Hauteur d'un point de l'espace projectif

Pour moi la hauteur naturelle sur $\Bbb{P^n(Q)}$ c'est $$h([x_0:\ldots:x_n])=(\max_i |x_i|_\infty)(\prod_p \max_i |x_i|_p)$$ qui est indépendante du choix de représentant parce que $|a|_\infty\prod_p |a|_p=1$, où $|.|_p$ c'est les normes $p$-adiques et $|.|_\infty$ la norme usuelle.

..Et donc si on choisit l'unique représentant où les $x_i$ sont des entiers de $pgcd$ égal à $1$ alors pour tout $p$ on a $|x_i|_p\le 1$ et l'un des $|x_i|_p=1$ donc $$h(([x_0:\ldots:x_n]) = \max_i |x_i|_\infty$$