Minimiser une combinaison de nombres réels

Bonjour,

Je n’ai aucune idée sur une méthode générale.

Voici ce que j’ai fait.

Je tronque les irrationnels à deux chiffres significatifs : $e=2,7$, $\pi=3,1$ et $\sqrt{2}=1,4$.

La fonction à minimiser devient $(2a +3 b+c)+(7a+ b+4c)/10$ et on annule le système $2 a+3 b+c=0,7 a+b+4 c=0$ : $19 a=-11 c, 19 b=c$.

Et voilà : on a zéro.

Si on tronque à trois chiffres significatifs, on obtient un système dont le discriminant n’a aucune raison de s’annuler et la seule solution sera à exclure (car $a=b=c=0$ est exclu).

Mais on peut imposer que la troisième équation, celle qui correspond à $1/100$, soit égale au discriminant du système : la solution en entiers relatifs devrait donner un résultat assez bas.

Cette méthode ne permet pas d’aller plus loin car on a que trois paramètres.

Ici, avec $e=2,71$, $\pi=3,14$ et $\sqrt{2}=1,41$ on trouve pour le troisième équation $a+4b+c=12$ car $12$ est le discriminant. La solution est $a=-11, b=1,c=19$ et le minimum est $12/100$.

Bonjour,

J’ai trouvé encore mieux.

On tronque à $n$ chiffres significatifs.
On écrit $e=E. 10^{-n}$, $\pi=P.10^{-n}$ et $\sqrt{2}=S.10^{-n}$ avec des écritures décimales.

On choisit $a=P.S$, $b=E.S$ et $c=-2.E.P$ et la fonction atteint $0.$
On peut diviser $a,b,c$ par leur pgcd.

Ça marche pour tout $n$. On remplace $2$ par $n-1.$

Ça marche aussi pour un nombre quelconque de paramètres.

Ai-je résolu ce problème ? Oui, sauf si la contrainte $\max(a,b,c)<100$ est cruciale car rien ne garantit cette contrainte.