Qu'il est joli garçon, l'assassin de Papa ! (Corbeille, Alcide)
Une colle pour math sup
dans Algèbre
Bonjour
Prouver que $$
{{(x - b)(x - c)}\over{(a - b)(a - c)}} + {{(x - c)(x - a)}\over{(b - c)(b - a)}} + {{(x - a)(x - b)}\over{(c - a)(c - b)}} = 1.
$$ A+
Prouver que $$
{{(x - b)(x - c)}\over{(a - b)(a - c)}} + {{(x - c)(x - a)}\over{(b - c)(b - a)}} + {{(x - a)(x - b)}\over{(c - a)(c - b)}} = 1.
$$ A+
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Réponses
Ce polynôme de degré au plus 2 coïncide avec le polynôme constant égal à 1 en 3 points : a,b,c. CQFD
Lagrange, quand tu nous tiens !
Pour tous les $a,b,c$ réels distincts deux à deux et tous les $x$ réels on note $\displaystyle f(x)=\sum_{cyc} {(x-b)(x-c)\over (a-b)(a-c)}.$
Cette fonction $f$ est dérivable et on calcule $\displaystyle f’(x)= \sum_{cyc} {2x-(b+c)\over (a-b)(a-c)}={\displaystyle \sum_{cyc} (2x-(b+c))(b-c)\over \displaystyle -\prod_{cyc} (a- b)}=0$ puisque $\displaystyle \sum_{cyc} b-c=0$ et $\displaystyle \sum_{cyc} b^2-c^2=0.$
La fonction $f$ est donc constante avec $f(a)=1.$
Voilà !
\epsilon(\sigma) \cdot \frac{(x-\sigma_b)(x-\sigma_c)}{(\sigma_a-\sigma_b)(\sigma_a-\sigma_c)}$ ?
Et si on enlève le $\epsilon(\sigma)$ ?
La réponse de Calli est quand même ce qu'il y a de mieux.
Cordialement,
Rescassol
Entièrement d'accord avec Rescassol.
A+
On considère l'équation d'inconnue $x\in\R$:
$${{(x - b)(x - c)}\over{(a - b)(a - c)}} + {{(x - c)(x - a)}\over{(b - c)(b - a)}} + {{(x - a)(x - b)}\over{(c - a)(c - b)}} = 1$$
Un élève affirme:
- "C'est une équation du second degré": Vrai ou Faux ?
- "Cette équation admet trois solutions réelles: $a$, $b$ et $c$.": Vrai ou Faux ?
A noter: l'exercice $5$ de ce même Devoir est:
Justifier le fait que les insectes adhérent au plafond.
Sérieusement, quelle est la réponse :
Soit l’équation d’inconnue $x$ réelle : $0 x^2+0 x+1=1.$
Cette équation est-elle du second degré ?
Si c’est non, alors l’exercice précédent est d’une difficulté inouïe puisque le membre de gauche vaut $\displaystyle \sum_{cyc} { b c \over (a-b)(a-c)}$ indépendant de $x$.
Je n’ai pas compris YvesM, ce que tu veux nous faire voir.
L’équation $0x+1=1$ est-elle d’un premier degré en $x$ ?
Que réponds-tu ?
$0 x^2+0 x+1=1$ et $0 x+1=1$ sont toutes deux des équations de degré $0$.
Cordialement,
Rescassol
Nous sommes d’accord, $0x^2+1=1$ est d’ordre $0.$
Mon propos est donc de dire que l’exercice posé à des élèves (voir @Bbidule dans ce fil) est d’une difficulté inouïe.
Je doute que ces élèves répondent : c’est Faux, c’est une équation de degré $0.$
En effet, le membre de gauche est bel et bien de la forme $0x^2+0x+1=1.$
La question devrait contenir « au plus 2 ».
Ou, allons-y plus explicitement : « est-ce un polynôme de $\mathbb R_2 [X]$ ? »
Enfin bref, oui, c’est moche...