Extension radicale de degré 3

watanuki · January 2020

Bonjour à tous,
je travaille sur le livre je J.P. Escoffier sur la théorie de Galois et bute sur un point.
L'auteur semble affirmer le fait suivant, ce que je n'arrive pas à démontrer sans rajouter d'hypothèse.

Soit $K$ un corps commutatif de caractéristique nulle, $P(X)=X^3+pX+q \in K[X]$ un polynôme irréductible, $x$ une racine de $P$ dans une clôture algébrique et l'extension $L=K[x]$.
Si il existe $u \in L \setminus K$ et $n \geqslant 1$ tels que $u^n \in K$ alors il existe $v \in L \setminus K$ tel que $v^3 \in K$.

Est-ce correct ? Et si oui, pouvez-vous m'aider à le démontrer ?

reuns · January 2020

$\Q(\zeta_7)/\Q(\sqrt{-7})$ est cyclique de degré $3$. Si $w\in \Q(\zeta_7),\not \in \Q(\sqrt{-7})$ et $w^3\in \Q(\sqrt{-7})$ alors $\Q(\zeta_7)=\Q(\sqrt{-7})(w)=\Q(\sqrt{-7})[x]/(x^3-w^3)$. Et comme c'est une extension abélienne on a que $x^3-w^3$ est scindé dans $\Q(\zeta_7)$ donc $\zeta_3\in \Q(\zeta_7)$ ce qui est une contradiction.

En caractéristique $0$, soit $L/K$ radicale de degré $p$ premier telle qu'il existe $u\in L-K, u^n\in K$

Théorème : ou bien $L = K(\zeta_q)$ avec $q$ premier $\equiv 1\bmod p$, ou bien $L = K(u)$ avec $u^p\in K$, ou bien $L = K(\zeta_{p^k})$ avec $k\ge 2,\zeta_{p^{k-1}}\in K$.

Preuve : $[K(u):K]$ divise $[L:K]=p$ donc $L=K(u)$. Soit $f\in K[x]$ le polynôme minimal de $u$.

$f$ divise $x^n-u^n$ donc $f = \prod_{j=1}^p (x-\zeta_n^{a_j}u)$.
Si $f$ est irréductible dans $K(\zeta_n)[x]$ alors $f(0)\in K(\zeta_n)\implies u^p \in K(\zeta_n)$.
Et $u$ est une racine de $x^p-u^p\in K(\zeta_n)[x]$ donc $f=x^p-u^p$.
Sinon $f$ a une racine dans $K(\zeta_n)$, comme $K(\zeta_n)/K$ est abélienne on a que $K(u)/K$ est abélienne, donc tous les $\zeta_n^{a_j}\in K(u)$.
Soit $d,m$ les plus grands diviseurs de $n$ tels que $\zeta_d\in K,\zeta_m\in K(u)$.
Si $m> d$ alors $K(\zeta_m)/K$ est une sous-extension donc $K(u)=K(\zeta_m)$. Il existe un plus petit diviseur de $ m$, qui est donc une puissance de nombre premier $q^k$, telle que $K(u)=K(\zeta_{q^k})$ et $\zeta_{q^{k-1}}\in K$. Si $k\ge 2$, on a que $K(\zeta_{q^k})/K$ est cyclique de degré $q$, donc $q=p$ et $K(u)=K(\zeta_{p^k}),\zeta_{p^k}^p\in K$. Sinon $k=1$ donc $Gal(K(\zeta_{q})/K)$ est un sous-groupe de $\Bbb{F}_q^\times$ et $K(u)=K(\zeta_q),q\equiv 1\bmod p$.
Sinon $m=d$, donc en fait $f = (x-u)\prod_{j=2}^p (x-\zeta_d^{c_j}u)$ (donc $K(u)/K$ est abélienne donc cyclique).
Soit $\sigma\in Aut(K(u)/K),\sigma(u)=\zeta_d^{c_1}u$. On a $u=\sigma^p(u)=\zeta_d^{p c_1} u$ donc $\zeta_d^{c_1}=\zeta_p $ et $f = \prod_{j=1}^p (x-\sigma^j(u))=\prod_{j=1}^p (x-u\zeta_p^j)= x^p-u^p$.

AP · January 2020

Bonjour
Peux-tu préciser à quel endroit de son livre tu trouves cette affirmation d'Escofier ? (un seul f dans son nom).

watanuki · January 2020

Oups ! Pardon pour l'orthographe du nom de l'auteur... (mea culpa)

Pour l'énoncé, ce n'est pas exactement celui que j'ai proposé. J'ai présenté le détail d'un point sur lequel je butais.
(Je pense que j'avais raison de tiquer et qu'il y a une erreur dans le livre mais je dois encore confirmer en détaillant davantage la réponse de reuns que je n'ai lu qu'en diagonale. J'en profite pour vivement le remercier : MERCI Reuns !!!)

Je détaille davantage si tu veux AP. Je travaille sur l'exercice 3 du chapitre 12 à la page 183 de la 2ème édition.
Je précise la définition choisie pour une extension radicale $L$ de $K$ dans le livre.
$$\exists \ l \geqslant 0, \ \exists K_0, \dots, K_l \ \mathrm{extensions}, \ K=K_0 \subseteq \dots \subseteq K_l=L$$
vérifiant
$$\forall \ i \in \{0, \dots, l-1\}, \ \exists \ x_i, \ \exists \ n_i \in \mathbb{N}, \ K_{i+1}=K_i[x_i] \ \mathrm{et} \ x_i^{n_i} \in K_i$$

Je replace le contexte de l'exercice.
Soit $K$ un corps commutatif de caractéristique nulle, $P(X)=X^3+pX+q\in K[X]$ un polynôme irréductible, $x$ une racine de $P$ dans une clôture algébrique et l'extension $L=K[x]$. On note $D=-4p^3-27q^2$ le discriminant du polynôme $P$.

