Faisceau structurel

Eh bien, le petit calcul que j'ai fait, c'est un bête changement de cartes entre deux ouverts affines habituels de l'espace projectif mais en montant la chose au dessus de $R[\varepsilon]$.

Goleon
Tu fais bien de m'en parler. Parce que moi pareil (je ne comprends plus). Et si si on en profitait pour se reposer ?

$\def\A{\mathbb A}\def\P{\mathbb P}\def\cO{\mathcal{O}}\def\cOPn{\cO_{\P^n}(-1)}\def\GL{\text{GL}}$Goleon,
Tu as de la chance : ici pas de montagne. Mais se reposer ne signifie pas capituler. Ici, dans la série ``faire des petites choses simples'', je te dis quelques mots sur le fibré tautologique de $\P^n$, the so called $\cOPn$. Il me semble il n'y a pas si longtemps que tu m'avais posé la question. Peux tu me surveiller ? Merci.

Pour faciliter ma tâche, j'attache un extrait de nos conventions pour les transitions. Ainsi que 2 pages de Cox an co (Toric Varieties) car d'une part les conventions sont les mêmes et d'autre part, et surtout, parce que c'est extrêmement clair (on ne peut pas en dire autant de tous les auteurs). Evidemment, je ne vais pas faire du coupé-collé.

Dans la suite : $p$ désignera un point de $\P^n$ et $h$ un vecteur de $\A^{n+1}$. Il m'arrivera d'écrire $p = [x] = (x_0 : \cdots : x_n)$ où $x$ est donc unimodulaire. En faisant attention à la non dépendance en $x$. Mais dans certains endroits, $p$ n'a pas à être une droite unimodulaire (par exemple dans la définition que tu vas t'empresser de mettre en foncteur des points)

$\bullet$ 1. Définition de $\big(\cOPn, \pi)$ où $\pi : \cOPn \to \P^n$
$$
\cOPn = \{ (p,h) \in \P^n \times \A^{n+1} \mid h \in p\} \quad \subset\quad \P^n \times \A^{n+1} \qquad\qquad
\pi = \text { première projection}
$$La fibre du point $p$ est $\{ p\} \times p$, clairement munie d'une structure de module sur l'anneau de base.
$\bullet$ 2. Equations : mineurs d'ordre 2 de la matrice à gauche qui traduisent $x \wedge h = 0$ correspondant à $h$ appartient à la droite $p = [x]$
$$
\left[ \matrix {x_0 & \cdots & x_n\cr h_0 & \cdots & h_n}\right] \qquad\qquad
\left| \matrix {x_i & x_j\cr h_i & h_j}\right| = 0 \qquad x_i h_j = x_j h_i
$$Bien sûr, c'est homogène en $x$ (on peut y remplacer $x$ par $ux$ où $u$ est un inversible).

$\bullet$ 3. Sections globales. Il n'y en a pas i.e. seulement la section nulle. Cela peut se voir de la manière suivante : soit $s$ une section globale. En la composant avec la deuxième projection, on tombe sur un morphisme partout défini $\P^n \to \A^{n+1}$. Qui doit donc être constant. Notons $h_0 \in \A^{n+1}$ cette constante de sorte que $s(p) = (p, h_0)$. Mais on doit avoir $h_0 \in p$ pour tout $p \in \P^n$. Donc $h_0 = 0$ et $s$ est la section nulle.

$\bullet$ 4. Trivialisation au dessus de $U_i$. Avec nos conventions
$$
\varphi_i : \pi^{-1}(U_i) \quad \buildrel {\simeq} \over \longmapsto\quad U_i \times \A \qquad \text{ défini par } \quad (p,h) \mapsto (p, h_i)
$$En effet, $p = [x]$ et $h_i$ déterminent $h$ puisque $h = (h_i/x_i).x = h_i.(x/x_i)$ (je l'écris de deux manières pour y appuyer que $x/x_i$ ne dépend pas du représentant $x$).

$\bullet$ 5. Transitions. Regarder Cox. Un peu plus lourdingue ici. Au dessus de $U_i \cap U_j$, on regarde $\varphi_i \circ \varphi_j^{-1} : (U_i \cap U_j) \times \A \to (U_i \cap U_j) \times \A$
$$
\varphi_j^{-1}([x], \lambda) = ([x], \lambda x/x_j) \qquad
\varphi_i ([x], \lambda x/x_j) = ([x], \lambda x_i/x_j) \qquad\qquad
\fbox {$C_{ij}([x]) = \displaystyle {x_i \over x_j} $}
$$Note : en principe, pour un fibré vectoriel de rang constant $r$, $C_{i,j} : U_i \cap U_j \to \GL_r$. Et comme ici $r=1$, j'ai simplement mentionné le multiplicateur (qui est bien sûr un inversible au dessus de $U_i \cap U_j$ et qui ne dépend pas du représentant $x$).

$\bullet$ L'encadré, c'est peut-être préférable de l'écrire ainsi :
$$
\cOPn : \fbox {$C_{ij}([x]) = \displaystyle {\left( {x_j \over x_i} \right)^{-1}} $}
\qquad\qquad \qquad \text{plus tard} \qquad
\cO_{\P^n}(m) : \fbox {$C_{ij}([x]) = \displaystyle {\left( {x_j \over x_i} \right)^{m}} $}
$$Mais rappel : cela n'a aucun sens si on ne précise pas sa couleur sur les $C_{i,j}$.Rien à voir. Et peut-être déjà dit. Je sais que tu l'as perdu. Mais pourrais tu m'expliquer, dans Hartshorne, pourquoi le truc si important pour moi, à savoir que les sous-schémas fermés de $\P^n_R$ sont en correspondance biunivoque avec les idéaux homogènes SATURES de $R[X_0, \cdots, X_n]$, vient seulement en exercice (exercice 5.10, p. 125). Après d'aiileurs l'exercice 5.9 beaucoup plus compliqué consacré à $M \mapsto \widetilde M$ de Serre.

