Action d'un groupe sur un ensemble.
dans Algèbre
Bonsoir
De ce que j'en sais, un groupe (groupe de symétrie, groupe de Galois ... etc.), agit normalement, sur un objet géométrique (polyèdres, simplex, variétés ... etc.).
Or, j'ai lu, que par exemple, le groupe symétrique $ \mathfrak{S}_3 $ est le groupe qui permute les racines d'un polynôme de degré $ 3 $, sommets d'un triangle équilatéral, laissé invariant par ce groupe symétrique. Donc, $ \mathfrak{S}_3 $ opère sur le triangle, et non sur ses sommets, qui est le simplex ou l'enveloppe convexe engendrée par ces trois racines. Non ?
Ma question, est donc,
- Un groupe (par exemple, un sous-groupe algébrique) agit-il sur un ensemble (par exemple, une sous-variété) ou bien sur l'enveloppe convexe d'un sous-ensemble (topologique si j'ose dire) (l'enveloppe convexe de la sous-variété) ?
- Un groupe de Galois d'un polynôme agit-il sur les sommets d'un polyèdre ou un polytope, ou bien sur le polyèdre ou polytope tout entier ?
Merci d'avance.
De ce que j'en sais, un groupe (groupe de symétrie, groupe de Galois ... etc.), agit normalement, sur un objet géométrique (polyèdres, simplex, variétés ... etc.).
Or, j'ai lu, que par exemple, le groupe symétrique $ \mathfrak{S}_3 $ est le groupe qui permute les racines d'un polynôme de degré $ 3 $, sommets d'un triangle équilatéral, laissé invariant par ce groupe symétrique. Donc, $ \mathfrak{S}_3 $ opère sur le triangle, et non sur ses sommets, qui est le simplex ou l'enveloppe convexe engendrée par ces trois racines. Non ?
Ma question, est donc,
- Un groupe (par exemple, un sous-groupe algébrique) agit-il sur un ensemble (par exemple, une sous-variété) ou bien sur l'enveloppe convexe d'un sous-ensemble (topologique si j'ose dire) (l'enveloppe convexe de la sous-variété) ?
- Un groupe de Galois d'un polynôme agit-il sur les sommets d'un polyèdre ou un polytope, ou bien sur le polyèdre ou polytope tout entier ?
Merci d'avance.
Réponses
-
L'action d'un groupe $G$ sur un ensemble $X$ peut être vue comme la donnée d'un morphisme de groupe de $G$ sur les bijections de $X$.
Dans l'exemple de $\mathfrak S_3$, on peut considérer que ce groupe agit sur l'ensemble des sommets d'un triangle ou sur le triangle dans son ensemble ou même dans le plan euclidien...
Un groupe de Galois agit lui bien évidemment sur les racines du polynôme associé, mais aussi sur l'extension de corps associé à ce polynôme...
Bref un groupe agit sur ce que tu veux, du moment que tu définis l'action (le morphisme de $G$ sur $Bij(X)$) de façon convenable.
Bonne soirée.
F. -
Une action fait ce qu'on lui dit de faire et c'est tout, elle agit sur l'ensemble qu'on veut et comme on veut dans les limites de la définition, point.
Pour le triangle, en fait je crois que tu identifies inconsciemment une action quelconque sur ton triangle à l'action canonique qui vise à échanger les sommets, ce qui n'est pas forcément.
Dans ce cas, le groupe qui "échange les sommets d'un triangle mais qui agit quand même sur le triangle entier en fait" (pour paraphraser) serait plutôt son groupe d'isométries (mais pour n=3 c'est justement le groupe symétrique). Là il est équivalent de permuter isométriquement les sommets et permuter isométriquement le triangle. Ce n'est pas "spécialement" une affaire d'action de groupe. -
Je félicite Pablo pour avoir posé cette question. Il va peut-être prendre le temps de s'informer sur ce que veut dire "résoluble par radicaux" et plus généralement sur la théorie de Galois.
NB:
le mot triangle peut avoir plusieurs sens selon le contexte.
1) la donnée de trois points (alignés, non alignés)
2) la donnée de trois points et les points du segment qui joignent deux points distincts pris parmi ces trois points.
3) l'enveloppe convexe de trois points. -
Merci beaucoup à vous trois.
