Polynôme minimal
Réponses
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Si $f\in \Q[x]$ alors $f(x+i)f(x-i)\in \Q[x]$
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Pour $c$, il est facile d'obtenir un polynôme de degré $4$ annulateur, qui sera forcément minimal car $i \not \in \mathbb Q(\sqrt 2)$ et donc $[\mathbb Q(c) : \mathbb Q]=4$. À la main on trouve $(c^2-1)^2 = -4$.
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Pour $r=\sqrt[4]{5}$ et $d=r^2+r$, on peut commencer par calculer « à tout hasard »\begin{align*}
d^2&=2r^3 + r^2 + 5\\
d^4&=20r^3 + 30r^2 + 20r + 30.\end{align*}On voit qu'il est pertinent de faire la différence $d^4-10d^2$, et c'est presque fini.
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