Base d'un espace vectoriel usuel

A part si les maths sont incohérentes, non, personne ne pourra. En effet, si ZF est cohérente, il est cohérent que $\mathbb{R^N}$ n'ait pas de base.
On sait qu'il en existe une, si on utilise l'axiome du choix, mais la preuve n'est pas constructive : on n'exhibe pas de base.

(Bon, en principe, j'exagère un peu en disant ça : a priori rien n'interdit l'existence d'une formule qui définit, si AC est vrai, une base de $\mathbb{R^N}$. Seulement, ça ne pourra pas être une définition "raisonnable"; donc ma réponse n'est pas totalement juste mais elle est justifiée en un sens)

Poirot : La réponse acceptée ici prétend que c'est le cas, plus précisément que si tous les sous-ensembles de $\mathbb R$ ont la propriété de Baire, alors $\mathbb{R^N}$ n'a pas de base; or le premier est connu pour être cohérent (et Asaf est quelqu'un de crédible en théorie des ensembles).

Je n'ai pas plus précis. J'avais en tête autre chose : il me semble que Christophe aime bien rappeler que $\mathbb{R^N/R^{(N)}}$ n'a pas forcément de forme linéaire non triviale sans AC. Je ne sais pas si ça reste cohérent avec ACD; mais si c'est le cas, s'il existe une base de $\mathbb{R^N}$, alors ACD permet d'en créer une qui contient tous les $(0,...,0,1,0,...,0,...)$, et donc une base de ce quotient, et donc une forme linéaire non triviale.

@Pablo en utilisant ton "isomorphisme" est-ce que tu peux dire vers quel élément de $\mathbb{R} \{ z \}$ est envoyée la suite constante égale à 1 ?
L'image de $(1,1,1...) \in \mathbb{R}^{ \mathbb{N} }$ quoi.

et comment tu exprimes $\displaystyle \sum_{ n \geq 0 } z^n$ comme combinaison linéaire d'éléments de ta base $\{ z^n \}_{ n \in \mathbb{N} }$ ?

Une combinaison linéaire ne fait intervenir qu'un nombre fini d'éléments, genre $z^0 + z^1 + z^2$, donc $\displaystyle \sum_{ n \geq 0 } z^n$ ne peut pas s'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de ta base.

Bien sûr qu'il est faux que $\sum_{ n \geq 0 } z^n \in \mathbb{R}^{ ( \mathbb{N} ) }$, ce n'est pas ce qu'on dit. Ce que tu ne sembles pas comprendre Pablo, c'est qu'une base de $\mathbb R^{\mathbb N}$ permet, par définition d'une base, d'écrire tout élément de $\mathbb R^{\mathbb N}$ comme combinaison linéaire (finie, c'est la définition) d'éléments de cette base. En particulier, ta famille $z^n$ n'est pas génératrice de $\mathbb R^{\mathbb N}$ puisqu'il est clair qu'elle engendre simplement $\mathbb R^{(\mathbb N)}$.