$\def\A{\mathbb A}\def\P{\mathbb P}\def\cO{\mathcal{O}}\def\cOPn{\cO_{\P^n}}\def\GL{\text{GL}}$Salut Goleon

$\bullet$ 1. J'ai bien vu ton post avec des extraits de SGA III (je suppose). J'ai tiré, lu une fois, une deuxième fois. Qu'en dire pour l'instant ? Rien. Sauf que j'ai un peu la trouille d'une certaine personne qui fait monter la mer pour mettre le bateau à quai (ou quelque chose dans ce goût là). Si tu veux que j'accroche, il va probablement falloir que tu fasses des efforts, beaucoup d'efforts et probablement que tu en fais déjà.

Par ailleurs, ce jour, je n'ai pas fait grand chose. Et comme on avait écrit un peu n'importe quoi dans nos pdf, je me suis dit que cela serait une bonne chose de procéder différemmment : ordre, méthode, en prenant le temps qu'il faudra ...etc... Qu'en dis tu ? J'attache un extrait d'un vague objectif.

$\bullet$ 2. J'ai vu que tu avais bien voulu suivre mes conventions qui sont celles de Cox & co. Je t'en remercie. J'en rajoute une couche en attachant un extrait d'Arrondo http://www.mat.ucm.es/~arrondo/projvar.pdf où il décrit le système de transitions du fibré tautologique de $\P^n$. Ce n'est pas notre convention, il est impératif de le savoir. Pour comprendre, il faut lire le bas de la page p. 125 (et les pages 126, 127).

Pour te montrer la difficulté à lire de l'information, peux me dire où est décrit un truc aussi insignifiant que $\cOPn(r)$ dans dans les 700 pages de Vakil http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGjun1113public.pdf (750 pages). Et comment ?

Au fait, tu n'as pas perdu tes deux Shafarevich ?

$\bullet$ 3. Tiens un point de vue fonctoriel in http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.542.2519&rep=rep1&type=pdf (Section 4.2 The tangent Bundle to a Scheme). Cela pourrait être bien cette section. On y apprend quoi de tangible ?

$\bullet$ 4. De la lecture (un vieux truc à moi). En quoi un $S$-module gradué (pas quelconque) $M$ fournit le système de transitions du fibré défini par $\widetilde M$. Et d'autre part fournit les sections globales de $\widetilde M$ : c'est la composante homogène $M_0$ QUAND $M$ est extra-bon.

Peut-être beaucoup de lecture. Juste pour te freiner.

$\def\Hom{\text{Hom}}\def\A{\mathbb A}\def\P{\mathbb P}\def\cO{\mathcal{O}}\def\cOPn{\cO_{\P^n}}\def\GL{\text{GL}}\def\cT{\mathcal{T}}\def\bfun{\mathbb 1}\def\Spec{\text{Spec}}\def\vp{\varepsilon}$Coucou Goleon

$\bullet$ 0. Première chose : tu es à l'aise avec les foncteurs, les morphismes de foncteurs ...etc.. Est ce que tu peux comprendre que ce n'est pas le cas de tout le monde, en particulier (et surtout) de mézigue ?

Autre chose : je constate que tu ne réponds pas trop à mes questions. Par exemple, aller chercher telle information dans Vakil, ce n'est pas faire des maths, c'est simplement essayer d'aller trouver de l'information. Idem pour Shavarevitch ou la la section 4.2 (The Tangent Bundle to a Scheme) de Piercey in http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.542.2519&rep=rep1&type=pdf

Je dis cela (= chercher une information bien nette) car, à propos d'une construction que tout le monde a compris en 2 secondes (sauf moi) , j'ai mis un certain temps pour pouvoir raconter quelque chose de simple (j'espère) concernant $\cOPn(-1)$. Note : à ce propos, je viens de mettre plus d'une demi-heure à retrouver des billes dans Vakil.

En passant : je me suis mal exprimé en mentionnant ``Géométrie algébrique''. Cela peut-être également ``Algèbre Commutative'' ou autre. Et surtout le plus important pour moi, c'est de faire des petites choses simples qui permettent d'asseoir des bases. Dit autrement, mon seul objectif est de bien comprendre les bases.

$\bullet$ 1 J'en viens à ta question du dernier post. Eh bien figure toi que je ne vais pas pouvoir y répondre. Et je t'assure que j'y ai passé du temps (je n'ose pas dire combien de temps). Je vais essayer d'expliquer pourquoi je ne n'ai pas pu y répondre (à part le fait que je suis un gros naze).

D'abord, tu parles de la construction $X \mapsto \cT X$ où $X$ est un foncteur. Elle est où cette construction ? Dans les posts précédents ? Dans certains documents pointés ? Pourquoi ne pas rappeler que $\cT X = \Hom(\Spec\, \Z[\vp], X)$, même si de ton côté, tu as l'impression que cela a été dit 15 fois. C'est bien cela $\cT X$ ?

Et du coup $\cT\Omega$ cela doit être le foncteur qui à un anneau $R$ associe l'ensemble des idéaux de $R$ de carré nul. C'est bien cela ?

