Théorie des corps.
Réponses
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Je ne vois rien du tout dans ses propos, je répondais simplement à Rescassol qui semblait considérer que le terme de "dévissage" ne désignait rien en mathématiques, ou ne semblait pas en connaitre la signification.
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Chat-maths: c'est un mot qui n'est pas réellement défini en mathématiques.
Il est surtout utilisé à des fins pédagogiques (désolé pour ceux qui ont rendu leur quatre heures en lisant ce mot). -
Certes. Dans ce cas, on peut considérer qu'il est d'ordre méta-mathématique. Mais en tout cas, il est bel et bien utilisé pour désigner quelque chose (une "méthode de preuve") en mathématiques (au sens large de la discipline mathématique). En tout cas, il ne fait pas exclusivement référence à ce qui se passe avec des vis et des tournevis/autres outils.
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Donc, Pablo,
Tu cherches une réponse académique à la question « est-ce équivalent à c’est résoluble par radicaux » alors que contre toutes les démonstrations académiques tu prétends avoir démontré que « tout est résoluble par radicaux ».
Pourquoi croire en des réponses académiques de temps en temps et pas à d’autres quand cela concerne les mêmes sujets ?
Sacré gredin ! -
En vérité, Pablo est un grand mathématicien. Vous êtes tous jaloux car vous ne comprenez pas ce qu’il dit.
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Amathoué:
Je ne comprends rien aux sons émis par un nourrisson et je suis jaloux de lui...il lui reste beaucoup plus de temps à vivre que moi. :-D
(comment nait la haine contre les jeunes X:-( ) -
Voilà!
En fait, il ne faut pas penser qu’un bébé se met à prononcer des mots de plus en plus intelligibles.
Nous devenons simplement suffisamment mûrs pour les comprendre!
Un peu de patience s’il vous plaît. -
S'il vous plaît, j'ai besoin d'une réponse.
Comment établir que :
$ P $ est irréductible $ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \mathrm{Gal} (P) $ est indécomposable.
Merci d'avance. -
Bon j’arrête mes sarcasmes et mes messages sérieux (il y en a tout de même).
Je te réponds :
Moi, je ne connais pas ces objets là et donc je ne sais pas. -
Le dévissage, ça existe je crois. Ça consiste à atteindre le corps de solutions des équations résolubles par radicaux par une suite finie d'adjonctions de radicaux au corps des coefficients de l'équation. Au fur et à mesure de ces ajouts, le groupe de Galois se réduit jusqu'à ce que le corps des solutions soit atteint et que le groupe de Galois ne contienne plus que l'élément neutre (cas où le seul $L$-automorphisme est l'identité).
p.s: C'est comme cela qu'a procédé Galois pour "dévisser" $\mathfrak{S}_4$.
... -
-
Non désolé: je ne comprends pas ta question. J'intervenais juste sur la notion de dévissage ...qui a un sens mathématique.
... -
Le fil va vite dévisser et les premiers de cordées vont entraîner les autres ! X:-(
-
Pardon. Je reformule ma question @df :
Est ce que :
$ P $ est réductible $ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \mathrm{Gal} (P) $ est décomposable ?
Autrement dit,
Est ce que :
$ P $ admet un corps de rupture $ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \mathrm{Gal} (P) $ admet un facteur direct $ H $ qui se met sous la forme : $ \mathrm{Gal} (Q) $ avec : $ Q $ à déterminer. .
? -
C'est quoi, le groupe de Galois d'un polynôme $P$ ?
Et qu'est-ce que tu appelles un groupe indécomposable ? -
S $P$ est un polynôme irréductible de $K[X]$ il a un corps de rupture me semble-t-il, sans condition.
Il semble qu'on réserve l'expression "corps de rupture" d'un polynôme à un polynôme irréductible.
PS:
Il ne faut pas confondre corps de rupture et corps de décomposition. -
Ne me dis pas que tu ne connais pas ce qu'est le groupe de Galois d'un polynôme @Homo Topi. Parce que la définition se trouve dans n'importe quel bouquin de théorie de Galois. Je ne vais pas la recopier ici. C'est inutile.
-
Peut-être que Pablo cherche à démontrer que le groupe de Galois du corps de décomposition d’un polynôme $P$ opère transitivement sur l'ensemble de ses racines si, et seulement si $P$ est irréductible?
-
Pourquoi vous ne répondez pas directement à ma question ?
Pourquoi :
$ P $ admet un corps de rupture $ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \mathrm{Gal} (P) $ admet un facteur direct $ H $ qui se met sous la forme : $ \mathrm{Gal} (Q) $ avec : $ Q $ à déterminer.
? -
Je l'ai retrouvée dans mon bouquin, elle était bien planquée. Cela dit tu n'as pas répondu à ma deuxième question.
