{2} (k) , 0} $.
?
avec : $ i_1 \ : \ \{ x \} \to X $ et $ i_2 \ : \ \{0\} \to \mathbb{A}^{2} (k) $ sont des inclusions.
A réfléchir.
Une question que je me pose c'est si on peut enlever la dernière hypothèse, c'est à dire en gros si tous les anneaux intégralement clos de corps de fraction $\C(x,y)$ sont finiment générés à une localisation près.
Le plus simple c'est de supposer que $X$ est une variété affine complexe, de dimension $2$ dont le corps de fonctions est $\cong \C(x,y)$ et qui est aussi un "complex manifold" (il faut montrer que c'est équivalent à "$X$ est lisse").
Pour $p\in X$, l'hypothèse "complex manifold" dit qu'on nous donne un ouvert $U\ni p$ en topologie complexe avec une paire de fonctions $f,g\in O_X(U)$ qui sont "une carte" $q\in U\to \phi(q)=(f(q),g(q))\in \C^2$. Le terme "carte" veut dire que $\phi$ est bijective, donc que pour $q\in U$, $(f-f(q),g-g(q))$ est l'idéal maximal de $O_{X,q}$.
Réciproquement, si $(r,s)$ est l'idéal maximal de $O_{X,p}$, alors la matrice des dérivées partielles de $\Phi(z)=(r(\phi^{-1}(z)),s(\phi^{-1}(z)))$ est inversible en $z=\phi(p)$, ce qui implique qu'elle est inversible sur un voisinage, et donc $q\to (r(q),s(q))$ est une carte locale d'un ouvert (topologie complexe) contenant $p$ vers $\C^2$.
La question de départ c'est alors si on peut trouver une telle paire $r,s$ telle que $\C(r,s)=Frac(O_{X,p})$. Si et si seulement si c'est le cas alors $q\to (r(q),s(q))$ n'est pas seulement une carte locale en topologie complexe mais aussi un isomorphisme (de variété algébrique) d'un ouvert Zariski de $X$ contenant $p$ vers un ouvert Zariski de $\C^2$.
Sauf erreur de ma part,
Voici un exemple que j'ai construit, mais que je ne sais pas encore s'il fonctionne :
Peux tu vérifier avec moi ? :
Si on prend $ R = \mathbb{C} [ \varphi (x,y) , \phi (x,y) ]_{ ( \varphi (x,y) , \phi (x,y) ) } $ avec : $ \begin{cases} \varphi (x,y ) = x+y \\ \phi (x,y) = xy \end{cases} $.
Alors : $ R = \mathbb{C} [ x+y , xy ]_{ (x+y , xy) } \simeq \mathbb{C} [x,y]_{(x+y , xy) }^{ \mathfrak{S}_{2} } \not \simeq \mathbb{C} [x,y]_{(x,y)} $. Non ?
Et, on a : $ \mathbb{C} (x,y) = \mathbb{C} (xy , x+y ) $.
Non ?
Et $\C(x+y,xy)$ est isomorphe à $\C(X,Y)$ mais $\C(x,y)/\C(x+y,xy)$ est une extension de degré $2$ (tu l'as déjà prouvé en disant que c'est le sous-corps fixé par $S_2$)
Sauf erreur de ma part,
Pour parler de nombres algébriques, il faut que l'anneau en question soit un corps, non ? C'est à dire, il faut que $ \mathbb{C} [xy,x+y] $ soit un corps, non ? Or, $ \mathbb{C} [xy , x+y ] $ est juste un anneau, pas un corps, non ?
Si je ne m'abuse, $ \mathbb{C} [x,y] $ est isomorphe à $ \mathbb{C} [X,Y] $ par le morphisme d'anneau $ f : \mathbb{C} [X,Y] \to \mathbb{C} [x,y] $ définie par : $ f(X)=x $ et $ f(Y)=y $ avec :
$ \mathrm{dim} \mathbb{C} [X,Y] = \mathrm{dim} \mathbb{C} [x,y] = 2 $ ( dimension de Krull ).