Ensuite vient une remarque : $\bfun$ est ouvert dans $\Omega$. En passant, voulant illustrer le foncteur $\bfun$ versus $\Omega$, tu prends comme exemple que $7\Z$ est un idéal de $\Z$, avec la précision que $7\Z$ n'est pas égal à $\Z$. Est ce que cela éclairement vraiment ?

Revenons à $\bfun$ ouvert dans $\Omega$. Cela dit quoi ?
Le gentil (?) garçon que je suis consulte évidemment Jantzen 1.7 p. 11 : $Y \subset X$ est ouvert dans $X$ si pour tout schéma affine $X'$ et tout morphisme $f : X' \to X$, il existe un idéal $I \subset \Z[X']$ tel que $f^{-1}(Y) = D(I)$. Je pense (!) avoir recopié la définition de Jantzen en remplaçant son $k$ par $\Z$.

Une avalanche de pour tout ...etc.. ce qui fait que j'ai capitulé, gros naze que je suis. Alors que je suis persuadé que c'est une trivialité. Donc impossible pour moi d'avancer si je ne sais pas faire le tri, dans la chose fonctorielle, entre trivialités et non trivialités

Of course, quant à $\cT\bfun$ ouvert dans $\cT\Omega$, pour l'instant, je mets cela de côté.

Et il me reste quoi de ce que j'ai essayé de comprendre pendant $x$ heures ? Que dalle. Peux tu comprendre cela ?

$\def\Hom{\text{Hom}}\def\A{\mathbb A}\def\P{\mathbb P}\def\cO{\mathcal{O}}\def\cOPn{\cO_{\P^n}}\def\GL{\text{GL}}\def\cT{\mathcal{T}}\def\bfun{\mathbb 1}\def\Spec{\text{Spec}}\def\vp{\varepsilon}\def\cU{\mathcal{U}}$Salut Goleon

Je n'ai pas lâché et même que j'ai tout repris à partir de 0. J'attache. 4 petites pages. Quelques mots. D'abord, j'ai fait passer à la fin les choses fonctorielles qui auraient pu me bloquer. Et j'ai fait reposer tout le truc sur de la petite algèbre linéaire de bébé.

Il nous manquait au moins 2 choses.

$\bullet$ La première, c'est qu'il ne suffit pas de dire que $L_R(p, R^{n+1}/p)$ est le tangent en $p$ au foncteur $\P^n$ : il faut préciser en quoi tout habitant $\varphi \in L_R(p, R^{n+1}/p)$ s'interprète comme un point $p_\varphi$ de $\P^n(R[\vp])$ au dessus de $p$. Et réciproquement. C'est évidemment fait dans le chapitre X de l'ouvrage que tu connais, ne serait ce que pour montrer que $L_R(p, R^{n+1}/p)$ est le tangent en $p$ au foncteur $\P^n$.

$\bullet$ La deuxième chose : c'est que tous les points $p \in \cU_i(R)$, par définition $1 \in e_i^*(p)$, possèdent un supplémentaire commun dans $R^{n+1}$, à savoir $\ker e_i^*$. Qui est évidemment libre de base les $(e_j)_{j \ne i}$. Et qui va permettre de rassembler tous les tangents dans un seul sac : $\cU_i \times \ker e_i^*$.
Un jour, tu m'avais demandé si le quotient $R^{n+1}/p$ est libre lorsque $p$ est une droite unimodulaire et je t'avais répondu que non. Mais ici, on a bien plus que $p$ unimodulaire : on a l'existence d'un $x \in p$ tel que $x_i = 1$, ce qui est une propriété trés très forte.

En passant, je n'ai pas eu à parler du faux $\P^n$ ou du vrai $\P^n$, vu que sur $\cU_i$, c'est du vrai : de l'ultra-unimodulaire si j'ose m'exprimer ainsi.

Bref, voilà le truc. J'ai couché le système de transitions mais je n'ai pas mentionné les sections globales pour l'instant. J'ai prévu de le faire mais je me repose.

En fait, ce que j'ai fait s'inscrit comme une suite de ce qui est écrit dans le chapitre X. A ce propos, j'ai retrouvé mes notes de 2006 qui ont contribué à la section ad-hoc du chap. X et dans ces notes, je mentionnais que $\P^n(R[\vp])$ pourrait peut-être servir à élaborer le fiibré tangent à $\P^n$ !!

Pour moi, c'est devenu élémentaire. Mais ce n'est peut-être pas ce que tu cherchais. Note : j'ai fini par comprendre que les exposés que tu pointais (Demazure) étaient en liaison avec une réédition de SGA III. Je me suis toujours demandé à qui cela s'adressait.

$\def\Hom{\text{Hom}}\def\A{\mathbb A}\def\P{\mathbb P}\def\cO{\mathcal{O}}\def\cOPn{\cO_{\P^n}}\def\GL{\text{GL}}\def\cT{\mathcal{T}}\def\bfun{\mathbb 1}\def\Spec{\text{Spec}}\def\vp{\varepsilon}\def\cU{\mathcal{U}}$Salut Goleon/FlipFlop

D'abord, probablement le plus important, bien content d'avoir des tes nouvelles même si tu as changé de nom ...etc... Je n'ai pas bien compris ce qui t'était arrivé mais peu importe (du moins pour l'instant).