J'ai eu beaucoup de plaisir à lire vos réponses, surtout l'analogie que vous faites entre :
- (racines,extension de corps engendré par ces racines ) $ \ \longleftrightarrow \ $ (points géométriques, enveloppe convexe engendré par ces points géométriques). cf. Malavita.
- ( groupe symétrique , points géométriques ) $ \ \subset \ $ ( groupe des isométries, enveloppe convexe engendré par ses points géométriques ). cf. Riemann_lapins_cretins. -
Dans l'analogie suivante :
- ( groupe symétrique , points géométriques ) $ \ \subset \ $ ( groupe des isométries, enveloppe convexe engendré par ses points géométriques ). cf. Riemann_lapins_cretins.
Est ce qu'on peut dire que :
Si on munit un groupe symétrique $ \mathfrak{S}_n $ d'une topologie, est ce que la fermeture topologique de $ \overline{\mathfrak{S}_{n}} $ s'identifie au groupe des isométries ?
Merci d'avance. -
C'est plutôt le groupe d'isométries qui est inclus dans le groupe symétrique des sommets (puisque permuter isométriquement les sommets, c'est les permuter tout court aussi).
L'hypothèse d'isométrie est indispensable (elle était cachée encore une fois pour n=3). Tu te rends bien compte que tu peux permuter les points d'un polygone comme tu veux même en imposant de laisser les sommets sur les sommets.
Bref, l'équivalence "permuter les sommets" <=> "permuter le polygone" est fausse. En rajoutant "isométriquement" aux deux par contre si (exercice laissé au lecteur qui pourra s'appuyer sur la preuve de la conjecture de Hodge, pp 314-376). -
Riemann_lapins_cretins a écrit:Bref, l'équivalence "permuter les sommets" <=> "permuter le polygone" est fausse. En rajoutant "isométriquement" aux deux par contre si.
Tu voulais dire : polyèdres ou polytopes, pas polygone, non ?
Parce que les sommets doivent être en position générale. Dans le cas de $ 5 $ sommets ( pentagone ) dans un plan affine à $ 2 $ dimensions, ça ne marche pas. Non ? Parce qu'on n'a pas $ 5 < 2 $. Non ? -
Pour revenir sur l'analogie permutation isométrie, le groupe des isométries laissant invariant un carré s'identifie à un sous groupe strict de $\mathfrak{S}_4$.
Par exemple, il n'existe pas de telle isométrie "permutant" $A,B,C$ et laissant $D$ invariant.
Un truc amusant par contre, le groupe des isométries du cube s'identifie, à quelque-chose près, à $\mathfrak{S}_4$. Pour démontrer cela, il suffit de remarquer que ce groupe d'isométrie agit par permutations sur les grandes diagonales du cube.
A+
F. -
J'avais en tête les groupes diédraux donc je réfléchissais dans le plan (en fait je connais rien à Galois mais pour moi on parlait d'honnêtes polynômes à une indéterminée a priori donc je pensais à C).
La remarque est la même dans le cas de polyèdres (c'est pas le groupe symétrique c'est celui des isométries qui fait qu'on peut dire qu'une permutation de l'objet est une des sommets) mais on n'a pas les mêmes groupes qu'en dimension 2 (qui forment une grande et belle famille).
Je suis bien sûr loin des histoires de Galois ou des actions de groupe. -
malavita a écrit:Pour revenir sur l'analogie permutation isométrie, le groupe des isométries laissant invariant un carré s'identifie à un sous groupe strict de $\mathfrak{S}_4$.
Par exemple, il n'existe pas de telle isométrie "permutant" $A,B,C$ et laissant $D$ invariant.
Peux tu me fournir une démonstration à la main, en considérant par exemple, un morphisme $ f : O(2)_{ \mathrm{carré} } \to \mathfrak{S}_4 $ ... etc, puis tu montres qu'il est injectif d'image, un sous groupe stricte de $ \mathfrak{S}_4 $ ?
$ O(2)_{ \mathrm{carré} } $ est le sous groupe stabilisateur d'un carré d'un plan affine, par l'action : $ \rho \ : \ O(2) \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $.malavita a écrit:Un truc amusant par contre, le groupe des isométries du cube s'identifie, à quelque-chose près, à $\mathfrak{S}_4$. Pour démontrer cela, il suffit de remarquer que ce groupe d'isométrie agit par permutations sur les grandes diagonales du cube.
Peux tu me fournir une démonstration à la main, en considérant par exemple, un morphisme $ f : O(3)_{ \mathrm{cube} } \to \mathfrak{S}_4 $ ... etc, puis tu montres qu'il est en bijection avec : $ \mathfrak{S}_4 $ ?
$ O(3)_{ \mathrm{cube} } $ est le sous groupe stabilisateur d'un cube de $ \mathbb{R}^{3} $, par l'action : $ \rho \ : \ O(3) \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 $.
Cela peut être m'aidera à comprendre.
J'espère que tu sais le faire malavita, parce que cela m'aidera à comprendre pourquoi un groupe d'isométrie est plus petit qu'un groupe symétrique. Moi, je suis sûr que c'est faux.
Un groupe d'isométrie est un groupe à dimension donc, qui n'est pas discret, alors qu'un groupe symétrique est un groupe discret, non ? Donc, c'est le groupe symétrique qui s'injecte dans le groupe des isométries. Non ?
Merci d'avance. -
Le groupe symétrique de X est l'ensemble de ses bijections, le groupe des isométries d'un polyèdre est le groupe des bijections de ses points préservant les distances.
Il est très évident en le disant que l'un est inclus dans l'autre. Considérant même seulement 4 points formant un carré (pas le carré, juste les points), sur les 24 manières de les permuter il n'y en a que 8 qui préservent les distances.
Le groupe des isométries d'un polyèdre est fini (puisque c'est une permutation des sommets, en nombre fini, mais il faut le montrer. Ceci vient de ce que les sommets ne sont strictement dans aucun segment). Il est donc bien plus petit que son groupe symétrique.
MAIS il ne faut pas mélanger groupe symétrique du polyèdre (une permutation de tous ses points, donc évidemment il y en a plein) et groupe symétrique de ses sommets (qui est fini, évidement. C'est une permutation des sommets mais ça ne nous renseigne a priori aucunement sur ce qu'on a fait subir au reste du polyèdre).
Autrement dit, il faut que tu te forces à montrer que :
Trouver une isométrie
<=>
Trouver une isométrie des sommets
Ce qui ne pose pas de problème avec d'aussi bonnes bases en géométrie algébrique. -
Pablo a écrit:J'espère que tu sais le faire malavita, parce que cela m'aidera à comprendre pourquoi un groupe d'isométrie est plus petit qu'un groupe symétrique. Moi, je suis sûr que c'est faux.
Pablo ils ne t'ont jamais dit que le groupe des isométries (du plan par exemple) est plus petit qu'un groupe symétrique ! C'est le groupe des isométries qui laissent invariante une forme géométrique, comme le carré ou le cube, dont il s'agit.
C'est donc un sous-groupe du groupe des isométries. Il se trouve que ces sous-groupes (donc ceux qui laissent invariantes certaines "formes" géométriques) sont finis. -
Soit $ X $ un ensemble.
Soit $ S(X) $ le groupe symétrique de $ X $.
Soit $ \mathrm{Iso} (X) $ le groupe des isométries de $ X $.
Pour Riemann_lapin_cretins et raoul.S :
$ S ( \{ x_1 , \dots , x_n \} ) $ est le groupe symétrique d'un polygone de sommets $ x_1 , \dots , x_n \in \mathbb{R}^n $.
$ \mathrm{Iso} ( \{ x_1 , \dots , x_n \} ) $ est le groupe d'isométrie d'un $ n $ - polyèdres laissant invariant un $ n $ - polyèdres.
$ \ \Longrightarrow \ $
$ \mathrm{Iso} ( \{ x_1 , \dots , x_n \} ) < S ( \{ x_1 , \dots , x_n \} ) $
Pour Pablo :
$ S( \mathbb{R}^n ) $ est le groupe symétrique de $ \mathbb{R}^n $ contenant un $ n $ - cube.
$ \mathrm{Iso} ( \mathbb{R}^n ) $ est le sous groupe des isométries de $ \mathbb{R}^n $.