D'autre part, $ \mathbb{C} [x,y , x+y] = \mathbb{C} [x,y]^{ \mathfrak{S}_{2} } $ est une sous $ \mathbb{C} $ - algèbre ''stricte'' de $ \mathbb{C} [x,y] $, donc, n'est pas isomorphe à $ \mathbb{C} [x,y] $, non ?
D'où $ \mathbb{C} [xy , x+y] $ n'est pas isomorphe à $ \mathbb{C} [X,Y] $. Non ?
Oui, tu as raison.
Pour $R$ intègre, $a$ est algébrique sur $R$ ça veut dire que $a$ est racine d'un polynôme non-nul $\in R[t]$.
Si $a$ n'est pas algébrique alors le noyau de $R[t]\to R[a]$ c'est ... Et donc $R[a]\cong\ ..$
Peux tu m'écrire la démonstration reuns ?.
Quel lien existe-t-il entre $ \{ X,Y \} $ et $ \{ x , y \} $ ?
Si $ \sigma $ était un isomorphisme, alors tout polynôme : $ P \in \mathbb{C} [X,Y] $ est un polynôme symétrique de $ \mathbb{C} [x,y] $, ce qui n'est pas le cas non ?
ça n'empêche pas que les polynômes rationnels ne sont pas des nombres réels.
Alors, je ne sais pas trouver d'exemples qui correspondent aux critères que tu soulignes. Désolé.
Attendons quelqu'un d'autres. Lupulus, par exemple.
En dimension 1 on comprend les groupes de diviseurs juste en terme du corps de fonctions.
Alors qu'en dimension 2 il faut se référer à une immersion de $X$ dans $\Bbb{A}^n$ (parce que la paire $x,xy$ n'a pas le même diviseur que $x,y$ bien qu'elle génère le même corps de fonctions ainsi que des sous-anneaux isomorphes).
Quand on nous donne une carte locale $U\to \C^2$, où $U$ est un ouvert de $X$ en topologie complexe, ça nous permet de décrire la restriction des diviseurs à $U$, et de décrire comment une paire de fonctions $r,s$ qui génèrent le corps de fonctions $\C(X)$ échouent à générer l'idéal maximal en $p\in U$, et le style de transformation à leur appliquer pour qu'elles génèrent un idéal un peu plus proche de l'idéal maximal.
[En français on utilise le verbe engendrer plutôt que l’anglicisme générer. :-D AD]
Tu fais allusion à un équivalent dans le cas affine du théorème qui dit :
Si $ X $ est un $ A $ - schéma avec $ A $ un anneau, et $ \mathbb{P}_A^n $ l'espace projectif sur $ A $ muni de son faisceau inversible standard $ \mathcal{O} (1) $. Alors :
- Se donner un morphisme $ \varphi \ : \ X \to \mathbb{P}_A^n $ est équivalent à se donner un faisceau inversible $ \mathcal{L} = \varphi^* \mathcal{O} (1) $ sur $ X $ et des sections globales $ s_0 , \dots , s_n $ qui engendrent $ \mathcal{L} $ ?
:-)
La définition d'un morphisme (d'un ouvert dense de $X$) vers $\Bbb{A}^n$ c'est juste la donnée de $n$ fonctions $\in \C(X)$.
Je me demande pour deux variétés lisses complètes avec un même corps de fonctions si $Pic(X),Pic(Y)$ peuvent être vraiment différents. Il y a une fonction birationnelle de $X$ vers $Y$ qui se restreint à un isomorphisme entre des ouverts denses, donc la différence entre $Pic(X)$ et $Pic(Y)$ ne peut se situer que sur un nombre fini de diviseurs exceptionnels (le problème c'est que le point $p$ dont on considère $O_{X,p}$ peut être situé sur un de ces diviseurs). J'imagine qu'on doit tomber sur les histoires de blow up/down pour comprendre comment ces diviseurs exceptionnels changent de $X$ à $Y$.
Il me semble que la différence entre $ Pic(X) $ et $ Pic(Y) $ se situe dans le ''base locus'' d'un ''linear system''. Non ?
Quant à te fournir un exemple, je ne suis pas familier avec ça. En géométrie algébrique, on n'apprend que des choses vagues difficile de leur trouver un sens. Si tu cherches des exemples, il faut se reférer aux cours d'algèbre commutative et non de géométrie algébrique.