Arcsinus arcsinum fricat.
Une colle pour math sup
dans Algèbre
Bonjour
Prouver que $$
{{(x - b)(x - c)}\over{(a - b)(a - c)}} + {{(x - c)(x - a)}\over{(b - c)(b - a)}} + {{(x - a)(x - b)}\over{(c - a)(c - b)}} = 1.
$$ A+
Prouver que $$
{{(x - b)(x - c)}\over{(a - b)(a - c)}} + {{(x - c)(x - a)}\over{(b - c)(b - a)}} + {{(x - a)(x - b)}\over{(c - a)(c - b)}} = 1.
$$ A+
Réponses
-
Bonjour,
Ce polynôme de degré au plus 2 coïncide avec le polynôme constant égal à 1 en 3 points : a,b,c. CQFD -
Un trinôme du second degré qui vaut trois fois 1 ?
Lagrange, quand tu nous tiens ! -
Ce que Pytheux_gore a oublié de dire c'est que $x$ $a$ $b$ et $c$ sont des matrices carrées qui commutent et tel que l'expression ait un sens, y a toujours une question deux dans une colle de mpsi, non ?
-
Bonjour,
Pour tous les $a,b,c$ réels distincts deux à deux et tous les $x$ réels on note $\displaystyle f(x)=\sum_{cyc} {(x-b)(x-c)\over (a-b)(a-c)}.$
Cette fonction $f$ est dérivable et on calcule $\displaystyle f’(x)= \sum_{cyc} {2x-(b+c)\over (a-b)(a-c)}={\displaystyle \sum_{cyc} (2x-(b+c))(b-c)\over \displaystyle -\prod_{cyc} (a- b)}=0$ puisque $\displaystyle \sum_{cyc} b-c=0$ et $\displaystyle \sum_{cyc} b^2-c^2=0.$
La fonction $f$ est donc constante avec $f(a)=1.$
Voilà ! -
Et combien vaut $\displaystyle\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_{a,b,c}}
\epsilon(\sigma) \cdot \frac{(x-\sigma_b)(x-\sigma_c)}{(\sigma_a-\sigma_b)(\sigma_a-\sigma_c)}$ ?
Et si on enlève le $\epsilon(\sigma)$ ? -
Bonsoir,
La réponse de Calli est quand même ce qu'il y a de mieux.
Cordialement,
Rescassol -
RE
Entièrement d'accord avec Rescassol.
A+Arcsinus arcsinum fricat. -
:-D
-
En Septembre $2010$, lors d'un Devoir de Sciences-Physiques intitulé "Calculs" de la classe de Seconde $3$ du lycée Louis le Grand, on pouvait trouver, au niveau de l'exercice $7$, l'exercice suivant:
On considère l'équation d'inconnue $x\in\R$:
$${{(x - b)(x - c)}\over{(a - b)(a - c)}} + {{(x - c)(x - a)}\over{(b - c)(b - a)}} + {{(x - a)(x - b)}\over{(c - a)(c - b)}} = 1$$
Un élève affirme:
- "C'est une équation du second degré": Vrai ou Faux ?
- "Cette équation admet trois solutions réelles: $a$, $b$ et $c$.": Vrai ou Faux ?
A noter: l'exercice $5$ de ce même Devoir est:
Justifier le fait que les insectes adhérent au plafond. -
Bonjour,
Sérieusement, quelle est la réponse :
Soit l’équation d’inconnue $x$ réelle : $0 x^2+0 x+1=1.$
Cette équation est-elle du second degré ?
Si c’est non, alors l’exercice précédent est d’une difficulté inouïe puisque le membre de gauche vaut $\displaystyle \sum_{cyc} { b c \over (a-b)(a-c)}$ indépendant de $x$. -
N’est-ce pas la même question que « après soustraction de l’un des membres, obtient-on un polynôme en $x$ du second degré dans l’autre membre ? ».
Je n’ai pas compris YvesM, ce que tu veux nous faire voir. -
Bonjour,
L’équation $0x+1=1$ est-elle d’un premier degré en $x$ ?
Que réponds-tu ? -
Bonsoir,
$0 x^2+0 x+1=1$ et $0 x+1=1$ sont toutes deux des équations de degré $0$.
Cordialement,
Rescassol -
YvesM, je réponds exactement comme Rescassol, que je salue au passage ;-)
-
Bonjour,
Nous sommes d’accord, $0x^2+1=1$ est d’ordre $0.$
Mon propos est donc de dire que l’exercice posé à des élèves (voir @Bbidule dans ce fil) est d’une difficulté inouïe.
Je doute que ces élèves répondent : c’est Faux, c’est une équation de degré $0.$
En effet, le membre de gauche est bel et bien de la forme $0x^2+0x+1=1.$ -
Ha ok. J’ai compris.
La question devrait contenir « au plus 2 ».
Ou, allons-y plus explicitement : « est-ce un polynôme de $\mathbb R_2 [X]$ ? »
Enfin bref, oui, c’est moche...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres