Racines positives d'un trinôme généralisé

bonjour

je ne sais trop d'où sort ton discriminant (strictement négatif ou non)

le plus simple c'est d'établir un tableau des variations de la fonction f définie par $f(X) = X^m - pX^n + q$

on va supposer m et n entiers naturels et tels que 1 < n < m
et d'autre part p et q sont supposés réels positifs

la dérivée est : $f'(X) = mX^{n-1}[X^{m-n} - \frac{np}{m}]$

qui s'annule pour X = 0 et $$X = a = (\frac{np}{m})^{\frac{1}{m-n}}$$
réel positif si m et n sont de parité opposée (l'un est pair, l'autre impair)

or f(0) = q qui est positif et $f(a) = A = p.a^m - p.a^n + q$ et enfin la limite de f lorsque X tend vers +oo est + oo
donc il y aura 2 racines positives à f(X)=0 si A le minimum local de f est négatif

si m et n sont de même parité alors il existera une multitude d'autres valeurs positives de X qui annuleront la dérivée
et dans ce cas il faudra un seul minimum négatif pour que f s'annule au plus pour 2 valeurs positives de X
et aucun minimum négatif pour que f(X) = 0 n'admette aucune racine positive

cordialement