Essayons de causer maths. Je vois que tu es parti dans SGA III. Tu as beau dire ``c'est vraiment des choses de base ...etc...'' (hum, Mor, Functors of morphisms, c'est la dernière section 1.15 de Jantzen) je trouve que c'est (pour l'instant) mettre la barre un peu haut pour mézigue : on pataugeait sur le fibré tangent à $\P^n$ et tu n'hésites plus maintenant à considérer le fibré tangent $\cT X$ à un foncteur $X$.

Est ce que cela ne serait pas une bonne chose pédagogique (oh, le gros mot) d'asseoir bien comme il faut le fibré tangent $\cT\P^n$, ce qui pourrait ME servir d'exemple pour que la totale $\cT X$ passe mieux ?

En tout cas, pour l'instant, je ne me suis pas barré en courant. La preuve : j'ai tiré toutes tes notes ainsi que le post. Des questions et ou des remarques.

$\bullet$ 1. Donc $\cT X$ : il s'agit bien de $R \mapsto X(R[\vp])$, même si on peut en donner un autre point de vue plus structurel. Et surtout pas $\Hom(\Z[\vp], X)$ comme j'avais écrit (pour dire vrai, je ne comprenais rien à ce $\Hom$ que j'avais écrit, c'était juste pour faire mon intéressant).

$\bullet$ 2. Je n'ai pas encore lu tes affaires (cela ne se lit pas comme du petit lait au café le matin). But des maths ? Comprendre, ce qui est déjà pas si mal. Mais pas suffisant. Doit être accompagné d'un autre but : se faire comprendre. Et donc aller à l'encontre de ``où c'est illisible certainement sauf pour moi''. Je prends un tout petit exemple : je mets en attaché juste l'énoncé de ta proposition 0.12 Tu pourrais doubler la chose en disant :
$$
([x], h) \mapsto [x/x_i + \vp h] \qquad \text{ou bien} \qquad
([x]_R, h) \mapsto [x/x_i + \vp h]_{R[\vp]} \qquad \text{ou bien} \qquad
(R.x, h) \mapsto R[\vp]. (x/x_i + \vp h)
$$car c'est bien cela dont il s'agit, n'est ce pas ?

$\bullet$ 3. J'attache un extrait de ma note en surlignant des choses en rouge. Tu vois bien que nous avons des choses en commun ? Bien content d'avoir aperçu dans une de tes notes que l'idéal $I$ (fonctoriel en ...) est un témoin de l'ouverture d'un foncteur. Et je comprends encore mieux cela si je pense à l'exemple $p \mapsto e_i^*(p)$ de $\P^n(R)$ dans l'ensemble des idéaux de $R$.

$\bullet$ 4. Important pour moi : est ce que la famille $(\cU_i)_{0 \le i \le n}$ forme un recouvrement (ouvert) du vrai $\P^n$ ? Le sais tu ? Car je trouve compliqué de faire intervenir le faux $\P^n$ des droites unimodulaires (que tu notes en gras).

$\bullet$ 5. J'ai continué sur mes affaires avec mon point de vue de bébé. Par exemple, sur les sections. Ainsi, la section $s_A$ associée à une matrice $(n+1) \times (n+1)$ n'est autre, sur les droites unimodulaires, que $[x] \mapsto [x + \vp Ax]$, si tu vois ce que je veux dire par là.

$\bullet$ 6. Comment continuer ? Je n'en sais rien. Ah j'oubliais : un AUTRE but en maths (pour moi), c'est de pouvoir parler à plus de monde possible. Assez bavardé : je lis tes affaires.

Rien à voir. Une règle (je suis chi.nt) : ne pas mettre d'accent dans les noms de fichiers ni de &. Pourquoi ? Parce que je te le demande. Imagine que si tu reçoives d'un correspondant étranger un fichier dont le nom utilise l'alphabet cyrillique, que va-t-il se passer ? Réponse : ça dépend ...

$\def\Hom{\text{Hom}}\def\A{\mathbb A}\def\P{\mathbb P}\def\cO{\mathcal{O}}\def\cOPn{\cO_{\P^n}}\def\GL{\text{GL}}\def\cT{\mathcal{T}}\def\bfun{\mathbb 1}\def\Spec{\text{Spec}}\def\vp{\varepsilon}\def\cU{\mathcal{U}}$Salut Goleon/FlipFlop

Un point technique : bien content que tu confirmes que la famille $(\cU_i)_{0 \le i \le n}$ forme un recouvrement (ouvert) du vrai $\P^n$. Et surtout que cela corresponde au fait qu'un $R$-point $p$ de $\P^n$, donc un sous-module $p \subset R^{n+1}$ facteur direct de rang 1, soit réalisable par un projecteur $P$ de rang 1 (un vrai i.e. de trace 1). Ce n'est pas une évidence quand tu débutes.

Ce n'est pas la même chose que la libération comaximale générale des modules projectifs de type fini. Par exemple utilisée par Jantzen, chap 5, page 80 aux lignes 8-10 (la référence [B2] est Algèbre Commutative de Bourbaki, la totale).

Do you see what I mean ?

Autre chose. Je mets $\Omega$ de côté pour l'instant. Trop haut dans le ciel pour moi. J'ai commencé à relire ton fibre_tangent_P_n.pdf.
Il va falloir y faire quelque chose.

Claude,

Juste avant de mettre de côté $\Omega$, avec ta construction $e_i^\star$ et bien ça donne un morphisme $\chi_i : \mathbb{P}^n \to \Omega$ via $p \mapsto e_i^\star(p)$ (faut vérifier que c'est une transformation naturel mais bon) . Comment on récupère $\mathcal{U}_i$ via $\chi_i$ et bien c'est l'image réciproque $\chi_i^{-1}$ du sous -foncteur $\mathbf{1}$ de $\Omega$ ! Et bien c'est exactement la définition de $\mathcal{U}_i$ que tu as donné page $1$ de ton pdf !

