Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem)
Exercice inédit sur le trinôme
dans Algèbre
Bonjour,
On considère trois trinômes $x^2 - p_ix + q_i$ (avec $i = 1, 2, 3$) tels que deux quelconques d'entre eux ont une racine commune ; démontrer que $\Sigma p_i^2 - 2\Sigma p_ip_j + 4\Sigma q_i = 0$.
A+
On considère trois trinômes $x^2 - p_ix + q_i$ (avec $i = 1, 2, 3$) tels que deux quelconques d'entre eux ont une racine commune ; démontrer que $\Sigma p_i^2 - 2\Sigma p_ip_j + 4\Sigma q_i = 0$.
A+
Réponses
-
Dit comme ça, ça n'a pas l'air très vrai.deux quelconques d'entre eux ont une racine commune
Si on prend tous les $q_i=0$, les trinômes admettent tous $0$ pour racines, mais l'expression proposée ne donne pas forcément $0$. -
RE
L'exercice (issu de Cambridge) sous-entend que les trois trinômes n'ont pas de racine commune.
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RE
Une indication : le premier trinôme a pour racines $\alpha, \beta$, le second $\beta, \gamma$ et le troisième $\alpha, \gamma$,
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Bonjour,
Peux-tu écrire ce que représente $\sum p_ip_j$ en précisant les indices de la somme ? -
RE
La somme du milieu est $p_1p_2 + p_2p_3 + p_3p_1$.
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Bonjour,
Il faut comprendre :
\[\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant 3} p_ip_j.\] -
Je t'ai vu, Yves, écrire des sommes cycliques.
En ces termes, la question est la suivante avec $\alpha,\beta,\gamma$ les trois racines.
Quelle combinaison linéaire de $\displaystyle\sum_{cyc}(\alpha+\beta)^2$ et de $\displaystyle\sum_{cyc}
(\alpha+\gamma)
\cdot
(\beta+\gamma)
$ est un multiple de $\displaystyle\sum_{cyc} \beta\cdot \gamma$ ?
edit : oups j'avais mis des $-$ à la place des $+$ ! -
Bonjour,
On note $\displaystyle P_i(x) = x^2-p_ix+q_i$ pour $\displaystyle i = 1,2,3.$
On note $a$ la racine commune à $\displaystyle P_1$ et $\displaystyle P_2$, $b$ la racine commune à $\displaystyle P_2$ et $\displaystyle P_3$ et $c$ la racine commune à $\displaystyle P_2$ et $\displaystyle P_3$.
On a donc $a,b$ solutions de $\displaystyle P_1(x) = 0$ et donc on sait que $\displaystyle a+b=p_1, ab=q_1.$ De même, $\displaystyle a+c=p_2, ac=q_2$ et $\displaystyle b+c=p_3, bc=q_3.$
On calcule $\displaystyle \sum_{cyc}(a+b)^2 = 2 \sum_{cyc} a^2 + 2 \sum_{cyc} ab$ et donc, par substitution, $\displaystyle \sum_{cyc} p^2 = 2 \sum_{cyc} a^2 +2 \sum_{cyc} q.$
On calcule $\displaystyle \sum_{cyc}(b-c)^2 = 2 \sum_{cyc} b^2 - 2 \sum_{cyc} bc$ et donc, par substitution, $\displaystyle \sum_{cyc}(p_1-p_2)^2 = 2 \sum_{cyc} a^2 - 2 \sum_{cyc} q = 2 \sum_{cyc} p^2 - 2 \sum_{cyc} p_ip_j.$
On élimine alors $\displaystyle \sum_{cyc} a^2 $ entre les deux équations et on tombe sur $\displaystyle \sum_{cyc} p^2 - 2 \sum_{cyc} p_ip_j + 4 \sum_{cyc} q = 0.$ -
RE
Autre possibilité
$p_1^2 - 4q_1 = (\alpha - \beta)^2 = (p_3 - p_2)^2$
$p_2^2 - 4q_2 = (p_1 - p_3)^2$
$p_3^2 - 4q_3 = (p_2 - p_1)^2$.
On additionne et on développe.
Compléments
Quid de la réciprocité ?
Généralisation à $4, …, n$ trinômes.
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Bonjour,
En reprenant les notations de YvesM (si tu le permets), on a:$P_1P_2P_3(x)=\left( (x-a)(x-b)(x-c)\right)^2$.
Alors: $P_1P_2P_3(x)=\left( x^3-sx^2+dx-p\right)^2$ (1)
où $s=a+b+c=\dfrac{1}{2}\sum p_i$, $d=ab+bc+ca=\sum q_i$ et $p=abc$.
En développant les deux membres de (1), le coefficient de $x^4$ nous donne:
$\sum q_i-\sum p_ip_j=2d+s^2$.
Ainsi: $\sum q_i-\sum p_ip_j=2\sum q_i+\dfrac{1}{4}\left( \sum p_ip_j\right)^2$.
Ou encore: $\left( \sum p_ip_j\right)^2-4 \sum p_ip_j+4\sum q_i=0$.
En développant le carré, on a:$\sum p_i^2-2 \sum p_ip_j+4\sum q_i=0$.
Avec les coefficients de $x^3$, $x^2$ et $x$ on obtient d'autres égalités je suppose.
Cordialement
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Bonjour!
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