Exercice inédit sur le trinôme

Bonjour,

Peux-tu écrire ce que représente $\sum p_ip_j$ en précisant les indices de la somme ?

Bonjour,

Il faut comprendre :
\[\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant 3} p_ip_j.\]

Bonjour,

On note $\displaystyle P_i(x) = x^2-p_ix+q_i$ pour $\displaystyle i = 1,2,3.$

On note $a$ la racine commune à $\displaystyle P_1$ et $\displaystyle P_2$, $b$ la racine commune à $\displaystyle P_2$ et $\displaystyle P_3$ et $c$ la racine commune à $\displaystyle P_2$ et $\displaystyle P_3$.

On a donc $a,b$ solutions de $\displaystyle P_1(x) = 0$ et donc on sait que $\displaystyle a+b=p_1, ab=q_1.$ De même, $\displaystyle a+c=p_2, ac=q_2$ et $\displaystyle b+c=p_3, bc=q_3.$

On calcule $\displaystyle \sum_{cyc}(a+b)^2 = 2 \sum_{cyc} a^2 + 2 \sum_{cyc} ab$ et donc, par substitution, $\displaystyle \sum_{cyc} p^2 = 2 \sum_{cyc} a^2 +2 \sum_{cyc} q.$

On calcule $\displaystyle \sum_{cyc}(b-c)^2 = 2 \sum_{cyc} b^2 - 2 \sum_{cyc} bc$ et donc, par substitution, $\displaystyle \sum_{cyc}(p_1-p_2)^2 = 2 \sum_{cyc} a^2 - 2 \sum_{cyc} q = 2 \sum_{cyc} p^2 - 2 \sum_{cyc} p_ip_j.$

On élimine alors $\displaystyle \sum_{cyc} a^2 $ entre les deux équations et on tombe sur $\displaystyle \sum_{cyc} p^2 - 2 \sum_{cyc} p_ip_j + 4 \sum_{cyc} q = 0.$

Bonjour,
En reprenant les notations de YvesM (si tu le permets), on a:$P_1P_2P_3(x)=\left( (x-a)(x-b)(x-c)\right)^2$.
Alors: $P_1P_2P_3(x)=\left( x^3-sx^2+dx-p\right)^2$ (1)
où $s=a+b+c=\dfrac{1}{2}\sum p_i$, $d=ab+bc+ca=\sum q_i$ et $p=abc$.
En développant les deux membres de (1), le coefficient de $x^4$ nous donne:
$\sum q_i-\sum p_ip_j=2d+s^2$.
Ainsi: $\sum q_i-\sum p_ip_j=2\sum q_i+\dfrac{1}{4}\left( \sum p_ip_j\right)^2$.
Ou encore: $\left( \sum p_ip_j\right)^2-4 \sum p_ip_j+4\sum q_i=0$.
En développant le carré, on a:$\sum p_i^2-2 \sum p_ip_j+4\sum q_i=0$.
Avec les coefficients de $x^3$, $x^2$ et $x$ on obtient d'autres égalités je suppose.
Cordialement