C'est juste du langage, en gros ça relie le point de vu de David Madore et celui de Jantzen sur les ouverts !

Hello Claude,

Je vais corriger les coquilles, j'en ai détectée une autre $i$ versus $j$.

Pour l'union, oui je pense que c'est bon, d'ailleurs Jantzen dit que l'union n'est pas l'union naïve et donc oui surtout pas le $1 \in e_0^\star(p)$ ou $1 \in e_1^\star(p)$, ça perd le caractère foncteur local !

Pour le dernier paragraphe : si si je comprends ce que tu dis car je me suis posé la même question ! En fait, je pense que ce que je veux dire c'est en lien avec la construction des schémas par recollement, et en quelque sorte il faut faire comme si $\mathbb{P}^n$ était décollé et ne pas prendre la version recollée !

Claude,

Oui, mais c'est trop compliqué pour l'instant et je ne trouve pas manière a dire les choses simplement ! A mon avis le truc qui rend les choses complexes c'est que au lieu de prendre $A_i = \Z[X_0,\dots,X_n] / ( X_i -1 )$ et bien j'aurais du prendre $A_i = \Z[X_0,\dots,X_n][X_i^{-1}]_{(0)}$ du coup ça crée un binz et une lourdeur éléphantesque (comme tu dis :-D) !

Mais je vais d'abord corriger les $i$ et les $j$ et ensuite réfléchir disons que je galère un peu beaucoup pour l'instant !!!

$\bullet$ Pour les histoires de $\Omega$, en fait c'est une histoire d'analogie avec l'ensemble $\{0,1\}$, si tu as un sous-ensemble $Y \subset X$ et bien tu peux parler de la fonction caractéristique $\chi_Y : X \to \{0,1\}$ et tu récupères $Y$ comme les éléments $x$ de $X$ qui s'envoie sur $1$ par $\chi_{Y}$.

Coucou Claude,

Je ne suis pas satisfait mais vraiment pas du tout mais pour l'instant je ne sais comment faire plus mieux !

Pourquoi je suis obligé de faire trois pages de baratin alors que le seul truc que je veux dire c'est l'avant dernière ligne de calcul ?

$\def\Hom{\text{Hom}}\def\A{\mathbb A}\def\P{\mathbb P}\def\cO{\mathcal{O}}\def\cOPn{\cO_{\P^n}}\def\GL{\text{GL}}\def\cT{\mathcal{T}}\def\bfun{\mathbb 1}\def\Spec{\text{Spec}}\def\vp{\varepsilon}\def\cU{\mathcal{U}}$Hello FlipFlop

En tout cas, cela tient debout. Souviens toi, il y a une semaine, on faisait moins les malins. Certes on peut s'interroger pourquoi avec presque rien tu arrives à faire quelque chose. Le presque rien concerne des choses du genre (j'exagère un tantinet) : si $x$ est un vecteur que je divise par sa composante $x_i$ d'indice $i$, j'obtiens le vecteur $x/x_i$ dont la composante d'indice $i$ vaut 1.

Alors que de mon côté, je dois me fatiguer un tout petit peu pour voir que $R^{n+1} = p \oplus \ker e_i^*$ dans le contexte que tu sais. Une explication possible c'est que dans tes affaires, tu n'as même pas besoin de savoir que le tangent en $p$ est $L_R(p, R^{n+1}/p)$.
Tu utilises uniquement la vision foncteur des points pour $\P^n(R)$ et $\P^n(R[\vp])$. MAIS ... cf plus bas.

J'ai quand même trouvé des coquilles. Le calcul justement (dernières lignes de la page 3). A trois reprises, il y a un $xh$ qui n'a pas de sens : il s'agit de $xh_i$ (3 fois). J'ai vu aussi page 1 un vilain $k$ qui doit être remplacé par $\Z$ dans la définition 0.4 $\Z[x_0, \cdots, x_n]/\langle x_i-1\rangle$.

J'ai jeté un oeil très très rapide sur les 2 autres notes. J'ai vu que tu te fatiguais à décortiquer recouvrement ouvert au sens des foncteurs avec une avalanche de quantificateurs. Du coup, je ne suis pas mécontent de mon $1 \in e_0^*(p) + \cdots + e_n^*(p)$ de ma note. Pour ne rien te cacher j'aime bien mes $e_i$ et $e^*_i$ car cela me fait des économies de lettres (par rapport à toi) : $1 \in e_i^*(p)$, $\ker e_i^*$.

MAIS à mon avis, on ne va pas aller loin. Exemple : soit $A$ une matrice $(n+1) \times (n+1)$ à coefficients dans $R$. On peut lui associer la section $s_A$ comme tu sais dont l'expression est $[x] \mapsto [x + \vp A.x]$ sur les points unimodulaires. Sur un point quelconque $p$, l'expression est plus compliquée.
On voit facilement que $s_A = s_B$ si et seulement si $A-B$ est multiple de l'identité. Mais je ne vois pas comment pouvoir démontrer que l'on obtient ainsi toutes les sections. Et même si on y arrive, on sera loin de l'efficacité de $\cT\P^n = \widetilde T$ de Serre. Ne fais pas celui qui n'a pas vu.

