Ton exemple sur les équations différentielles n'a strictement rien à voir avec ce dont il était question plus haut.
Tu n'as rien factorisé du tout.
Par ailleurs, tu méconnais l'apport du calcul matriciel dans ce domaine visiblement. Ce qui n'est pas étonnant tu t'es toujours refusé à maîtriser ce qu'on enseigne en licence (en France).
Un truc à vous reprocher :
Il n'y'a que moi qui partage ses idées sur ce fil, alors que vous, vous ne faites que critiquer, vous n'ajoutez aucune idée à la discussion. C'est pourquoi la discussion marche sur un pied.
Alors, montrez un peu comment vous voyez les choses ? Vous êtes trop centré sur vous meme et c'est difficile de vous extirpez une idée à quelques intervenants comptés au bout du doigts près.
Aligner des mots techniques les uns derrière les autres, sans se soucier du sens qu'on donne au tout, tout le monde peut le faire.
Je vais même aller plus loin ce qui est agaçant (je le fais parfois aussi et je n'en suis pas fier) ce sont les gens qui croient donner un indice à une question mais qui n'ont pas rédigé la réponse jusqu'au bout et qui s'aperçoivent quand ils le font que leur indication ne vaut rien du tout, que c'est de la m.... :-D
Oui, $ G $ agit transitivement sur $ X $, si pour tout $ (x,y) \in X \times X $ il existe $ g \in G $ tel que $ x = gy $, c'est-à-dire si pour tout $ (x,y) \in X \times X \ \ \exists g \in G $ tel que : $ \rho (g) = (x,y) $ ( $ x = gy $ est juste une manière d'écrire : $ \rho (g) = (x,y) $. Non ? )
D'où : $ \rho \ : \ G \to \mathrm{Hom} (X) $ est surjective. Non ?
Pardon, je voulais dire :
$ G $ agit transitivement sur $ X $, si pour tout $ (x,y) \in X \times X $ il existe $ g \in G $ tel que $ x = gy $, c'est-à-dire si pour tout $ x^y \in X^X \ \ \exists g \in G $ tel que : $ \rho (g) = x^y $ ( $ x = gy $ est juste une manière d'écrire : $ \rho (g) = \log(x^y) $. Non ? )
Bref, $ \rho $ est une algébrisation de la fonction logarithme : $ x \to \log (x) $, et $ \rho $ est transitive si $ \log (x^y) = y \log (x) $.
Si $X$ est un ensemble bête sans structure particulière on ne peut pas additionner deux applications de $X$ dans $X$.
On peut les composer, mais tout cet ensemble ne forme pas un groupe de transformations de l'ensemble $X$ muni de la loi de composition des applications. $Hom(X)$ est un "bête" ensemble: l'ensemble des applications de $X$ dans $X$.
Donc je ne sais pas ce que signifie $\rho: G\rightarrow Hom(X)$ hormis que cela peut désigner une application "bête" entre deux ensembles (la structure de groupe de $G$ n'est pas prise en compte)
Que signifie $x^y \in X^X$? C'est une application qui envoie $x$ sur $y$, deux éléments distincts de $X$? Si $X$ n'est pas réduit à deux éléments des applications qui envoient $x$ sur $y$ il peut y en avoir plusieurs.
$\rho (g) = x^y$ n'est pas bien définie (cf ce qui précède)
PS:
Par charité je n'ai pas commenté le passage où il y a la notation $log$ qui est utilisée.
@FdP : tu ferais mieux d'arrêter de perdre ton temps. J'ai décidé d'en faire de même, il n'y a rien à récupérer chez Pablo : Complotisme, arrogance, aveuglement.
Si $X$ est un "bête" ensemble quelconque, sans structure particulière, parler de continuité n'apporte rien.
(on peut toujours munir un ensemble $X$ quelconque d'une topologie mais je crains que dans cette topologie toutes les applications de $X$ dans $X$ soient continues. :-D )
Quelle différence majeure existe-t-il entre une action libre et une action fidèle ?
J'utilise les définitions suivantes trouvées ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,625722 ( Regardez les postes de @GG sur ce lien ).