$ \mathrm{Iso} ( \mathbb{R}^n ) _{ n - \mathrm{cube} } $ est le sous groupe stabilisateur laissant invariant un $ n$-cube de $ \mathbb{R}^n $.
$ \ \Longrightarrow \ $
$ \mathrm{Iso} ( \{ x_1 , \dots , x_n \} ) < S ( \{ x_1 , \dots , x_n \} ) < \mathrm{Iso} ( \mathbb{R}^n ) _{ n - \mathrm{cube} } < \mathrm{Iso} ( \mathbb{R}^n ) < S ( \mathbb{R}^n ) $
Je suis perdu. :-S
Où est ce que j'ai erreur exactement ? -
Bref :
- ( groupe symétrique de $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $ laissant invariant l'enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $, $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $ ) $ \ \supset \ $ ( groupe des isométries de $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $ laissant invariant l'enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $, enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $ ).
cf. Riemann_lapins_cretins.
( @Riemann_lapins_cretins : Cette inclusion que tu fournis est fausse, parce que, ça n'a pas un sens de dire : groupe d'isométrie de $ \{ \ x_1 , \dots , x_n \ \} $ laissant invariant un polyèdre $ A $, parce que : $ A \not \subset \{ \ x_1 , \dots , x_n \ \} $. Non ? )
- ( groupe symétrique de $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $ laissant invariant l'enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $, $ \{ x_1 , \dots , x_n \} ) \ \subset \ $ ( groupe des isométries de $ \mathbb{R}^n $ laissant invariant un enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $, enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $ ).
cf. Pablo.
( ça aussi c'est faux pour la meme raison )
Il faut dire,
- ( restriction du groupe symétrique de $ \mathbb{R}^n $ à $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $ laissant invariant l'enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $, $ \{ x_1 , \dots , x_n \} \cap \mathbb{R}^n ) \ \subset \ $ ( groupe des isométries de $ \mathbb{R}^n $ laissant invariant un enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $, enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $ ) -
Tant mieux pour toi. (tu)
-
Pablo:
Une isométrie (application qui conserve les distances entre deux points d'un espace euclidien) est aussi une application affine (application qui "conserve le parallélisme").
(lorsque l'espace "ambiant" concerné est de dimension fini, en dimension infini je n'en sais rien ou j'ai oublié).
Ce qui fait, qu'en particulier, une isométrie qui conserve globalement trois points, va conserver globalement aussi les trois segments qui joignent deux à deux les sommets d'un triangle*.
En espérant ne pas avoir écrit trop de bêtises.
*: c'est évident si on a une bonne représentation mentale de ce qu'est, par exemple, une isométrie du plan.
NB:
Si on prend un triangle vraiment "moche", il ne va pas y avoir beaucoup d'isométries qui le conservent globalement: l'application identique.
Mais par ailleurs, si on prend un triangle équilatéral le groupe des isométries qui le laissent globalement invariant est le plus gros possible pour un triangle(mais fini).
Par exemple, on prend un triangle de côtés $3,4,5$ . Il y a aucune chance qu'une isométrie transforme l'un des côtés en un autre côté de ce triangle.
NB2:
Le groupe des isométries qui conservent globalement un cercle est un groupe infini.
PS:
Exercice:
Quel est l'ordre du sous-groupe des isométries du plan qui conservent globalement un triangle isocèle (non équilatéral)? -
FdP a écrit:Le groupe des isométries qui conservent globalement un cercle est un groupe infini.
Oui, c'est le groupe : $ U(1) $. Non ? :-) -
Pablo:
Décris moi géométriquement un des éléments du groupe des isométries (du plan) qui laisse globalement invariant un cercle? -
FdP a écrit:Quel est l'ordre du sous-groupe des isométries du plan qui conservent globalement un triangle isocèle (non équilatéral)?
Sous groupe des similitudes du plan. Non ? -
FdP a écrit:Décris moi géométriquement un des éléments du groupe des isométries (du plan) qui laisse globalement invariant un cercle?
Une rotation : $ e^{ i \alpha } = \cos ( \alpha ) + i \sin ( \alpha ) = \begin{pmatrix} \cos ( \alpha ) & - \sin ( \alpha ) \\ \sin ( \alpha ) & \cos ( \alpha ) \end{pmatrix} $. Non ? -
Pablo:
Tu as le droit de réfléchir avant de répondre.