PS : il y avait le vieux débat matrice $A$ à coefficients dans $R$ versus $A$ à coefficients dans $\Z$. Pour moi, il y a encore ici un binz fonctoriel : l'anneau des matrices est foncoriel en son anneau de base. Si tu vois ce que je veux dire par là (auquel cas tu as de la chance).

Alors $M \mapsto \widetilde M$, tu vas bien finir par y passer, non ? Ce n'est qu'un mauvais petit moment, tu ne pourras pas toujours reculer. Tout le monde y passe, je t'assure.

$\def\Hom{\text{Hom}}\def\A{\mathbb A}\def\P{\mathbb P}\def\cO{\mathcal{O}}\def\cOPn{\cO_{\P^n}}\def\GL{\text{GL}}\def\cT{\mathcal{T}}\def\bfun{\mathbb 1}\def\Spec{\text{Spec}}\def\vp{\varepsilon}\def\cU{\mathcal{U}}\def\fp{\mathfrak p}$FlipFlop
Suite de la série : on explique aux manants les schémas. Le premier attachement c'est Eisenbud-Harris, la page d'avant celle de mon dernier post. Il s'agit d'expliquer aux apprenants le Th III- 37. Ils citent Bourbaki II-section 5. Je leur donne raison mais ....

Personnellement, je n'ai jamais vu cette définition de ``localement libre'' dans un cadre aussi général. C'est accompagné de soit ``de présentation finie'' soit ``de type fini''. Deux attachements de Bourbaki (Alg. Comm. II, Localisation, première édition de 1961). A l'époque, cela ne rigolait pas. Accompagné d'un exercice montrant que, dans le théorème 1, si tu remplaces ``de présentation finie'' par de ``type fini'', le résultat est faux.

En passant : il faut évidemment faire la différence, pour un $A$-module $M$, entre ``pour tout idéal premier $\fp$, le localisé $M_\fp$ a la propriété truc-muche'' (c'est du méchant) et la propriété ``pour tout idéal premier $\fp$, il existe $f \in A \setminus \fp$ tel que le localisé $M_f$ a la propriété truc-muche'' (c'est du gentil d'ouverture, rien à voir).

En passant, toujours. Tu considères le $\Z$-module
$$
M = \sum_{p \text{ premier}} \kern -1pt {1 \over p}.\Z
$$Alors pour tout idéal premier $\fp$ de $\Z$, le localisé $M_\fp$ est de type fini. Mais $M$ n'est pas de type fini.

Claude,

Pour les modules, tu sais bien que j'ai peur de ces bestioles mais je fais des petits trucs de temps en temps, au lieu de prendre un corps je prend un anneau $R = \Z/15\Z$ (petit petit joueur puisque c'est juste $2$ corps) !

Donc par exemple, le sous-module $M$ de $R^3$ donné par $M = \langle 5e_1+5e_2,e_3+5e_1\rangle$ un peu au hasard ! Donc là c'est un module projectif de rang non constant (disons que le premier vecteur devient nul) et du coup, je m'amuse un peu a trouver un projecteur et a calculer son polynôme rang histoire de voir un peu (hum, c'est plus pour faire joujou en fait, c'est un peu prise de tête les trucs formelles :-D) !

Pour fabriquer un projecteur et bien je ne sais pas trop comment faire directement (pas assez réfléchi encore), du coup je vais faire localement et recoller !

Donc sur $\mathbb{F}_3$ et bien le module c'est $\langle e_1+e_2,e_3-e_1 \rangle$ et je complète en une base avec $e_2$ et dans cette base la matrice de projection est simple puisque c'est :
$$
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix}
$$
Et la matrice de la nouvelle base est :
$$
G = \begin{bmatrix} 1 & -1 &0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0& 1 & 0 \end{bmatrix} \qquad \qquad G^{-1} = \left(\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 2
\end{array}\right)
$$
Et donc le projecteur est :
$$
G \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0&0&0 \end{bmatrix} G^{-1} =
\left(\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

$\bullet$ sur $\mathbb{F}_5$ c'est simple $ M = \langle e_3 \rangle$ et donc directement la matrice de projection est :
$$
\begin{bmatrix} 0& 0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}
$$

$\bullet$ Et on recolle $ (u,v) \mapsto 6u-5v$ avec $(u,v) \in \mathbb{F}_5 \times \mathbb{F}_3$ … on trouve :
$$
\begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 10 & 0 & 10 \\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}
$$

sage: rang_pol = lambda M: ((1-M)+x*M).det()
sage: rang_pol(P)
10*x^2 + 6*x

Et donc on a bien une matrice de projection de rang non constant et un système d'idempotent orthogonaux $10$ et $6$ et localement sur $R_{10} \simeq \mathbb{F}_3$ de rang $2$ et sur $R_{(6)} \simeq \mathbb{F}_5$ de rang $1$ !

Et je suis heureux de mon petit calcul, même si c'est con con :-D peut-être qu'un jour je fais prendre un module sur un anneau un peu plus compliqué mais j'ai peur des modules vraiment peur !

$\def\Hom{\text{Hom}}\def\A{\mathbb A}\def\P{\mathbb P}\def\cO{\mathcal{O}}\def\cOPn{\cO_{\P^n}}\def\GL{\text{GL}}\def\cT{\mathcal{T}}\def\bfun{\mathbb 1}\def\Spec{\text{Spec}}\def\vp{\varepsilon}\def\cU{\mathcal{U}}\def\fp{\mathfrak p}\def\Sym{\text{Sym}}$
Eh bien, à nous deux on est des gros trouillards (toi des modules, moi de l'usage intensif-inconsidéré des foncteurs).