- $ \rho $ est libre si :
$ \forall x \in X ,\ \ \forall g \in G \ : \ \big( gx=x \ \Longrightarrow \ g = e \big) $
- $ \rho $ est fidèle si :
$ \forall g \in G ,\ \ \forall x \in X \ : \ \big( gx=x \ \Longrightarrow \ g = e \big) $
C'est-à-dire, qu'est ce qui change lorsqu'on permute la position des quantificateurs ( i.e : $ \forall x \in X, \ \forall g \in G $ devient $ \forall g \in G ,\ \forall x \in X \ $ et inversement ) ?
Merci d'avance.
libre : $ \forall x \in X, \forall g \in G, (gx=x \Rightarrow g = e) $ qui est équivalent à $ \forall g \in G, \forall x \in X, (gx=x \Rightarrow \ g = e) $.
C'est-à-dire que, sauf si $g=e$, $g$ agit non trivialement sur tout élément de $X$.
fidèle : $ \forall g \in G, (\forall x \in X, gx=x ) \Rightarrow g = e$.
C'est-à-dire que, sauf si $g=e$, $g$ agit non trivialement sur au moins un élément de $X$.
Non. $G$ est fixé donc une formulation équivalente à la définition de libre ou fidèle ne peut pas se terminer par $G=\{e\}$.
Et on a : $\forall g\in G, gX := \{gx\mid x\in X\} =X$ car $x\mapsto gx$ est bijective, donc ton truc ne peut pas marcher.
Oui, c'est vrai Calli, $ G $ est fixé depuis le début.
Et ça :
- libre signifie :
$ \{ g \in G \ | \ gX = X \ \} = \{e \} $
- fidèle signifie :
$ \{ g \in G \ | \ g.( ... \times X \times ... \times X \times ... ) = ( ... \times X \times ... \times X \times ... ) \ \} = \{ g \in G \ | \ gX^X = X^X \ \} = \{ e \} $
?
Non, je viens de dire que $\{ g \in G \mid gX = X \} = G$. Et $X^X$ n'a pas grand chose à faire ici.
Bref, arrête de chercher des reformulations foireuses quand tu as une définition toute prête.
- fidèle signifie :
$ \displaystyle \bigcap_{ x^y \in X^X } \{ g \in G \ | \ g.x^y = x^y \ \} = \{ e \} $
qui signifie que :
$ \forall x^y \in X^X $ : $ g.x^y = e.x^y \ \Longrightarrow \ g = e $
C'est à dire que : $ \rho : G \to X^X $ est un homomorphisme injective.
Bref, $ \rho : G \to X^X $ ( i.e : $ \rho : G \times X \to X $ ) s'identifie à un $ x \to \log (x) $ de type algébrique, qui lorsqu'il est bijective, alors, on peut écrire : $ \rho(g) = \log(g) = x^y = \log (x^y) = g $. C'est à dire, lorsque $ \rho $ est bijective, les éléments de $ G $ et $ X^X $ circulent librement en toute liberté par la porte qui est $ \rho = \log $.
les éléments de $ G $ et $ X^X $ circulent librement en toute liberté par la porte qui est $ \rho = \log $.
Ah bah, va vite les rattraper, il ne faudrait pas qu'ils s'enfuient. X:-(
Bon, ciao Pablo. Bonne journée.
PS: Au masculin, on écrit injectif et bijectif.
Vous n'avez aucune chance de comprendre Pablo si vous n'apprenez pas d'abord son langage. Heureusement je suis là pour vous l'expliquer...
Si vous prenez un ensemble $X$ alors vous aurez tendance à noter un élément de cet ensemble par un "petit" $x$, genre $x\in X$ ce qui est tout à fait normal.
À présent si vous considérez l'ensemble des applications de $X\rightarrow X$, qu'on note habituellement $X^X$, alors vous pouvez avoir ici aussi l'envie de prendre un élément de cet ensemble et comme précédemment, quoi de plus naturel que de choisir un petit $x\in X$ pour le $X$ du bas et un petit $y\in X$ (petite subtilité, et oui le $x$ est déjà pris il faut changer de lettre) pour le $X$ en exposant et de noter simplement $x^y\in X^X$ (mouhahahaha.....hahaha !!!).