La "majorité" des similitudes ne sont pas des isométries.
Tu dessines un triangle isocèle et tu essaies d'imaginer quelles sont les isométries qui le laissent globalement invariant.
Tu peux commencer par revoir la définition de ce qu'est une isométrie.
On a besoin seulement de connaître les images de chaque sommet du triangle.
Pour chaque sommet il y a trois images éventuelles a priori -
Pablo:
Une rotation est définie par un angle et un CENTRE !
Angle? Centre?
Pourquoi n'y-a-t-il que des rotations dans ce groupe?(edit:une belle c...)
NB:
Dans ce genre d'exercices le plus difficile est de montrer que l'ensemble d'isométries pressenti est exactement celui cherché et qu'il n'y en a pas d'autres. -
FdP :
Le sous groupe qui laisse invariant un triangle isocèle non équilatérale s'injecte dans le groupe qui laisse invariant un ellipse passant par les sommets du triangle ? Donc, le sous groupe qui a pour élément ceux sous la forme $ \begin{pmatrix} \mathrm{ch} (a) & \mathrm{sh} (a) \\ \mathrm{sh} (a) & \mathrm{ch} (a) \end{pmatrix} $ Non ? -
Fin de partie :
> Angle? Centre?
$ 2 k \pi $
$ O(0,0) $
> Pourquoi n'y-a-t-il que des rotations dans ce groupe?
Parce que : $ || R(x) || = ||x|| $, avec : $ R $ une rotation. -
Cette réponse est stupéfiante.
-
Pablo:
Le groupe qu'on cherche est fini. Son cardinal est inférieur ou égal à $3!=6$
Plus haut il a été dit, que l'ensemble des isométries du plan (de l'espace) qui laissent globalement invariant un ensemble de $n$ points s'injecte dans le groupe symétrique d'un ensemble de $n$ éléments.
Tu me proposes un ensemble infini de matrices... -
Math Coss:
Je pense que Pablo réfléchit peu. Il fonctionne comme un moteur de recherche. Il entre des critères de recherche et pour lui toutes les réponses qu'il obtient de la sorte sont la bonne réponse à une question posée. -
Math Coss a écrit:Cette réponse est stupéfiante.
C'était au pif. :-D -
Pablo:
Depuis quand les mathématiques consistent à donner des réponses au pif?
D'autant plus que tu pouvais éliminer facilement cette "réponse" (voir plus haut). -
Ta réponse sur le cercle est fausse aussi.
1)Le cercle proposé n'a pas nécessairement son centre en l'origine du repère.
2) l'ensemble des rotations d'angles $2k\pi$ avec $k$ entier ne constitue pas la totalité des rotations qui laissent globalement invariant un cercle.
PS:
Les rotations ne sont pas les seules isométries du plan.
Une translation est une isométrie et je te laisse réfléchir à ce que sont les autres isométries du plan. -
FdP a écrit:Décris moi géométriquement un des éléments du groupe des isométries (du plan) qui laisse globalement invariant un cercle?
Quelle était ta réponse avant celle que j'ai donnée ? Pour comparer ... -
Ma réponse n'a pas changé entre le moment où j'ai posé la question et ce message. B-)-
Les questions que je te pose sont élémentaires et très intuitives*.
*Je n'ai pas lu un cours de géométrie depuis vingt ans au moins. -
FdP a écrit:Décris moi géométriquement un des éléments du groupe des isométries (du plan) qui laisse globalement invariant un cercle?
Pardon. ... invariant par un triangle isocèle non équilatéral ...
Quelle était ta réponse avant celle que j'ai donnée ? Pour comparer ... -
Trouve la réponse toi-même (elle n'est pas bien difficile si on réfléchit quelques minutes). Je vais me coucher.
-
Sous groupe $ \{ I_2 \} $ ?.