A la question 1)b), il est demandé de montrer que $K[x]$ est une extension radicale de $K$ si et seulement si $-3D$ est un carré dans $K$.
La "tour radicale" menant à $K[x]$ peut forcément se ramener à une tour de longueur 1 par multiplicativité des degrés des extensions. De plus, à l'aide de la question 1)a) de l'exercice, j'arrive à montrer la propriété suivante.
(Il existe $u \in K[x]$ tel que $K[x] = K [ u ] $ et $u^3 \in K$) ssi ($-3D$ est un carré dans $K$.)

Ceci m'amène à l'énoncé que j'ai proposé qui me semble donc faux...

L'auteur suggère ensuite d'utiliser la question 1)b) pour montrer que $\mathbb{Q}[\cos \frac{2\pi}{7}]$ n'est pas une extension radicale de $\mathbb{Q}$. L'argument ne serait donc pas directement utilisable. Je pense que l'on peut conserver la conclusion en modifiant la démonstration de ce point (il s'agit d'une extension réelle...) mais cela reste à confirmer.

watanuki · January 2020

Bonsoir,
j'étudiais la démonstration de reuns mais bute encore sur des passages.
Comment déduit-on de $K(\zeta_n)$ cyclique sur $K$ que $K(u)$ est normale sur $K$ ?
Et comment est-on sûr que le plus petit diviseur de $m$ (LE plus petit... ?) tel que $\zeta_m$ engendre $K[ u ]$ est de la forme $q^k$ ?

Je vais laisser tomber pour ce soir, je commence à être fatigué.

reuns · January 2020

Si $L/F/K$ où $L/K$ est normale alors $F/K$ est normale ssi $Gal(L/F)$ est un sous-groupe normal de $Gal(L/K)$. Donc quand $L/K$ est abélienne, toutes les sous-extensions sont Galois (et abéliennes).

C'est parce que pour $L/K$ normale, $Gal(L/K) = Hom_K(L,L)=Hom_K(L,\overline{L})$,

et comme tout $K$-homomorphisme $F\to \overline{L}$ s'étend en un élément de $Hom_K(L,\overline{L})$,

on a $Hom_K(F,\overline{L})= Gal(L/K)/Gal(L/F)$.

Enfin $F/K$ normale c'est par définition $Hom_K(F,\overline{L})=Hom_K(F,F)$.

watanuki · January 2020

merci

j'ai aussi je pense résolu l'autre point avec des propriétés sur le groupe des racines de l'unité bien que tout soit encore brouillon

je bloque encore un peu sur le dernier point $m=d$ pour choisir/définr les exposants $c_i$

watanuki · January 2020

Bon, il faut que je remette au propre mais je pense avoir cerné les détails.
J'ai aussi étudié le contre-exemple du début qui fonctionne en effet. Encore merci !!!

Je n'ai par contre pas encore changé la preuve de la question suivante.

watanuki · January 2020

En fait, elle s'adapte toute seule grâce au théorème proposé par reuns et de la propriété que j'ai démontrée avec le discriminant sachant que l'extension est réelle.

claude quitté · January 2020

Watanuki, Reuns
J'ai regardé l'exercice (erroné) d'Escofier, Extensions radicales de degré 3 (exercice 12.2, p. 183 dans la deuxième édition).
Je suis d'accord avec le contre-exemple de Reuns. Mais ensuite , je n'ai pas compris ce qui a été fait.

Je me suis contenté de l'étude en caractéristique 0 de $L/K$ radicale de degré 3. J'obtiens deux types (non disjoints) :
$$
\text{Type I :} \quad L = K(u), \quad u^3 \in K, \qquad\qquad\qquad
\text{Type II :} \quad L = K(\zeta_n), \quad \zeta_n \text{ racine de l'unité d'ordre } n
$$J'ai des exemples où $L/K$ peut être à la fois du type I ET du type II.

J'ai l'impression que cette classification n'est pas en accord avec celle de Reuns.

Du coup, j'ai préparé l'exemple suivant : $L = \Q(\zeta_p, \zeta_q) = \Q(\zeta_{pq})$ où $p,q$ sont deux premiers distincts vérifiant $p,q \equiv 1 \bmod 3$, et $K = L^\tau$ où $\tau$ est l'automorphisme d'ordre 3 défini par $\zeta_{pq} \mapsto \zeta_{pq}^m$, $m$ étant un élément AD-HOC d'ordre 3 de $(\Z/pq\Z)^\times \simeq (\Z/p\Z)^\times \times (\Z/q\Z)^\times$.

AD-HOC a la signification suivante. Soit $H \subset (\Z/pq\Z)^\times$ le sous-groupe de 3-torsion i.e. les $m$ tels que $m^3 \equiv 1 \bmod pq$. Alors $H \simeq C_3 \times C_3$ de manière canonique et ad-hoc signifie $m$ ni de la forme $(1, \bullet)$, ni de la forme $(\bullet, 1)$. Exemple : pour $p = 7$, $q = 13$, les $8 = 9-1$ éléments d'ordre 3 sont :
$$
79,\ 53,\ 29,\ 16,\ 81,\ 22,\, 9,\ 74
$$En penant $m = 9$, on a $m \bmod 7 = 2$ et $m \bmod 13 = 9$ et donc $m$ est ad-hoc en mon sens.

Si besoin, je peux en dire plus : obtention des deux types, exemples. Et illustrations (programmation).

watanuki · January 2020

Bonjour
Je pense en avoir bien cerné tous les aspects et pour moi, le théorème est correct. Je précise que dans ma preuve, j'ai fait une disjonction de cas pour $X^p-u^p$ irréductible/réductible (plutôt qu'avec $f$ polynôme avec lequel je n'y suis pas arrivé...). Ma preuve est longue est buissonneuse mais bien rédigée. Merci reuns !

Quant à ton argument Claude, il ne me semble pas pertinent dans la mesure où dans la preuve, les 3 cas proposés par reuns ne s'excluent pas forcément 2 à 2. Je vais tout de même étudier ton exemple pour voir de quoi exactement il serait un contre-exemple. (Pas encore fait, désolé, je réfléchis doucement !)

watanuki · January 2020

Rebonjour Claude,
je veux bien voir des détails car je ne comprends pas bien ton exemple et ne comprends pas en quoi il serait en désaccord avec la classification de reuns.

claude quitté · January 2020

Watanuki

Contexte : en caractéristique 0, $L/K$ de degré 3, radicale au sens donné dans la définition 12.1.1, p. 177 de Escofier. Note : chez lui, on a $L \subset \mathbb C$.