Bref, les $x^y$ de Pablo sont des applications de $X\rightarrow X$. Voili voilou vous vous coucherez moins bêtes ce soir. (:P)
Ce qu'il note $x^y$ est une application dont l'image de $x$ est $y$ (à moins que cela ne soit le contraire).
Une telle condition ne garantit nullement en général qu'on a défini sans ambiguïté une application mais cela ne semble pas le déranger il est content de sa calligraphie et c'est ce qui compte pour lui me semble-t-il. B-)-
Réponses
Merci.
Ton exemple sur les équations différentielles n'a strictement rien à voir avec ce dont il était question plus haut.
Tu n'as rien factorisé du tout.
Par ailleurs, tu méconnais l'apport du calcul matriciel dans ce domaine visiblement. Ce qui n'est pas étonnant tu t'es toujours refusé à maîtriser ce qu'on enseigne en licence (en France).
Il n'y'a que moi qui partage ses idées sur ce fil, alors que vous, vous ne faites que critiquer, vous n'ajoutez aucune idée à la discussion. C'est pourquoi la discussion marche sur un pied.
Alors, montrez un peu comment vous voyez les choses ? Vous êtes trop centré sur vous meme et c'est difficile de vous extirpez une idée à quelques intervenants comptés au bout du doigts près.
Aligner des mots techniques les uns derrière les autres, sans se soucier du sens qu'on donne au tout, tout le monde peut le faire.
Je vais même aller plus loin ce qui est agaçant (je le fais parfois aussi et je n'en suis pas fier) ce sont les gens qui croient donner un indice à une question mais qui n'ont pas rédigé la réponse jusqu'au bout et qui s'aperçoivent quand ils le font que leur indication ne vaut rien du tout, que c'est de la m.... :-D
En plus une matrice, c’est censé accueillir la vie, ce serait le comble que ce soit plat!
Pardon, je voulais dire :
$ G $ agit transitivement sur $ X $, si pour tout $ (x,y) \in X \times X $ il existe $ g \in G $ tel que $ x = gy $, c'est-à-dire si pour tout $ x^y \in X^X \ \ \exists g \in G $ tel que : $ \rho (g) = x^y $ ( $ x = gy $ est juste une manière d'écrire : $ \rho (g) = \log(x^y) $. Non ? )
Bref, $ \rho $ est une algébrisation de la fonction logarithme : $ x \to \log (x) $, et $ \rho $ est transitive si $ \log (x^y) = y \log (x) $.
Si $X$ est un ensemble bête sans structure particulière on ne peut pas additionner deux applications de $X$ dans $X$.
On peut les composer, mais tout cet ensemble ne forme pas un groupe de transformations de l'ensemble $X$ muni de la loi de composition des applications. $Hom(X)$ est un "bête" ensemble: l'ensemble des applications de $X$ dans $X$.
Donc je ne sais pas ce que signifie $\rho: G\rightarrow Hom(X)$ hormis que cela peut désigner une application "bête" entre deux ensembles (la structure de groupe de $G$ n'est pas prise en compte)
Que signifie $x^y \in X^X$? C'est une application qui envoie $x$ sur $y$, deux éléments distincts de $X$? Si $X$ n'est pas réduit à deux éléments des applications qui envoient $x$ sur $y$ il peut y en avoir plusieurs.
$\rho (g) = x^y$ n'est pas bien définie (cf ce qui précède)
PS:
Par charité je n'ai pas commenté le passage où il y a la notation $log$ qui est utilisée.
$ \mathrm{Homeo} (X) = \{ \ \text{homéomorphismes} \ \} $
Je suis fatigué, je ne peux pas répondre à toutes tes questions @FdP. Relis doucement ce que j'ai écrit depuis le début du fil.
Si $X$ est un "bête" ensemble quelconque, sans structure particulière, parler de continuité n'apporte rien.
(on peut toujours munir un ensemble $X$ quelconque d'une topologie mais je crains que dans cette topologie toutes les applications de $X$ dans $X$ soient continues. :-D )
Je vais avoir une semaine chargée, je n'aurais pas beaucoup le temps de donner la réplique à Pablo même si l'envie m'en prenait. B-)-
Quelle différence majeure existe-t-il entre une action libre et une action fidèle ?
J'utilise les définitions suivantes trouvées ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,625722 ( Regardez les postes de @GG sur ce lien ).