-
@Homo Topi :
Un groupe $ G $ est indécomposable s'il ne contient aucun sous groupe $ H $ facteur direct de $ G $. -
Pablo:Wikipedia a écrit:En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des corps commutatifs, un corps de rupture d'un polynôme irréductible P(X) à coefficients dans un corps commutatif K est une extension minimale de K contenant au moins une racine du polynôme.
Et:Wikipedia a écrit:Par ailleurs, on rencontre parfois d'autres notions sous la dénomination « corps de rupture ». Certains appellent « corps de rupture » tout corps dans lequel le polynôme possède une racine.
NB:
1) Avec la première définition, tout polynôme irréductible de $\mathbb{Q}[X]$ admet un corps de rupture.
2)Avec la deuxième définition, tout polynôme à coefficients rationnels admet un corps de rupture.
d'après le théorème de d'Alembert-Gauss. -
$ P $ admet un corps de rupture $ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \mathrm{Gal} (P) $ admet un facteur direct ''maximal'' $ H $ qui se met sous la forme : $ \mathrm{Gal} (Q) $ est juste une conséquence de l'application de la correspondance de Galois.
Ce qui achève la démonstration. -
Bonsoir,
Par exemple ,dans $\mathbb{R}^3$ la composée d'une rotation et d'une translation suivant son axe est un vissage.
Par contre, la bijection réciproque est encore un vissage et non un dévissage.
Cordialement,
Rescassol -
Pablo:
As-tu lu ce que j'ai écrit sur les corps de rupture?
Tu peux remplacer "corps de rupture" par "cor de chasse" dans ta soi-disant équivalence sans changer la véracité de cette "équivalence". :-D -
D'accord FdP.
Une autre question :
Pourquoi, pour définir un groupe de Galois $ \mathrm{Gal} ( E ) $ d'une extension $ E $, il faut que l'extension $ E $ soit : séparable + normale ( i.e : Galoisienne ) ?
Merci d'avance. -
Pour séparable, je sais maintenant pourquoi, mais pour, normale, je ne sais pas encore.
-
Je connais et je ne connais pas ... :-D
-
Comme si c'était un obstacle pour quelqu'un qui a prouvé la conjecture de Hodge !
-
Pour la conjecture de Hodge, il faut la vérification des spécialistes pour trancher. Donc, soit ma preuve est correcte, soit ma preuve n'est pas correcte.
-
Pablo:
Cela fait plus de dix ans que tu bassines avec la théorie de Galois mais tu ne sais toujours pas grand chose sur le sujet.
Sur les extensions normales:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_normale
Il y a un exemple (classique) d'extension non-normale dans cet article.Pablo a écrit:Pour la conjecture de Hodge, il faut la vérification des spécialistes pour trancher
Vu ta production sur le forum je ne suis pas sûr qu'il faille déranger des spécialistes pour détecter au moins une erreur. -
Ce serait beau de détecter une erreur : cela voudrait dire que quelque chose a un sens !
-
C’est finalement la pire des vacheries ;-)
-
Il fallait prendre erreur au sens large. :-D
Quand j'étais étudiant, c'était les jours de partiels que je me posais les "bonnes" questions et que je me rendais compte que des trucs échappaient à ma compréhension du moment (tout ne m'échappait pas).
(c'est ballot mais je me souviens avoir vécu de tels moments plusieurs fois)
N'importe quel étudiant a ce moment de lucidité: il se rend compte qu'il n'a rien ou pas tout compris de ce qu'on lui demande de comprendre. Enfin, c'est ce que je croyais. :-D -
FdP :
Oui, $ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) $ n'est pas une extension normale de $ \mathbb{Q} $. En quoi cela répond à ma question ?. Ma question est : pourquoi pour définir $ \mathrm{Gal} ( E ) $, il faut que $ E $ soit normale ? -
On définit le groupe de Galois de n'importe quelle extension : les automorphismes du gros corps qui fixent le petit corps. Par exemple, pourrais-tu décrire le groupe de Galois de $\Q(\sqrt[3]{2})/\Q$ ?
Le problème, c'est que pour une extension séparable non normale, le nombre d'éléments du groupe de Galois est strictement plus petit que le degré de l'extension. C'est un obstacle pour la correspondance de Galois qu'on espère. Saurais-tu calculer les deux pour $\Q(\sqrt[3]{2})/\Q$ ? -
@Math Coss :
$ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) $ est le corps des racines du polynôme $ X^3 - 2 \in \mathbb{Q} [X] $.
$ [ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) : \mathbb{Q} ) ] = 3 $, car $ X^3 - 2 $ est irréductible sur $ \mathbb{Q} $.
Si $ \sigma \in \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) ) $, alors :
- $ \sigma( \sqrt[3]{2} ) $ est une racine de $ X^3-2 \in \mathbb{Q} [X] $.
