Projection orthogonale

Twisted_Fate · January 2020

Bonjour.
Soit $H$ un espace de Hilbert, $F$ un espace vectoriel fermé de $H$, $f$ une application de $H$ vers $F$ telle que :
- $f$ est 1-lipchitizienne (donc continue) ;
- pour tout $ x \in H ,\ f(x) \in F ,\ (x-f(x)) \in F^{\perp} $, on peut montrer donc que pour tout $x$ dans $H,\ d(x,F) = || x -f(x) ||$, et on peut déduire aussi que $ H = F \bigoplus F^{\perp}$.
Est-ce que f est nécessairement la projection orthogonal sur $F$ ?
J'ai réussi à montrer que $f$ est linéaire :-D

[En $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre par des $\$$. ;-) AD]

gb · January 2020

Bonjour,

Tu disposes, pour tout élément $x$ de $H$, de la décomposition :
\begin{align*} x &= f(x)+\bigl(x-f(x)\bigr) & f(x) &\in F & x-f(x)&\in F^\perp \end{align*}
ce qui me semble être la définition de la projection orthogonale.

Twisted_Fate · January 2020

Salut, Oui j'ai cette décomposition, est-ce que c'est suffisant pour conclure le résultat ? Ou il faut que je me casse la tête à montrer que f²= f ?

[En typographie, on ne met jamais d'espace avant un point ou une virgule, mais toujours après. AD]

gb · January 2020

M'enfin !! Une projection, c'est une composante de décomposition sur deux sous-espaces supplémentaires :
– à un projecteur sont associés les sous-espaces supplémentaires $\mathop{\mathrm{Ker}}p$ et $\mathop{\mathrm{Im}}p$ ;
– à deux sous espaces-supplémentaires $F$ et $G$ sont associées les projections sur chacun d'eux parallèlement à l'autre.

C'est le B.A.BA de l'algèbre linéaire.

Twisted_Fate · January 2020

Merci pour les informations.

Projection orthogonale

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