Mais je viens de penser à un truc. Je crois que l'on a brûlé des étapes. Et je pense que cela va te plaire. Je veux dire que peut-être on aurait dû se frotter à (commencer par) de l'AFFINE avec ces histoires de fibrés. Et pas tout de suite au projectif.

En deux mots.

Soit $E$ un module projectif de type fini sur un anneau commutatif $A$. Pas peur : $E$ pareil qu'une matrice de projection. Et pense à $X = \Spec A$. Alors $E$ définit un fibré au dessus de $X$, disons $\widetilde X$ car je n'ai absolument pas réfléchi aux notations. Dont $E$ est le module des sections (approximatif, pas préparé mon coup).

Mais $\widetilde X$ est affine : un brave anneau ou plutôt une $A$-algèbre. Laquelle ? $\Sym_A(E^*)$. Attention au dual. Je te laisse réfléchir à la projection $\pi : \widetilde X \to X$ et aux sections. C'est de l'affine.

Et puis pourquoi prendre $E$ module projectif de type fini ? Pas peur d'un module $E$ de présentation finie (le conoyau d'une matrice) ?

$\def\vp{\varepsilon}$FlipFlop
Ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1925434,1938304#msg-1938304. Pour avoir moins peur des modules. Ton $M \subset R^3$, avec $R = \Z/15\Z$, tu commences par le présenter. Car les présentations, c'est un truc vachement important (dans la vie d'une part, et pour les modules d'autre part).

C'est-à-dire que tu l'écris, puisqu'il est engendré par DEUX générateurs, comme quotient de $R^2$. I.e. tu considères $\pi : R^2 \twoheadrightarrow M \subset R^3$ :
$$
\pi(\vp_1) = g_1 = 5e_1 + 5e_2, \qquad \pi(\vp_2) = g_2 = e_3 + 5e_1
$$Tu trouves le noyau de $\pi$. Comment je n'en sais rien. I.e. tu en trouves $m$ générateurs, avec $m$ petit, si possible. I.e. ces générateurs sont des relations entre des deux générateurs $g_1, g_2$.

Et ainsi tu remplaces $M$ par le conoyau d'une matrice $A : R^m \to R^2$. Tu suis ? Et maintenant tu calcules les idéaux déterminantiels de cette matrice i.e. les idéaux engendrés par les mineurs d'ordre $r$ pour $r = 0$, $r = 1$, $r = 2$. Avec des inclusions comme tu le penses (pour $r = 0$, c'est l'anneau $R$ lui-même).

Eh bien, si vraiment $M$ est vraiment projectif, ces idéaux déterminantiels sont engendrés par des idempotents.

Chiche ?

Présentation finie, c'est bon-bon : page 3 de https://perso.ens-lyon.fr/samuel.le_fourn/contenu/Reflexions_mathematiques/Raynaudgeoalg.pdf

Claude,

Je ne sais pas si tu as réussi a comprendre mon message ici mais j'ai juste voulu spécialiser les calculs génériques i.e évaluer la matrice de transition, bon je ne sais pas trop si c'est pertinent ou pas et c'est pas bien grave ET c'est pas ultra-clean, roooohhhhh !

Pour k. Conrad, il y a deux textes sur les produits tensoriels c'est de très long textes : dans le second texte ici il parle un peu de " tensor algebra " mais pas de "symmetric algebra", je vais quand même jeter un petit coup d'œil !

Ok pour mon module, j'avais trouvé le noyau :-D

Pour l'image ici, est-ce le fameux Hartshorne ?

Coucou Claude,

Oui ce n'est pas net ce que j'ai fait …

Oui c'est un bonne idée le fibré tautologique quotient ! Hum c'est quoi l'histoire c'est que quand on écrit $1$ et bien il faut faire le produit tensoriel avec le dual de $p$ ? et quand on écrit $-1$ on fait le produit tensoriel avec $p$ ? et quand on écrit $0$ on ne fait rien (le produit tensoriel avec $R$) ! Est-ce que si on part de $T = S(1)^{n}$ on se retrouve avec $\mathcal{L}_R(p,R^{n})$ ?

Ce que j'aimerai bien comprendre c'est comment je dois calculer pour partant de $T = S(1)^{n+1}/\langle x \rangle$ obtenir $\mathcal{L}_R(p,R^{n+1}/p)$ ?

C'est amusant que tu parles de Macauley2, en fait j'ai réussi a installer le logiciel et je voulais bidouiller un peu car il gère ces choses concernant les faisceaux et je n'ai pas encore pris le temps de regarder en détails ! D'ailleurs Eisenbud à écrit un livre sur l'utilisation du logiciel !

Claude,

Je pense que j'ai compris :

On va regarder le fibré $(R,p) \mapsto \mathcal{L}_R(p,R)$. Ce qui se passe, c'est que si tu prends $p \in \mathcal{U}_i$ et bien tu as d'abord un isomorphisme $p \simeq R$ et ensuite un isomorphisme $\mathcal{L}_R(p,R) \simeq R$ et du coup ce bidule ressemble localement à $R$ ! Sauf qu'ici il faut expliciter les $\simeq$ !

Bien entendu j'ai mis des $\simeq$ pour rigoler, je fais plein de dessins !