$\bullet$ 0. Il existe $u \in L$ et un entier $n \ge 1$ tel que $L = K(u)$ et $u^n \in K$. Je zappe sur cette étape mais j'espère que tu es ok.

On fixe un tel $u$ et on considère le plus petit entier $n \ge 1$ tel que $u^n \in K$.

$\bullet$ 1. cas I : $3 \mid n$. On écrit $n = 3n'$ et on pose $u' = u^{n'}$. On a alors d'une part $u' \notin K$ (minimalité de $n$) donc $L = K(u')$ et d'autre part $u'^3 = u^n \in K$. C'est le type I.

$\bullet$ 2. cas II : $3 \not\mid n$ i.e. $3 \wedge n = 1$. Je pose $\fbox{$a = u^n$}$ qui est dans $K^*$ et je note $P$ le polynôme minimal de $u$ sur $K$. Comme $u$ est racine de $X^n - a \in K[X]$, on a $P \mid X^n - a$. On écrit $P(X) = (X - \alpha_1)(X - \alpha_2) (X- \alpha_3)$ dans une $K$-extension de sorte que $\alpha_i^n = a$. Puis :
$$
-P(0) = \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \qquad \text{que l'on élève à la puissance } n \qquad (-P(0))^n = a^3
$$Bilan : $a^3$ est une puissance $n$-ième dans $K$. Et comme $3 \wedge n = 1$, $\fbox{$a$ est une puissance $n$-ième dans $K$}$

Détails pour l'encadré. Comme $n \wedge 3 = 1$, il y a $r,s \in \Z$ tels que $1 = nr + 3s$ d'où $a^1 = (a^r)^n (a^3)^s$, ce qui fournit $a$ comme puissance $n$-ième dans $K$.

On exploite maintenant l'encadré en écrivant $a = b^n$ avec $b \in K^*$. Ce qui donne $u^n = b^n$ i.e. $u = \zeta b$ avec $\zeta^n = 1$. Montrons que $\zeta$ est d'ordre (multiplicatif) $n$. Soit $d$ son ordre ; on a $d \mid n$ et $u^d = \zeta^d b^d = b^d \in K$. Par minimalité de $n$, il vient $d = n$.

Et bien sûr, puisque $b \in K^*$, on a $K(u) = K(\zeta)$. C'est le cas II.

$\bullet$ 3. Je n'ai jamais prétendu que les 3 cas de Reuns s'excluaient. Précision : j'ai tiré le post de Reuns sur une imprimante (je ne lis JAMAIS à l'écran des mathématiques compliquées). Et j'avoue que je n'ai pas compris. Il se peut que j'ai loupé des choses.

$\blacktriangleright$ Peux tu me dire dans quel cas, au sens de Reuns (i.e. parmi ses 3 cas) rentre mon exemple $L = \Q(\zeta_{pq})$, $p,q \equiv 1 \bmod 3$ premiers distincts et $K = L^\tau$ où $\tau : \zeta_{pq} \mapsto \zeta_{pq}^m$ avec $m \in (\Z/pq\Z)^\times $ d'ordre 3 et ad-hoc (cf mon premier post pour la terminologie ad-hoc).
$\blacktriangleright$ Exemple : $p = 7$, $q = 13$, $m = 9$, $m^3 = 729 = 1 + 8pq$.

watanuki · January 2020

Claude,

je suis d'accord aussi avec ta classification, elle doit donc être compatible avec celle de reuns que j'estime toujours correcte. (Si tu veux des compléments sur la démonstration -basée sur celle de reuns-, je peux en donner mais c'est long...).

J'ai supposé que tu envisageais des cas qui s'excluent car tu semblais trouver ta classification incompatible avec celle de reuns et je ne vois pas pourquoi. C'est sans doute parce que que je ne comprends toujours pas ton exemple... :-S

Ce que je ne comprends pas précisément est la définition du corps $K=L^r$ avec $r$ un $K$_automorphisme de $L$... C'est bien cela déjà ?

Sinon encore une fois, je suis d'accord avec ta démonstration et avec celle de reuns et je ne sais pour l'instant pas quoi penser de ton exemple. Peux-tu m'en dire plus ?

claude quitté · January 2020

C'est dangereux de considérer des exemples.

Je pose $L = \Q(\zeta_{pq})$ avec $p,q$ comme j'ai dit. Et je considère un $\Q$-automorphisme $\tau : L \to L$ d'ordre $3$, nécessairement de la forme $\tau(\zeta_{pq}) = \zeta_{pq}^m$ où $m$ est un élément d'ordre 3 de $(\Z/pq\Z)^\times$.
Et enfin, je note $K = L^\tau$ le sous-corps des invariants de $L$ par $\tau$.

1. Est ce clair ?
2. Est ce que tu est d'accord avec : $[L : K] = 3$, $L = K(\zeta_{pq})$ et $\zeta_{pq}^{pq} = 1$ ?
3. Est ce que pour toi $L/K$ est de degré 3, radicale au sens de Escofier ?
4. Je dis que $L/K$ est de type II en mon sens. Es tu ok ?
5. Je prétends également que $L/K$ n'est pas de type I en mon sens. Vois tu pourquoi ?
6. Notons $(A)$, $(B)$, $(C)$, les 3 cas, de gauche à droite, qui figurent chez Reuns. Puisque tu sembles d'accord avec sa classification, où pourrait être cette $L/K$ parmi $(A), (B), (C)$ ?

PS : cela serait peut-être préférable que tu laisses tomber mes interventions ? Car après tout, avant que je n'intervienne, tout était clair.

watanuki · January 2020

Je précise qu'au départ, je voulais juste faire l'exercice et maintenant que l'erreur est démasquée, je voudrais en corriger l'énoncé (le sauver !). Il reste encore ensuite à sauver la question 3 de cet exercice dont je n'ai pas parlée et à laquelle je n'ai pas encore réfléchie.