D'où : $ \sigma ( \sqrt[3]{2} ) = \omega \sqrt[3]{2} $ avec : $ \omega \in \{ 1 , j , j^2 \} $.
Or, $ \sigma $ est complètement détérminé par son action sur : $ \sqrt[3]{2} $.
Par conséquent,
$ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline & \sigma_1 & \sigma_2 & \sigma_3 \\
\hline \sigma ( \sqrt[3]{2} ) & \sqrt[3]{2} & j \sqrt[3]{2} & j^2 \sqrt[3]{2} \\
\hline
\end{array} $
Donc, $ | \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) ) | = [ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) : \mathbb{Q} ] = 3 $.
Non ? -
Puisque : $ | \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) ) | = [ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) : \mathbb{Q} ] = 3 $, alors, la correspondance de Galois est bien établie, malgré que $ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) $ ne soit pas une extension normale de $ \mathbb{Q} $. Où est alors l'erreur ?
-
Le corps de décomposition de ce polynôme n'est pas ce corps-là.
(je t'ai dit plus haut qu'il ne faut pas confondre corps de décomposition et corps de rupture)
Ce polynôme a trois racines dont deux qui ne sont pas réelles.
$\mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} )$ ne contient que des nombres réels.
(C'est l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients rationnels de $1,2^{\frac{1}{3}},2^{\frac{2}{3}}$)
PS:
La "correspondance de Galois"* est un théorème qui suppose que des conditions soient vérifiées.
1)Il faut qu'on ait deux corps $L$ et $K$ , $K$ contenu dans $L$.
2)L'extension $L/K$ doit être finie ($L$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie)
3)l'extension $K/L$ doit être galoisienne.
Si on a ces conditions le théorème s'applique.
Dans le cas d'espèce, comme indiqué dès le début, $\mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} )/\mathbb{Q}$ n'est pas galoisienne car ce n'est pas une extension normale.
Ce théorème met en correspondance (biunivoque) des groupes (les sous-groupes du groupe de Galois) et des extensions (des corps)
*: Ce n'est pas le recueil de toutes les lettres qu'il a envoyé à des gens. B-)-
PS:
Dans l'article sur les extensions normales de Wikipedia on peut lire que $L/K$ est normale si et seulement si:
"Tout polynôme irréductible à coefficients dans K, ayant au moins une racine dans L, a toutes ses racines dans L"
1)$x^3-2$ est bien un polynôme irréductible de $\mathbb{Q}[X]$
2) $\mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} )$ est bien un corps (qui est aussi un sous-ensemble de $\mathbb{R}$) qui contient une racine de ce polynôme mais il ne peut pas contenir les autres racines de ce polynôme puisque les autres racines sont des nombres complexes qui ne sont pas des nombres réels. L'extension $\mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} )/\mathbb{Q}$ ne vérifie pas cette définition d'une extension normale. -
@FdP :
Je reprends,
$ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) $ est le corps des racines du polynôme $ X^3 - 2 \in \mathbb{Q} [X] $.
$ [ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) : \mathbb{Q} ) ] = 3 $, car $ X^3 - 2 $ est irréductible sur $ \mathbb{Q} $.
Si $ \sigma \in \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) ) $, alors :
- $ \sigma( \sqrt[3]{2} ) $ est une racine de $ X^3-2 \in \mathbb{Q} [X] $.
D'où : $ \sigma ( \sqrt[3]{2} ) = \omega \sqrt[3]{2} $ avec : $ \omega \in \{ 1 , j , j^2 \} $.
Et puisque, $ \sigma ( \sqrt[3]{2} ) \in \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) $, alors : $ \sigma ( \sqrt[3]{2} ) = \sqrt[3]{2} $.
Or, $ \sigma $ est complètement déterminé par son action sur : $ \sqrt[3]{2} $.
Par conséquent,
$ \begin{array}{|c|c|c|}
\hline & \sigma_1 \\
\hline \sigma ( \sqrt[3]{2} ) & \sqrt[3]{2} \\
\hline
\end{array} $
Donc, $ | \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) ) | = 1 $ et $ [ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) : \mathbb{Q} ] = 3 $.
D'où : $ | \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) ) | < [ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) : \mathbb{Q} ] $
Merci @Math Coss et @FdP . ( Ici, $ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) $ est séparable, donc, on a : $ | \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) ) | < [ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) : \mathbb{Q} ] $ au lieu de $ | \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) ) | = [ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) : \mathbb{Q} ] $, forcément parce que : $ \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) $ n'est pas une extension normale de $ \mathbb{Q} $ ). -
$ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) )$ cette écriture n'a aucun sens.
NB:
Quand on parle d'extension on parle d'un COUPLE de corps. -
Ce serait mieux d'écrire $\mathrm{Gal}(\Q[\sqrt[3]2]/\Q)$, en effet, mais le reste est OK.