$\bullet$ Sur $\mathcal{U}_i$.

$$\xymatrix{ R \ar@/^1pc/[r]^{\phi_i} & p \ar@/^1pc/[l]^{\psi_i} } \qquad \qquad \xymatrix{ r \ar@/^1pc/[r]^{\phi_i} & r\frac{x}{x_i} } \qquad \xymatrix{ x_i & x \ar@/^1pc/[l]^{\psi_i} }$$

$\bullet$ sur $\mathcal{U}_{ij}$

$$\xymatrix{ R \ar[dd] \ar[rd]^{\phi_j} & \\
& p \ar[ld]^{\psi_i} \\
R& }\qquad \qquad
\xymatrix{ r \ar[dd] \ar[rd]^{\phi_j} & \\
& r \frac{x}{x_j} \ar[ld]^{\psi_i} \\
r \frac{x_i}{x_j}& }$$

Bilan pour $(R,p) \mapsto p$ et bien ca donne $r \mapsto r \times \left( \frac{x_j}{x_i} \right)^{-1}$.

Mais ici nous on veut $(R,p) \mapsto \mathcal{L}_R(p,R)$ et bien on fait pareil !

$\bullet$ Sur $\mathcal{U}_i$.

$$\xymatrix{ R \ar@/^2pc/[rr]^{\phi_i} & & \mathcal{L}_R(p,R) \ar@/^2pc/[ll]^{\psi_i} } \qquad \qquad \xymatrix{ r \ar@/^2pc/[rr]^{\phi_i} && \left[ x \mapsto e_i^\star(rx) \right] } \qquad \xymatrix{ \phi_r \left(\frac{x}{x_i} \right) && \phi_r \ar@/^2pc/[ll]^{\psi_i} }$$

$\bullet$ sur $\mathcal{U}_{ij}$

$$\xymatrix{ R \ar[dd] \ar[rd]^{\phi_j} & \\
& \mathcal{L}_R(p,R) \ar[ld]^{\psi_i} \\
R& }\qquad \qquad
\xymatrix{ r \ar[dd] \ar[rd]^{\phi_j} & \\
& \phi_j(r) \ar[ld]^{\psi_i} \\
\phi_j(r) \left( \frac{x}{x_i} \right) & }$$
Et y'a juste a faire un petit calcul (youppi) !
$$
\phi_j(r) \left( \frac{x}{x_i} \right) = e_j^\star \left( r \frac{x}{x_i} \right) = r \left(\frac{x_j}{x_i} \right)^{1}
$$

$\def\Hom{\text{Hom}}\def\cO{\mathcal O}\def\cT{\mathcal T}\def\cS{\mathcal S}\def\cQ{\mathcal Q}\def\P{\mathbb P}\newcommand\transpose[1] {{\,^{\rm t}\!#1}}$Hello FlipFlop,

Le post où je parlais du sous-fibré tautologique $\cS$ de $\P^n$ est ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1925434,1932626#msg-1932626. J'ai lu ton dernier post avec les petits dessins. Ce que j'en ai compris c'est que tu déterminais en un premier temps le système de transitions du fibré $\cS$. En accord avec mon post (c'est bien d'avoir les mêmes conventions). Et en un deuxième temps que tu déterminais le système de transitions du dual.

C'est cela ?

Note : si $C_{ij}$ est le système de transitions d'un fibré, le système de transitions $\check C_{ij}$ du fibré dual est $\check C_{ij} = \transpose{\ C^{-1}_{ij}}$. Il faut prendre l'inverse et la transposée. Note : avec nos conventions, ce $\check C_{ij}$ vérifie la relation de Chasles (pareil que $C_{ij}$).

FlipFlop,
Le net c'est mystérieux. J'ai mis la main sur le papier de Kumar, Peterson, Rao (Construction of low rank vector bundles ...) dont je t'ai parlé hier. In
https://www.math.wustl.edu/~kumar/papers/KPRalggeom.pdf

Claude :

Mes petits dessins, en fait ce que je veux expliquer c'est que c'est simple, c'est juste une histoire "de suivre les isomorphismes" hum on va dire que j'ai compris je pense ce que je voulais comprendre avec l'histoire de $1$ et $-1$, mais pas encore la construction de Serre enfin juste un peu : j'ai l'impression qu'il faut un peu plus qu'une demi-page, et que c'est très concret et extrêmement joli ! Faut continuer d'y réfléchir sans trop se bloquer ! Est-ce que tu as un exemple qui fait intervenir des twists d'ordre $2$ : peut être $\mathcal{L}_R(\mathcal{L}_R(p,R),R)$ je vais voir si j'arrive à expliciter les trucs !

Ah non $\mathcal{L}_R(\mathcal{L}_R(p,R),R)$ c'est trivial. Donc prendre $\mathcal{L}_R(R,\mathcal{L}_R(p,R))$ ! Encore rater il faut $2$ $p$ et pas deux $R$ !!!

Je vais lire un peu les histoires de Claire !

PS / J'ai fais un peu joujou avec Macaulay2, normalement je peux utiliser ce logiciel directement depuis sage ("une interface") sauf que sous Windows ca ne fonctionne pas !

Perfect Claude (c'est plus simple qu'avec mes $\mathcal{L}_R$ :-D

$$\xymatrix{ R \ar[dd] \ar[rd]^{\phi_j} & \\

& p \otimes p \ar[ld]^{\psi_i} \\

R& }\qquad \qquad

\xymatrix{ r \ar[dd] \ar[rd]^{\phi_j} & \\

&r \frac{x}{x_j} \otimes \frac{x}{x_j} \ar[ld]^{\psi_i = e_i^\star \otimes e_i^\star} \\

r \left( \frac{x_j}{x_i}\right)^{-2} & }$$