- $ \rho $ est libre si :
$ \forall x \in X ,\ \ \forall g \in G \ : \ \big( gx=x \ \Longrightarrow \ g = e \big) $
- $ \rho $ est fidèle si :
$ \forall g \in G ,\ \ \forall x \in X \ : \ \big( gx=x \ \Longrightarrow \ g = e \big) $
C'est-à-dire, qu'est ce qui change lorsqu'on permute la position des quantificateurs ( i.e : $ \forall x \in X, \ \forall g \in G $ devient $ \forall g \in G ,\ \forall x \in X \ $ et inversement ) ?
Merci d'avance.
C'est-à-dire que, sauf si $g=e$, $g$ agit non trivialement sur tout élément de $X$.
C'est-à-dire que, sauf si $g=e$, $g$ agit non trivialement sur au moins un élément de $X$.
Donc,
- libre, signifie :
$ \bigcup_{g \in G} (gX) = GX = X \ \Longrightarrow \ G = \{ e \} $
- fidèle, signifie :
$ \bigcap_{ g \in G } (gX) = X \ \Longrightarrow \ G = \{ e \} $
Non ?
Et on a : $\forall g\in G, gX := \{gx\mid x\in X\} =X$ car $x\mapsto gx$ est bijective, donc ton truc ne peut pas marcher.
Et ça :
- libre signifie :
$ \{ g \in G \ | \ gX = X \ \} = \{e \} $
- fidèle signifie :
$ \{ g \in G \ | \ g.( ... \times X \times ... \times X \times ... ) = ( ... \times X \times ... \times X \times ... ) \ \} = \{ g \in G \ | \ gX^X = X^X \ \} = \{ e \} $
?
Bref, arrête de chercher des reformulations foireuses quand tu as une définition toute prête.
- libre signifie :
$ \displaystyle \bigcap_{ x \in X } \{ g \in G \ | \ gx = x \ \} = \{e \} $
- fidèle signifie :
$ \displaystyle \bigcap_{ x^y \in X^X } \{ g \in G \ | \ g.x^y = x^y \ \} = \{ e \} $
Non ?
$ \displaystyle \bigcap_{ x^y \in X^X } \{ g \in G \ | \ g.x^y = x^y \ \} = \{ e \} $
qui signifie que :
$ \forall x^y \in X^X $ : $ g.x^y = e.x^y \ \Longrightarrow \ g = e $
C'est à dire que : $ \rho : G \to X^X $ est un homomorphisme injective.
Ah bah, va vite les rattraper, il ne faudrait pas qu'ils s'enfuient. X:-(
Bon, ciao Pablo. Bonne journée.
PS: Au masculin, on écrit injectif et bijectif.
Edit : pour les mathématiques, c’est une autre histoire.
Le printemps n'est pas encore là mais les papillons volent déjà en couple.
Si vous prenez un ensemble $X$ alors vous aurez tendance à noter un élément de cet ensemble par un "petit" $x$, genre $x\in X$ ce qui est tout à fait normal.
À présent si vous considérez l'ensemble des applications de $X\rightarrow X$, qu'on note habituellement $X^X$, alors vous pouvez avoir ici aussi l'envie de prendre un élément de cet ensemble et comme précédemment, quoi de plus naturel que de choisir un petit $x\in X$ pour le $X$ du bas et un petit $y\in X$ (petite subtilité, et oui le $x$ est déjà pris il faut changer de lettre) pour le $X$ en exposant et de noter simplement $x^y\in X^X$ (mouhahahaha.....hahaha !!!).
Bref, les $x^y$ de Pablo sont des applications de $X\rightarrow X$. Voili voilou vous vous coucherez moins bêtes ce soir. (:P)
Comme je ne suis pas ingrat, je me dois de remercier @Pablo_de_retour : grâce à toi, je me suis bien marré dernièrement.
Ce qu'il note $x^y$ est une application dont l'image de $x$ est $y$ (à moins que cela ne soit le contraire).
Une telle condition ne garantit nullement en général qu'on a défini sans ambiguïté une application mais cela ne semble pas le déranger il est content de sa calligraphie et c'est ce qui compte pour lui me semble-t-il. B-)-