J'espère que tu ne te vexes pas de mes réponses qui si elles te semblent désagréables ne le sont pas intentionnellement. A l'inverse d'être inutiles, je trouve tes interventions très pertinentes, c'est pourquoi j'insiste pour comprendre ton exemple et essayer de clarifier la situation au sujet des "types" en réaffirmant que je suis d'accord avec reuns (j'ai rédigé !).

Je ne comprends pas trop ta première phrase sur les exemples que je trouve un peu gratuite, je ne me suis fait d'idée que sur le fil de la discussion ou sur celui de mes propres démonstrations... J'ai démontré ce que j'affirme (sauf erreur de ma part bien sûr... mais je suis plutôt rigoureux en général).

Encore une fois, j'aimerais comprendre ton exemple mais je n'y arrivais pas car je ne comprenais pas ta notation pour le corps des invariants. Maintenant que j'ai compris, je vais y réfléchir et reviens en parler dans quelques temps.

watanuki · January 2020

Je reviens donc sur l'exemple.

1) A peu près

2) oui
3) oui (pas compris au début)
4) oui
5) je pense mais avec plus de mal.
Je fixe $\zeta_3$ une racine primitive cubique de 1, $\zeta_p$ une racine primitive $p$-ième de 1, $\zeta_q$ une racine primitive $q$-ième de 1 et $\zeta_{pq}$ une racine primitive $pq$-ième de 1.
Je considère un isomorphisme de groupes $\psi : Gal(L \ | \ \mathbb{Q}) \to (\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z} / q \mathbb{Z})^\times$ et $(x,y)$ d'ordre 3 dans $(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z} / q \mathbb{Z})^\times$ et $\sigma =\psi^{-1} (x,y)$ et $k \in \{1,\dots, pq-1 \}$ tel que $\sigma (\zeta_{pq}) = \zeta_{pq}^k$.
Je trouve alors $\{\zeta_p^k,\zeta_q^k\} = \{\zeta_3, \zeta_3^2\}$.
Ainsi si $L=K[ u ]$ avec $u^3 \in K$ alors $\zeta_{pq}^k=1$ CONTRADICTION.
Donc $L$ ne serait pas de type 1.
Je n'ai fait tout cela qu'au brouillon et ne suis pas sûr de moi, cela te semble-t-il correct ?

6) $L=K[\zeta_{pq}]$ et on a $\zeta_p, \zeta_q \in L$ et $\zeta_p \times \zeta_q$ est une racine primitive $pq$-ième de 1 donc $\zeta_p \times \zeta_q \in L$ avec $(\zeta_p \notin K \ \mathrm{ou} \ \zeta_q \notin K)$.
Donc on a $L=K[\zeta_p]$ ou $L=K[\zeta_q]$ et on serait dans le 1er cas de reuns si je ne me suis pas trompé.

7) Je proposerais aussi une classification type I' et type II' inspirée de la tienne.
Soit $L$ extension radicale cubique de $K$.
On pose $m=\min \{n \geqslant 1 \ ; \ \exists \ u \in L \setminus K, \ u^n \in K\}$.
Type I' : $m=3$ et il existe $u \in L $ tel que $L=K[ u ]$ et $u^3 \in K$.
Type II' : $m \not\equiv 0 \ [3]$ et $L=K[\zeta_m]$

Qu'en pensez-vous ?

watanuki · January 2020

J'ai regardé la question 3) de l'exercice. Les conclusions attendues me semblent toujours correctes, il faut par contre compléter les démonstrations en tenant compte des nouveaux arguments, ce qui n'est pas très long.

L'énoncé me semble sauvé ! (:P)

claude quitté · January 2020

$\def\ppcm{\text{ppcm}}\def\Gal{\text{Gal}}\def\U{\mathbb U}$Je réponds à ton avant dernier post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1920218,1920984#msg-1920984 en commençant par les points les plus faciles.

$\bullet$ 0) Tout d'abord quelles sont les racines de l'unité contenues dans $\Q(\zeta_N)$ ? Réponse : il s'agit de celles constituant le groupe $\langle -\zeta_N\rangle$ d'ordre $N' = \ppcm(N,2)$ i.e. les racines $N'$-iemes de l'unité. Ceci n'est pas une évidence et figure en theorem 4.1 de (l'excellent) K. Conrad, Cyclotomic Exetensions, note de 10 pages, in https://kconrad.math.uconn.edu/math5211s13/handouts/cyclotomic.pdf

$\bullet$ Ton point 6). OUI et figure toi que je n'avais pas pensé à cela ! On ne peut avoir à la fois $\zeta_p \in K$ et $\zeta_q \in K$. Et donc on a ou bien $L = K(\zeta_p)$ ou bien $L = K(\zeta_q)$. Précision : dire que $\zeta_p \in K$ signifie $\tau(\zeta_p) = \zeta_p$ i.e. $\zeta_p^m = \zeta_p$ i.e. $p \equiv 1 \bmod m$.

$\bullet$ Ton point 5). Là je ne comprends pas du tout. Cela commence par un truc faible : ``un'' isomorphisme de groupes. Rappel : $\Gal(\Q(\zeta_N)/\Q)$ est CANONIQUEMENT isomorphe au groupe des inversibles $(\Z/N\Z)^\times$. Et si $m$ est un inversible modulo $N$, l'automorphisme qui lui correspond réalise l'élévation à la puissance $m$ sur $\U_N$.

Et pendant que j'y suis, dans notre contexte : $\Z/pq\Z$ est CANONIQUEMENT isomorphe à $\Z/p\Z \times \Z/q\Z$. D'ailleurs, il existe un UNIQUE isomorphisme d'ANNEAUX entre ces deux anneaux (c'est l'isomorphisme dit chinois). Et du coup $(\Z/pq\Z)^\times \simeq_{\rm can.} (\Z/p\Z)^\times \times (\Z/q\Z)^\times$.

Du coup je ne comprends pas ton $\{\zeta_p^k, \zeta_q^k\} = \{ \zeta_3, \zeta_3^2\}$.

