Base canonique
Bonjour
1. Est-ce qu'on peut définir la base canonique d'un espace vectoriel comme la base la plus simple ou la plus facile ?
2. Une base canonique d'un espace vectoriel si elle existe est-elle unique ?
3. Quelle est la définition bref et précise d'une base canonique ?
Merci beaucoup.
1. Est-ce qu'on peut définir la base canonique d'un espace vectoriel comme la base la plus simple ou la plus facile ?
2. Une base canonique d'un espace vectoriel si elle existe est-elle unique ?
3. Quelle est la définition bref et précise d'une base canonique ?
Merci beaucoup.
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Réponses
Un « 1 » ici et des « 0 » ailleurs.
Mais par exemple, pour les matrices 2x2, faut-il encore trouver le bon ordre (ligne/colonne).
Il y a eu une discussion (deux ans ? trois ans ?) à ce sujet.
Disons que c’est davantage « humain » que mathématique.
On se met tous d’accord pour attribuer l’adjectif « canonique » à cette base-là.
A l’usage on sait de quoi on parle.
On définit "la base canonique de E" dans des cas particuliers. La base canonique, si elle existe, est la base qui s'impose et qu'on a envie de prendre en première instance, bien que ce ne soit pas une définition formelle.
La seule chose sûre c'est que se casser la tête sur ce problème n'est pas la meilleure chose à faire. Je comprends qu'on veuille formaliser mathématiquement cette idée mais en réfléchissant elle se présente par défaut dans R^n, et toutes les autres bases canoniques (polynômes, matrices, suites dans un contexte de topologie) sont en fait la même base canonique de R^n lorsqu'on choisit de voir les dits espaces comme étant en fait R^n (exemple, celle des polynômes de degré borné par n-1 s'obtient en voyant la puissance de l'indéterminée comme le marqueur d'une coordonnée, mais en fait on ne dit rien de spécial en disant ça puisque c'est par définition ce que fait l'indéterminée après qu'on a défini cet espace comme "ensemble des suites nulles après le rang n").
Oui, ça c’est irrémédiablement certain !
Mais l'idée fédératrice est que R^n est toujours l'espace auquel on veut se ramener (que ce soit là, en topologie avec les bases canoniques de l^1 ou c0 par exemple, en probabilités avec l'espace des trajectoires..."canonique" veut dire "je prends l'angle R^n). Bon, et par construction naturelle (à cause de la géométrie telle que Descartes nous l'a amenée avec ses coordonnées, en grande partie, enfin j'imagine), on a une base qui s'impose directement à nous avant même de savoir ce qu'est une base.
Canonique voudrait donc dire base naturelle de l'espace après retour à R^n.
Cordialement.
Il me semble que cela dépend de l'espace vectoriel considéré.
Pour les polynomes la base canonique existe et est unique : c'est 1, x, x², ...xn, ...
Pour Rn également, la base canonique existe et est unique.
Par contre, dans un espace vectoriel géométrique tel que l'espace euclidien, il n'y a pas de base canonique. Les bases les plus commodes sont les bases orthonormées, et il y en a une infinité.
Cordialement