Somme des puissances des racines

Piteux_gore · January 2020

Bonjour,

D'où sort le résultat suivant ?
On considère un polynôme $P$ de degré 4 ; la somme des puissances 5ème des racines de $P$ est égale au coefficient de $1 \over {x^6}$ dans la division de $P'$ par $P$.

A+

Guego · January 2020

Des relations coefficients-racines ?

reuns · January 2020

$$P(z) = c\prod_{j=1}^d (z-a_j),\qquad \frac{P'(z)}{P(z)}=(\log P(z))'=\sum_{j=1}^d \frac1{z-a_j} = \sum_{m=0}^\infty z^{-m-1} \sum_{j=1}^d a_j^m$$

Piteux_gore · January 2020

RE

Je ne connaissais pas (ou avais oublié) ce résultat.

On peut aussi procéder comme suit pour calculer $S_5$ :
on calcule $S_1$ et $S_2$, ce qui est facile ;
on calcule $S_3$, ce qui est un peu plus lourd ;
on calcule $S_4, S_5, …$ par une suite récurrente d'ordre 4.

A+

Somme des puissances des racines

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