Ce que j'en dis. Supposons $L = K(u)$ avec $u^3 \in K$ donc $\tau(u^3) = u^3$ c.a.d. $\tau(u)^3 = u^3$ donc $\tau(u) = \zeta_3^k u$ avec $k \in \{0,1,2\}$. Ceci implique $\zeta_3^k \in L$ et d'après le point $0$ , on a $k = 0$. Ce qui conduit à $\tau(u) = u$ i.e. $u \in K$ en désaccord avec $L = K(u)$.

$\bullet$ Ton point 7) : je n'y réponds pas pour l'instant car je n'aime pas me précipiter (of course, j'ai tiré ton post ..). Donc à suivre.

$\bullet$ Rien à dire sur les autres points.

claude quitté · January 2020

$\def\U{\mathbb U}$Watakuni,
Je ne sais pas si ce qui suit peut aider. Moi j'aime bien mais c'est une autre histoire (peut-être qu'en fait, je me fais plaisir). J'ai choisi $p = 7$, $q = 13$ et je te montre deux ou trois choses sur $L = \Q(\zeta_{pq})$. Surtout après ta réponse étrange au point 5)

[color=#000000]> p := 7 ; q := 13 ;  pq := p*q ;
> // Le sous-groupe de 3-torsion de (Z/pqZ)^x
> H := [m : m in [1..pq-1] | m^3 mod pq eq 1] ;
> H ;
[ 1, 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81 ]
> // Regroupement de m et m^-1 
> [<m, m^2 mod pq> : m in H] ;
[ <1, 1>, <9, 81>, <16, 74>, <22, 29>, <29, 22>, <53, 79>, <74, 16>, <79, 53>, <81, 9> ]
> [m mod p : m in H] ;
[ 1, 2, 2, 1, 1, 4, 4, 2, 4 ]
> [m mod q : m in H] ;
[ 1, 9, 3, 9, 3, 1, 9, 1, 3 ]
[/color]

Tu vois dans $H$ les $9 = 3 \times 3$ éléments de $(\Z/pq\Z)^\times$ de cube égal à 1. Si l'on excepte 1, on obtient 8 éléments d'ordre 3. Donc 8 automorphismes de $\Q(\zeta_{pq})/\Q$ d'ordre 3.

Je monte $L = \Q(\zeta_{pq})$ de degré $\varphi(pq) = (p-1)(q-1) = 6 \times 12 = 72$ sur $\Q$. Ci-dessous, zpq = z stands for $\zeta_{pq}$.

[color=#000000]> L<z> := CyclotomicField(pq) ;
> zpq := z ;
> assert Degree(L) eq (p-1)*(q-1) ;
> IdL := iso < L -> L | zpq > ;
[/color]

La correspondance qui à un $m$ de cube 1 modulo $pq$ associe l'automorphisme de $\Q(\zeta_{pq})/\Q$ qui est l'élévation à la puissance $m$ sur $\zeta_{pq}$, a fortiori sur $\U_{pq}$.

[color=#000000]Tau := map < H -> Automorphisms(L) | m :->  iso <L -> L | zpq^m> > ;
[/color]

Quelques exemples

[color=#000000]> Tau(1) ;                                                            
Mapping from: FldCyc: L to FldCyc: L
> Tau(1) eq IdL ;
true
[/color]

Pas grand chose à voir avec l'identité de $L$. Un autre exemple :

[color=#000000]> Tau(16) ;
Mapping from: FldCyc: L to FldCyc: L
> Tau(16)(zpq) ;
z^16
> Tau(16)^3 eq IdL ;
true
> 
> [Tau(m)^3 eq IdL : m in H] ;          
[ true, true, true, true, true, true, true, true, true ]
[/color]

Un dernier pour la route :

[color=#000000]> tau := Tau(81) ;
> tau(zpq) ;
-z^68 - z^55 - z^42 - z^29 - z^16 - z^3
[/color]

Tiens, bizarre : je pensais qu'on allait trouver $\tau(\zeta_{pq}) = \zeta_{pq}^{81}$. Pourquoi la réponse $-\zeta_{pq}^{68} - \zeta_{pq}^{55} - \cdots$ ?
It's all.
PS : pour construire $K$ de manière EXPLICITE, besoin de la notion de base normale et de la théorie des périodes (cyclotomiques) de Gauss.

watanuki · January 2020

Je détaille davantage mes réflexions du point 5).

J'ai pris $\phi_1 : Gal(\mathbb{Q}[\zeta_{pq}] \ | \ \mathbb{Q} ) \to \mathbb{Z} / pq \mathbb{Z}$ définie par $\phi_1(\sigma)=k$ tel que $\sigma(\zeta_{pq})=\zeta_{pq}^k$.

J'ai pris $\phi_2 : \mathbb{Z} / pq \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / q \mathbb{Z}$ définie par $\phi_2(k)=(\tilde{k}, \bar{k})$ (les restes chinois).

Puis j'ai posé $\psi = \phi_2 \circ \phi_1$ qui réalise alors une bijection de $Gal(\mathbb{Q}[\zeta_{pq}] \ | \ \mathbb{Q})$ sur $(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z} / q \mathbb{Z})^\times$.

Les morphismes utilisés sont en effet "canoniques".

Pour la suite, je me suis trompé sur un passage, l'ordre 3 de $\sigma$ m'a incité à écrire que $\zeta_{pq}^k$ est une racine cubique de l'unité ... Donc ce passage n'allait pas et ta version est beaucoup plus simple.

claude quitté · January 2020

$\def\Gal{\text{Gal}}\def\Id{\text{Id}}$Watakuni

$\bullet$ 0. Vu ton dernier post (l'ordre $3$ de $\sigma$ m'a incité ...etc...).

Une ou deux remarques : je me doute que tu as d'autres choses à faire, par exemple terminer la question 3 de l'exercice d'Escofier (si ce n'est pas déjà fait), s'occuper des choses de la vie ...etc.. Tout le monde n'est pas retraité.