-
J'avais oublié:
Le sous-groupe des isométries qui conservent globalement un cercle n'est pas seulement constitué de rotations. -
Je reprends ce passage :Pablo a écrit:( ... ça aussi c'est faux pour la meme raison )
Il faut dire,
- ( restriction du groupe symétrique de $ \mathbb{R}^n $ à $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $ laissant invariant l'enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $, $ \{ x_1 , \dots , x_n \} \cap \mathbb{R}^n ) \ \subset \ $ ( groupe des isométries de $ \mathbb{R}^n $ laissant invariant un enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $, enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $ )
Il faut comprendre le couple :
- ( restriction du groupe symétrique de $ \mathbb{R}^n $ à $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $ laissant invariant l'enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $, $ \{ x_1 , \dots , x_n \} \cap \mathbb{R}^n ) $ comme la trace sur $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $ du couple :
- ( groupe des isométries de $ \mathbb{R}^n $ laissant invariant un enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $, enveloppe convexe engendré par $ \{ x_1 , \dots , x_n \} $ ).
La notion de trace est une notion topologique et non algébrique. Non ? Alors, faites attention à ça. Il faut réfléchir sur ce fil avec un esprit topologique et non algébrique. :-) -
Bonjour,
pour revenir sur le groupe des isométries du cube, l'idée est que toute isométrie conserve les grandes diagonales dans leur ensemble. Une telle isométrie induit donc une permutation sur l'ensemble des grandes diagonales.
Pour montrer que le morphisme de groupe ainsi construit est surjectif, il suffit de montrer que toute transposition des grandes diagonales est l'image d'une isométrie par ce morphisme.
Enfin le "à quelque-chose près" est le noyau de ce morphisme ;-)
A+
F. -
Faut faire tourner le cube autour d'une de ses grandes diagonales $D$, ça échange les sommets de la diagonale qui est perpendiculaire à $D$,
et ça échange les deux autres diagonales. -
Pablo:
Ce que je comprends de ce que tu ne comprends pas:
Quand les roues d'une voiture se déplacent*, c'est toute la voiture qui se déplace avec.
*: mouvement assimilé à une translation, qui est une isométrie: en principe à la fin du mouvement la voiture a les mêmes dimensions qu'au départ et est toujours une voiture B-)-
Ce qui est vrai pour une voiture est vrai aussi pour un triangle (imagine que les trois sommets sont des roues)
Donc, si on s'intéresse à l'ensemble des isométries qui laissent globalement invariant un triangle* on a seulement à se préoccuper des effets de ces isométries sur les sommets du triangle.
L'image d'un point par une isométrie (respectivement une application affine) qui n'est pas un sommet de ce triangle mais qui appartient à un côté du triangle (respectivement à l'intérieur du triangle) est un point qui appartient à un côté du triangle sans être un sommet (respectivement à l'intérieur du triangle sans appartenir à un côté)
*: tu peux prendre l'un des sens qui ont été donnés plus haut de ce qu'on appelle généralement un triangle.
PS:
Le sous-groupe des isométries du plan qui laissent globalement invariant un triangle isocèle (non équilatéral) n'est pas réduit au singleton composé de l'identité du plan.
Un triangle isocèle n'est pas ce qui se fait de plus "moche" dans ce contexte.
PS2:
Pour dire les choses autrement, l'ensemble des isométries du plan qui laisse globalement invariants trois points est le même que l'ensemble des isométries qui laissent globalement invariante l'enveloppe convexe de ces trois points. -
FdP a écrit:Le sous-groupe des isométries du plan qui laissent globalement invariant un triangle isocèle (non équilatéral) n'est pas réduit au singleton composé de l'identité du plan. Un triangle isocèle n'est pas ce qui se fait de plus "moche" dans ce contexte.
S'il te plaît, donne moi la réponse à laquelle tu pensais, pour que je puisse comparer. -
Pablo:
Tu fais un dessin et tu réfléchis.
NB:
Je pense que tu ne sais pas ce que peut être une isométrie du plan. -
Moi, je ne sais pas la réponse. Si j'avais la réponse, je te l'aurais donné.
C'est quoi la bonne réponse ? -
-
Pablo:
Tu sais ce qu'est une isométrie? Tu crois qu'une dilatation, en général, est une isométrie?
Si je te demande combien font $2+2$ tu vas me parler de cohomologie galoisienne? :-D -
Moi, je ne perds rien. Je vais sur un autre forum et ils me donneront la bonne réponse. :)o 8-)
-
Bonjour,
Eh bien, bon vent, et vogue la galère ....
Cordialement,
Rescassol -
Pablo:
Tu es un être humain pas un perroquet.
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