Équation du second degré (autre méthode)

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Algèbre
Bonjour,

Ci-joint une méthode signalée en 1896 par le mathématicien américain Henry Heaton (1846-1927).
La ligne (4) contient une erreur.

A+95226
Arcsinus arcsinum fricat.

Réponses

  • bisam
    bisam
    La ligne (6) également.
  • gerard0
    gerard0
    Et pour c=0, on ne peut passer de (6) à la conclusion (x peut être nul).

    C'est quand même un peu "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?".

    Cordialement.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Et encore une autre !

    A+95238
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Voici une présentation plus intuitive de la méthode de Heaton (mathématicien amateur, menuisier et enseignant).
    On sait que $ax^2 + c = -bx$.
    On cherche alors à exprimer $ax^2 - c$ sous une forme sympathique.
    Or, $(ax^2 - c)^2 = (ax^2 + c)^2 - 4acx^2$.
    D'où $(ax^2 - c)^2 = b^2x^2 - 4acx^2 = (b^2 - 4ac)x^2$.
    Etc.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Curieux, cette dernière solution : l'auteur suppose implicitement \(u\) et \(v\) réel pour pouvoir séparer les parties réelle et imaginaire, mais il conclut à la nature réelle ou imaginaire pure de \(v\) suivant le signe du discriminant… invalidant lui-même sa solution !
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Si l'équation admet une racine complexe non-réelle $u + iv$, celle-ci est donnée par la formule indiquée.
    Partant de là, on pourrait essayer d'y rattacher le cas où les racines sont réelles.

    A suivre...
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • gerard0
    gerard0
    Il y a quand même une phrase qui ne passerait pas dans une copie d'élève :
    "and since v is not, in general, equal to zero, ..."
    ce qui revient à dire qu'en général, l'équation n'a pas de racine réelle !! Faut être gonflé !!!

    Piteux_gore, où trouves-tu ces travaux de "mathématiciens" mauvais en mathématiques ?

    Cordialement.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Sur le site Internet Archive on trouve des choses intéressantes.

    Et aussi des scories…

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • etanche
    etanche
    La méthode de Heaton est très joli, je n'avais jamais vu une telle méthode pour résoudre un second degré.

    @pyteux Gore merci pour ce post .
  • marsup
    marsup
    Je la réécris parce qu'il y a des erreurs.
    Soit à résoudre : $$ a x^2 + bx + c = 0.
    $$ Soit : $\quad ax^2 + c = - bx. \qquad (2)$
    Au carré : $\quad a^2x^4 + 2acx^2 + c^2 = b^2x^2.$
    On soustrait $\quad 4acx^2$ : $\quad a^2x^4 - 2acx^2 + c^2 = (b^2-4ac)x^2.$
    Racine carrée : $\quad ax^2-c = \pm\sqrt{b^2-4ac}\times x.$
    On ajoute l'équation $(2)$ : $\quad 2ax^2 = \big(-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\big) x.$
    En simplifiant par $2ax$ : $$x = \frac{(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})}{2a}.

    $$ [Ne pas abuser des expressions centrées. AD]
  • gerard0
    gerard0
    Avec le problème de "En simplifiant par $2ax$", qui est incorrect puisque x=0 est possible. sans compter que la racine carrée n'existe pas s'il n'y a pas de racines.
    Tant qu'à faire, je préfère la méthode de Christophe C, qui est de multiplier par 4a (non nul !) :
    $ax^2+bx+c=0$
    $4a^2x^2 + 4abx+4ac=0$
    Puis compléter le carré (plus simple, il n'est pas de degré 4) :
    $4a^2x^2 + 4abx +b^2 - b^2+4ac =0$
    et on factorise si $b^2-4ac$ est un carré (ou il n'y a pas de racine réelle) :
    $(2ax+b)^2 - \Delta^2=0$ avec $\Delta^2=b^2-4ac$

    Cordialement.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonsoir

    la méthode la plus simple et la plus performante dans la résolution de l'équation du seconde degré

    reste le passage à la forme réduite du trinôme qui permet de le factoriser ou non

    sans passer par le discriminant toujours assez lourd et les formules des racines

    cordialement
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