De mon côté, pourquoi je fais cela ? Pour aider ? Oui et non. Disons qu'il y a toujours des choses à apprendre même si je connais un peu la théorie de Galois, il a fallu, pour construire $K$ dans mon programme, que je revois la théorie des périodes de Gauss en niveau cyclotomique sans facteur carré (moins courante que celle en niveau cyclotomique premier) ...etc...

Par ailleurs, du point de vue interlocureur, c'est plutôt agréable. Tiens un mini-petit bémol : $\phi_2$ définie par $\phi_2(k) = (\overline k, \overline k)$ est un petit peu faible. J'utiliserais plutôt $\phi_2(k) = (k \bmod p, k \bmod q)$. Je suis ch.ant, n'est ce pas ?

$\bullet$ 1. Bref, après toutes ces précautions, je reviens sur ton point 7) in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1920218,1920984#msg-1920984 et ta classification I', II' plus serrée que la mienne car I', II', sont disjoints (on ne peut pas avoir à la fois $m = 3$ et $m \not\equiv 0 \bmod 3$).

Mais j'ai l'impression dans le cas II' que l'on peut être plus précis. Soit donc $L/K$ de degré $3$ avec $L = K(\zeta_m)$ et $m \not\equiv 0 \bmod 3$ . Supposons par exemple $m$ de la forme $m = p^k$ où $p$ est premier (distinct de 3 donc).
Je dis, en posant $\zeta_p = \zeta^{p^{k-1}}_{p^k}$, que $L = K(\zeta_p)$. Si tu as le temps, peux tu regarder ce qui vient et me surveiller (je ne serais pas un ingrat, promis, juré).

L'extension cubique $L/K$ est 3-cyclique. Je note $\tau$ un générateur de $\Gal(L/K)$ donc $\tau$ est d'ordre 3. On a $\tau(\zeta_{p^k}) = \zeta_{p^k}^s$ pour un certain $s$ (je n'utilise plus $m$ car il est pris pour ta classification I', II').

A. On a $s \not\equiv 1 \bmod p^k$. Indication : $\tau \ne \Id_L$.
B. On a $s^3 \equiv 1 \bmod p^k$ i.e. $(s-1)(s^2 + s + 1) \equiv 0 \bmod p^k$. Indication : $\tau^3 = \Id_L$.
C. En déduire $s^2 + s + 1 \equiv 0 \bmod p$.
D. En déduire que $s \not\equiv 1 \bmod p$. Indication : ne pas oublier que $p \ne 3$.
E. Peut-on avoir $\zeta_p \in K$ i.e. $\tau(\zeta_p) = \zeta_p$ ? Indication : que vaut $\tau(\zeta_p)$ ?
F. En déduire $L = K(\zeta_p)$.

watanuki · January 2020

Oui je suis d'accord avec tes éléments de démonstration. Je prends $p$ un nombre premier en lieu et place du nombre 3.

Quant au fait d'améliorer la classification, une fois trouvé $m$ tel que $L=K[\zeta_m]$. On peut procéder comme je l'ai fait plus tôt, à savoir chercher un facteur $d$ parmi ceux de $m$ tel que $L=K[\zeta_d]$.

On peut alors trouver un nombre premier $q$ et un entier $k$ tels que $L=K[\zeta_{q^k}]$.
On cherche alors à minimiser $k$ et on prend $k'$ le plus petit entier inférieur à $k$ tel que ($L=K[\zeta_{q^{k'}}]$ et $\zeta_{q^{k'-1}} \in K)$.

Si $k' \geqslant 2$, on peut alors montrer que $q=p=[L:K]$.
Si $k'=1$, on peut alors montrer que $q \equiv 1 \ [p]$.

On retombe sur la classification de reuns.

claude quitté · January 2020

Je reprends TOUT depuis le début car on s'est compliqué la vie pour rien. Exit la théorie de Galois ... etc.. que des ingrédients élémentaires. Contexte : en caractéristique 0, une extension CUBIQUE $L/K$ avec $L = K(u)$ et un entier $n \ge 1$ tel que $u^n \in K$. Je note $m = \min \{ n \ge 1 \mid \exists u \in L \setminus K,\ u^n \in K\}$. J'ai mis $n \ge 1$ mais il est clair que $n \ge 2$. Alors

Ou bien $m = 3$ donc $L = K(u)$ avec $u^3 \in K$ (type I).
Ou bien $m$ est un premier $p \equiv 1 \bmod 3$ et $L = K(\zeta_p)$ (type II).

Justifications. Je vais utiliser la norme $N : L \to K$. Rappel : pour $x \in L$, $N(x)$ est le déterminant de la multiplication par $x$. C'est une fonction multiplicative et $N(x) = x^{[L : K]}$ si $x \in K$. Ici $N(x) = x^3$ si $x\in K$. Note : la norme est déjà apparue dans mon premier post sous la forme $-P(0)$ où $P$ est le polynôme minimal de ..etc...

1) $m$ est un nombre premier. En effet, $m \ne 1$. Soit $p \mid m$ premier, $m = pm'$. On pose $u' = u^{m'}$. Alors $u' \notin K$ par minimalité de $m$ donc $L = K(u')$ et $u'^p = u^m \in K$. Donc $m = p$ (et $m' = 1$ of course).

2) Utilisation de la norme. On écrit $N(u^p) = N(u)^p$. I.e. comme $u^p \in K$, $u^{3p} = N(u)^p$ i.e. $(u^3)^p = N(u)^p$ i.e $u^3 = \zeta\, N(u)$ avec $\zeta^p = 1$.

3) Cas I : $\zeta = 1$. Donc $u^3 = N(u) \in K$. Et par suite $p = 3$. Et la norme est un certificat du fait que $u^3 \in K$, ce qui ne peut pas faire de mal.

