Variétés avec $k(X)=k(x,y)$

Bonsoir reuns :

Sauf erreur de ma part,
On a : $ k[x,y]_{ (x,y) } = O_{ \mathrm{Spm} ( k[x,y] ) , 0 } = O_{ \mathbb{A}^{2} (k) , 0 } $.
Alors, tu demandes, est ce que pour tout $ p \in X $, $ O_{ X , p } = O_{ \mathbb{A}^{2} (k) , 0 } $ ?. Je pense que non.

Edit :

reuns a écrit:

Autrement dit peut-on couvrir $X$ par des ouverts de $\Bbb{A}^2$.

Si $ X $ est quasi-affine, oui. ( Par définition ). Non ?

Pour montrer que en général, $ \exists p \in X \ $ : $ \ O_{ X , p } \neq O_{ \mathbb{A}^{2} (k) , 0 } $, il suffit d'adapter la situation à la proposition suivante :
Soit $ f \ : \ X \to Y $ une application continue entre espaces topologiques.
Soit $ \mathcal{G} $ un préfaisceau sur $ Y $.
Alors, pour tout $ x \in X $, on a : $ f^{-1} \mathcal{G}_x \simeq \mathcal{G}_{f(x)} $.

Edit :

Je n'ai pas vu ça au début :

reuns a écrit:

Bonjour, $k=\C$,
$X$ est une variété algébrique lisse régulière de dimension $2$ de corps de fonctions (isomorphe à) $k(x,y)$ ...

Cette phrase signifie que : $ \mathcal{K}_X ( X ) = \mathcal{K}_{ \mathbb{A}^{2} (k) } ( \mathbb{A}^{2} (k)) $ avec : $ \mathcal{K} $ est le faisceau des fonctions méromorphes sur $ X $.
Alors, ta question se résume à dire :
Est ce que :
$ \mathcal{K}_X ( X ) = \mathcal{K}_{ \mathbb{A}^{2} (k) } ( \mathbb{A}^{2} (k)) \ \ \Longrightarrow \ \ i_{1}^{-1} O_X ( \{ p \} ) = i_{2}^{-1} O_{ \mathbb{A}^{2} (k)} ( \{ 0 \} ) \ \ \Longleftrightarrow \ \ O_{X,p} = O_{\mathbb{A}^{2} (k) , 0} $.
?
avec : $ i_1 \ : \ \{ x \} \to X $ et $ i_2 \ : \ \{0\} \to \mathbb{A}^{2} (k) $ sont des inclusions.
A réfléchir.