Faisceaux et topologies de Grothendieck

Pablo,

Sans définition de $\tau$-isomorphisme local ça va être complexe de montrer quelque chose ! D'autre part, je n'ai pas compris la suite, je ne connais strictement rien au objet que tu as introduit !

Peut être que tu peux dire que par définition un $\tau$-isomorphisme local est un morphisme entre pré-faisceau qui se faisceautise en un isomorphisme de faisceau !

Bon bah si tu connais la définition, qu'est-ce qui te gêne ?

Bah c'est un peu flou comme définition !

Veut-il dire : $f : X\to Y$ est un isomorphisme local si et seulement si pour tout objet $R$ il existe un recouvrement $\{U_i\to R\}$ tel que $f_{U_i} : X(U_i) \to Y(U_i)$ est une bijection ?

A mon avis ce n'est pas bon comme définition !

Être un isomorphisme local est une condition sur les morphismes de préfaisceaux sur une même catégorie. Ici, $X$ et $Y$ sont des préfaisceaux sur le même site.

@Chat-maths : Est-ce tu as une définition précise de $\tau$-isomorphisme local ? Une idée ? C'est pas que ça m'intéresse plus que ça mais c'est juste pour faire un exercice :-D

Oui je suis ok, c'est ce que j'avais proposé a Pablo, mais du coup ça trivialise l'exercice !

J'aurais bien aimé une définition direct, car si on suit Toen il dit qu'il peut définir les faisceaux à partir des isomorphismes locaux et là on fait l'inverse !

@Goleon: Oui, on peut aller dans l'autre sens: en fait, une des caractérisations des topos de Grothendieck est que ce sont exactement les sous-catégories réflexives exactes à gauche de catégories de préfaisceaux. Si tu as une "bonne classe" d'isomorphismes locaux, tu peux localiser par rapport à cette classe, et la localisation identifiera le localisé à une sous-catégorie réflexive (i.e dont le foncteur d'inclusion a un adjoint à gauche qui préserve aussi les limites finies).

Mais c'est un assez gros théorème, c'est pas trivial du tout.

Une ref: https://ncatlab.org/nlab/show/sheaf+toposes+are+equivalently+the+left+exact+reflective+subcategories+of+presheaf+toposes

EDIT: J'ai écrit une bêtise: l'adjoint à gauche de l'inclusion doit préserver les limites finies, c'est dans le "exact à gauche".

Effectivement, si tu veux prouver que cette famille de préfaisceaux rentre dans ce cadre (ce que je ne saurais affirmer pour l'instant, sans y avoir réfléchi un minimum auparavant), il faudrait construire un adjoint à gauche de l'inclusion.

En termes humains, si tu note $\mathcal{P}'$ cette sous-catégorie pleine de préfaisceaux, il faut répondre à la question suivante: étant donné un préfaisceau $\mathscr{F}$, quelconque, et un "faisceau" $\mathscr{G}$ de $\mathcal{P}'$, est-ce que j'ai un élément $\mathscr{F}^+$ de $\mathcal{P}'$, unique à isomorphisme près, tel que de $\mathrm{Hom}(\mathscr{F}^+, \mathscr{G}) \cong \mathrm{Hom}(\mathscr{F}, \mathscr{G})$, en gros, une "meilleure approximation" de $\mathscr{F}$ par un élément de $\mathcal{P}'$. Ça, c'est la première question.

La deuxième, c'est de savoir si $\mathscr{F} \to \mathscr{F}^+$ est fonctoriel, et commute aux limite finies.

Si c'est le cas, alors effectivement, il existe une topologie de Grothendieck sur les schémas tel que les préfaisceaux que tu décris sont exactement les faisceaux pour cette topologie. Quant à trouver la topologie exacte (i.e qui sont les cribles, ou les recouvrements), je ne sais pas faire non plus. J'ai cru lire qu'on peut retrouver les cribles à partir des morphismes qui deviennent des épimorphisme après la localisation, mais je n'en sais pas plus.

À mon avis, l'existence de l'adjoint est faisable, on veut en gros localiser par rapport à toutes les projections $\mathscr{F}(X \times Y) \to \mathscr{F}(X) \times \mathscr{F}(Y)$, ça m'a l'air d'être une famille "raisonnable" (je ne suis malheureusement pas assez au point pour te le confirmer), et là on peut utiliser des techniques très générales qui peuvent nous assurer que cette localisation existe. Maintenant, ce qui n'est pas si clair, c'est de savoir si le foncteur de localisation commute aux limites finies.

Homéomorphisme étant un nom masculin, on dit "homéomorphismes locaux".

@Goleon: Je ne sais pas si ça aide. J'y réfléchirai à tête reposée demain, je n'ai pas trop le temps ce soir. À vue de nez, il n'y a peut-être pas besoin de passer par le faisceautisé Zariski. À mon avis, il suffit de "définir" $\mathscr{F}^+(U)$ par $\prod\limits_{i}\mathscr{F}(U_i)$ où les $U_i$ sont les composantes connexes de $U$ (je prends le point de vue schémas affine/topologie plutôt que le point de vue foncteur covariant sur les anneaux). La question est alors déjà de savoir ce qu'il se passe sur les flèches (cette définition est juste sur les objets): qui est $\mathscr{F}^+(X) \to \mathscr{F}^+(Y)$ étant donné $f: Y \to X$? Sachant qu'un morphisme de schéma est continu, chaque composante connexe doit atterrir dans une composante connexe de l'espace d'arrivée, je suppose qu'il faut écrire cela proprement pour définir $\mathscr{F}^+(X) \to \mathscr{F}^+(Y)$. Et ensuite, est-ce que $\mathscr{F} \mapsto \mathscr{F}^+$ est bien fonctoriel? Là encore je ne veux pas trop m'avancer sur le sujet sans y avoir réfléchi plus que ça. Restera enfin à traiter le coup du comportement par rapport aux limites finies.

@Raoul: Je lâche l'affaire avec Pablo. J'ai donc trouvé la sortie (:D