4) Cas II : $\zeta \ne 1$. Donc $\zeta$ est d'ordre (multiplicatif) $p$ et mérite le nom de $\zeta_p$. Le corps $L$ contient les $p-1$ racines de l'unité $\zeta_p^i$ pour $1 \le i \le p-1$, qui sont toutes d'ordre (multiplicatif) $p$ et qui vérifient $L = K(\zeta_p^i)$. Le polynôme minimal sur $K$ de chaque $\zeta_p^i$ est de degré 3. Donc le polynôme cyclotomique $\Phi_p$ (de degré $p-1$) s'écrit $\Phi_p = F_1 \cdots F_k$ avec chaque $F_j$ de degré 3 (et en prime, $F_j \in K[X]$ et est irréductible). Ceci prouve que $p-1 = 3k$, certificat de $p \equiv 1 \bmod 3$.

Ajout. Quand j'étais en activité, je disais à mes petit(e)s des trucs du genre : $p_0 = 3$ est un premier quelconque. Et donc on peut remplacer $L/K$ cubique par $L/K$ de degré premier $p_0$.

watanuki · January 2020

Bonsoir Claude

Tout d'abord, merci de t'intéresser à mes démonstrations.

J'ai plusieurs points à évoquer ici mais le temps de les rédiger, je pose une question.

$-\zeta_6$ n'est-il pas d'ordre 3 en tant que racine de l'unité ?

claude quitté · January 2020

Oui. Plus généralement, $-\zeta_N$ est une racine primitive $N'$-ieme de l'unité où $N'$ est le ppcm de 2 et de $N$.

Mais attention, chez moi, c'est qui $\zeta_N$ en caractéristique 0 ? Ce n'est pas toujours $e^{2i\pi/N}$ qui relève de l'analyse. C'est qui alors ? Cela dépend du jour de la semaine : c'est par exemple la classe de $X$ modulo $\Phi_N(X)$ dans
$$
\Z[X] / \langle \Phi_N \rangle
$$Tout ce qu'il y a de plus sérieux. Sinon, comment pourrait-on implémenter la cyclotomie ?

watanuki · January 2020

1er point
Bon j'ai enfin compris ton exemple dans le détail, avec la propriété de Conrad, qui me semble mal énoncée.
En effet, comme je suis un homme de peu de fois (1 ou 2 max ...), j'ai vérifié !

Si on note $C$ l'ensemble des racines de l'unité dans une clôture algébrique de $\mathbb{Q}$, on a $C \cap \mathbb{Q} [\zeta_m] = < \zeta_{ppcm(2,m)} >$ mais pas forcément $< -\zeta_m >$ car $-\zeta_m$ d'ordre $2m$ si $m$ est impair, d'ordre $m$ si $m \in 4\mathbb{N}$ et surtout d'ordre $\frac{m}{2}$ si $m \in 2\mathbb{N} \setminus 4\mathbb{N}$.
Il y a le même soucis sur le document de Conrad mais uniquement dans la démonstration, pas dans l'énoncé final (point 1 theorem 3.5 de ton lien) ; cela ne perturbe pas le reste de la preuve. Par contre, je ne comprends l'énoncé du point 2 (theorem 3.5 de ton lien) que j'énoncerais plutôt de la façon suivante :
$( \mathbb{Q}[\zeta_n] = \mathbb{Q}[\zeta_m] \ \land \ n < m) \ \iff \ (n \in 2\mathbb{N}+1 \ \land \ m=2n)$.

De plus, j'ai aussi regardé le théorème 3.7 que je n'arrive à démontrer que dans le cas où $E$ est normale sur $\mathbb{Q}$ à cause de l'égalité $[LF : L] = [L : L \cap F]$ que je n'obtiens que dans ce cas là... Ce qui m'embête, c'est que du coup, je ne peux pas appliquer ma propriété à son exemple 3.8. As-tu une solution ?

Pour être concis, je reviens sur la question initiale, ton exemple est bien un contre-exemple comme demandé alors... Merci !

2ème point
Quant à la finesse des classifications, celle de reuns est imbattable parmi toutes celles proposées !
Ce n'est pas noté dans l'énoncé final mais on a $q | n$ ou $p^k | n$ selon les cas, il suffit de regarder la démonstration.

Donc si on part de $n$ maximum tel que $u^n \in K$ alors soit on est dans le type I' et $n=p$ soit on est dans le type II'.
Si on n'est pas dans le type I', on est forcément dans le type II' et on est dans les cas 1 ou 3 de reuns (qui ne sont pas forcément disjoints...).

Les cas 1 et 3 sont disjoints dans le cas où $K=\mathbb{Q}$ grâce au théorème de Conrad.

Grâce au document, il y a aussi que si $m$ et $n$ sont des entiers premiers entre eux et $K=\mathbb{R} \cap \mathbb{Q}[\zeta_{mn}]$ alors $K[\zeta_n]=K[\zeta_m]=\mathbb{Q}[\zeta_{mn}]$, ce qui laisse penser qu'en effet, les cas 1 et 3 peuvent ne pas être disjoints (même avec un corps réel).

En remarque, je t'encourage vivement à détailler la preuve de reuns, la (les) classification(s) effectuées constituent en fait le début de la preuve. Quant je dis que ma preuve est buissonneuse, j'entends par là que j'ai dû démontrer quelques lemmes (racines de l'unité, ...) avant l'énoncé principal afin d'éviter les longueurs et qu'il y a un certain nombre de disjonctions de cas... Pour le reste, j'ai suivi la démarche de reuns, à part pour le rôle du polynôme déjà cité, et la preuve est très jolie, je t'invite à l'étudier.

3ème point
Mes connaissances quant à la norme et la trace d'un élément algébrique sur un corps commutatif sont très succintes. Donc les méthodes associées, qui sont élémentaires pour toi, ne le sont pas du tout pour moi ! (J'ai donc une préférence pour l'autre version...)

D'ailleurs, au sujet de la norme d'un élément algébrique, j'ai une question. Dans le paragraphe de la définition de la norme page 155 du livre, n'y a-t-il pas quelque chose de surprenant ?

watanuki · January 2020

3 n'est pas le ppcm de 2 et 6

claude quitté · January 2020

Effectivement, un certain nombre de boulettes de ma part, à commencer par confondre $-\zeta_3$ est d'ordre (multiplicatif) 6 avec $-\zeta_6$ est d'ordre-je-n'ose-pas le dire. Encore pire, j'ai attribué à K. Conrad un résultat faux qu'il n'a pas écrit (le coup de $-\zeta_N$).

Bref, je constate que vouloir travailler dans la précipitation ne me réussit pas. J'ai bien sûr tiré ton post et je vais prendre le temps de ...

Un truc bizarre : j'ai l'impression qu'il y a plusieurs versions de la note de Conrad. Je ne vois pas de th 3.7 dans cette version https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/galoistheory/cyclotomic.pdf. Peux tu juste vérifier cela ?

watanuki · January 2020

En effet, ce n'est pas le même document.

Mais non, une erreur a bien été énoncée par Conrad mais cela ne transparait pas dans l'énoncé final, seulement à une étape de la preuve et cela ne change pas la suite. Ceci est valable pour les 2 versions du document. Le théorème dont je parle est numéroté 4.1 dans la nouvelle version (theorem 3.5 de l'ancienne).

Quant au théorème 3.7 et à l'exemple 3.8, ils sont renumérotés 4.3 et 4.4 respectivement. Le reste de mes questions est toujours valable.

claude quitté · January 2020

Quelques nouvelles, j'en donnerai d'autres plus tard.

1. J'ai écrit à K. Conrad (que je connais un peu) pour lui signaler sa coquille.
2. Je n'ai rien utilisé de la norme. Il aurait suffi que je ne prononce pas le mot ``norme'' en posant $N(x) = \det(m_x)$ où $m_x$ est la multiplication par $x$ dans le contexte $L/K$ extension finie et $x \in K$.
3. Ton égalité dimensionnelle $[LF : L] = [L = L \cap F]$ doit résulter du morphisme de translation en théorie de Galois. J'ai retrouvé un brouillon, j'en attache un extrait.
4. Je n'aurais pas du dire ``car on s'est compliqué la vie'' mais ``je m'y suis mal pris''.
5. Il y a d'autres points, j'essaierais d'y répondre plus tard. Uniquement sur les maths bien entendu : pas question de répondre à l'invitation de ..., de débattre sur ``jolie'', ``imbattable''. Je fais des maths. Point.

PS : toi, dans ton deuxième point : on part de $n$ maximum. Je suppose que tu as voulu dire minimum. 95496

watanuki · January 2020

Bonjour Claude
Tout d'abord merci pour tes documents qui m'ont l'air très intéressants et oui, je voulais dire minimum.

Je réponds à certains de tes points. Encore une fois certaines de mes remarques semblent te déplaire et je ne comprends pas pourquoi (dernière fois que je commente car j'ai peur que tu finisses par me trouver désagréable...). Mes adjectifs pour le travail mathématique étaient imagés mais mon propos était bien mathématique.
Quand je dis que la démonstration est "jolie", ce qui est en effet subjectif, j'entends par là que j'apprécie le fil du raisonnement. Je veux aussi dire que celle-ci est intéressante mathématiquement parlant, notamment je ne suis pas sûr qu'elle soit totalement acceptable par les écoles mathématiques qui refusent le tiers exclus (intuitionnistes...).

Je dis que la classification de reuns est imbattable PARMI celles proposées, peut-être ai-je mal choisi mon vocabulaire. Dans le sens où les 2 autres peuvent être raffinées par la méthode de cette classification et qu'en plus les 2 autres classifications sont plus ou moins la 1ère marche de la preuve de celle de reuns.

Je clarifie du coup les cas (plus ou moins disjoints si on veut ...) donnés par la classification de reuns et qui sont plus fins que ceux des 2 autres classifications.

On pose $n = \min\{k \geqslant 1 \mid \exists \ u \in L \setminus K, \ u^k \in K\}$. Soit aussi $u \in L \setminus K$ tel que $u^n \in K$. Soient enfin $m = \max\{ k \mid n \ ; \ \zeta_k \in K[ u ] \} $ et $m=p_1^{\alpha_1} \dots p_l^{\alpha_l}$ la décomposition de $m$ et facteurs premiers.

Cas 1 : $n=p$

Cas 2 : $n > p$ et il existe $i$ tel que $p_i \neq p$ et $K[ u ] = K[\zeta_{p_i}]$ (et alors forcément $p_i \equiv 1 [3]$).

Cas 3 : $n > p$ et il existe $i$ et $2 \leqslant \beta_i \leqslant \alpha_i$ tels que $p_i=p$ et $K[ u ]=K[\zeta_{p^{\beta_i}}]$ et $\zeta_{p^{\beta_i -1}} \in K$.

On peut toujours si on veut se ramener à des cas 2 à 2 disjoints en prenant Cas 3' = (Cas 3 privé de Cas 2)...
Voilà, je fais des maths moi aussi. ;-)

Sinon pour les documents, je te remercie beaucoup, je vais les étudier attentivement, ils ont l'air de contenir les démonstrations que je cherchais en effet. Par contre, cela va me demander du temps car beaucoup d'éléments évoqués sont loin de mes connaissances !
Cela commence dès le début avec l'homomorphisme de translation. Du coup, j'ai trouvé la référence de Bourbaki et j'ai commencé à étudier des passages pour en arriver à ce que je cherche. Encore une fois, cela va prendre du temps, j'en suis à travailler sur la topologie du groupe de Galois et pour bien comprendre les différents points de ce que je lis, je me retrouve régulièrement à remonter dans les paragraphes car certaines propriétés utilisées me sont inconnues.
D'autant plus que je ne maîtrise pas tout à fait les extensions galoisiennes. En effet, j'ai suivi le livre d'Escofier et en suis à la fin du chapitre 12 ; jusque là n'ont été traitées principalement que les extensions en caractéristique 0 et je ne sais pas encore bien ce qui se généralise et ce à quoi il faut faire attention ...
Bref, les références me conviennent parfaitement ! Encore merci !

Mais je vais abandonner le fil de cette conversation (et de mes démonstrations ...) quelques temps car, tu l'as deviné, je travaille. :-(
J'y reviendrais cependant lorsque j'aurais avancé (cela risque d'être un peu long), je regarderais aussi quand je serais prêt pour le faire, le reste du document de K. Conrad en détail.
A+

Extension radicale de degré 3

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