-
On écrit : $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt[3]{2} ) / \mathbb{Q} ) $. Non ? Mais, peu importe, c'est juste une notation. C'est du pinaillage ça FdP.
Edit : Croisement avec le message de @Math Coss. -
Bonjour Pablo,
$\mathbb Q\left(\sqrt[3]2\right)$ n'est pas le corps des racines (ou corps de décomposition) de $P(X)=X^3-2$, c'est un corps de rupture.
Le corps de décomposition de $P$ est $\mathbb Q\left(\sqrt[3]2,j\right)$, comme il est facile de le vérifier.
Quant à la notation $\mathrm{Gal}(L/K)$, il est bien sûr important de noter le $K$.
Par exemple, essaie de déterminer $\mathrm{Gal}\left(\mathbb Q\left(\sqrt 2,\sqrt 3\right)/\mathbb Q\right)$ et $\mathrm{Gal}\left(\mathbb Q\left(\sqrt 2,\sqrt 3\right)/\mathbb Q\left(\sqrt 2\right)\right)$. -
D'accord Philippe.
Pour $ \mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) $, voici ce que je pense :
$ [ \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) : \mathbb{Q} ) ] = [ \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) : \mathbb{Q} (\sqrt{2}) ]. [ \mathbb{Q} (\sqrt{2}) : \mathbb{Q} ] = 2 \times 2 = 4 $, car, $ X^2 - 3 \in \mathbb{Q} (\sqrt{2}) [X] $ est irréductible sur $ \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) $ et $ X^2 - 2 \in \mathbb{Q} [X] $ est irréductible sur $ \mathbb{Q} $.
Si $ \sigma \in \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) ) $, alors :
- $ \sigma( \sqrt{3} ) $ est une racine de $ X^2-3 \in \mathbb{Q} [X] $.
D'où : $ \sigma ( \sqrt{3} ) = \pm \sqrt{3} $.
- $ \sigma( \sqrt{2} ) $ est une racine de $ X^2-2 \in \mathbb{Q} [X] $.
D'où : $ \sigma ( \sqrt{2} ) = \pm \sqrt{2} $..
Or, $ \sigma $ est complètement déterminé par son action sur : $ \sqrt{3} $ et $ \sqrt{2} $.
Par conséquent,
$ \begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline & \sigma_1 & \sigma_2 & \sigma_3 & \sigma_4 \\
\hline \sigma ( \sqrt{3} ) & \sqrt{3} & \sqrt{3} & - \sqrt{3} & - \sqrt{3} \\
\hline \sigma ( \sqrt{2} ) & \sqrt{2} & - \sqrt{2} & \sqrt{2} & - \sqrt{2} \\
\hline
\end{array} $
Donc, $ | \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) / \mathbb{Q} ) | = 4 $ et $ [ \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) : \mathbb{Q} ] = 4 $.
D'où : $ | \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) / \mathbb{Q} ) | = [ \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) : \mathbb{Q} ] $
Donc, $ \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) / \mathbb{Q} $ est une extension Galoisienne.
Donc, on peut commencer à utiliser la correspondance de Galois comme bon nous semble.
Non ? -
Pour $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) / \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) ) $,voici ce que je pense :
$ [ \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) : \mathbb{Q} (\sqrt{2}) ] = 2 $, car, $ X^2 - 3 \in \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) [X] $ est irréductible sur $ \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) $.
Si $ \sigma \in \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) / \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) ) $, alors :
- $ \sigma( \sqrt{3} ) $ est une racine de $ X^2-3 \in \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) [X] $.
D'où : $ \sigma ( \sqrt{3} ) = \pm \sqrt{3} \in \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) $.
Or, $ \sigma $ est complètement déterminé par son action sur : $ \sqrt{3} $.
Par conséquent,
$ \begin{array}{|c|c|}
\hline & \sigma_1 & \sigma_2 \\
\hline \sigma ( \sqrt{3} ) & \sqrt{3} & - \sqrt{3} \\
\hline
\end{array} $
Donc, $ | \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) / \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) ) | = 2 $ et $ [ \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) : \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) ] = 2 $.
D'où : $ | \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) / \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) ) | = [ \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) : \mathbb{Q} (\sqrt{2} )] $
Donc, $ \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) / \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) $ est une extension Galoisienne.
Donc, on peut commencer à utiliser la correspondance de Galois comme bon nous semble.
Non ? -
Il y'a un peu plus subtile que ça Philippe.
Calculer : $ | \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt{3} + \sqrt{2} ) / \mathbb{Q} ) | $ :
En effet : $ \mathbb{Q} ( \sqrt{3} + \sqrt{2} ) = \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) $ qui est simplement une conséquence du théorème de l'élément primitif qui affirme :
Une extension de corps est fini si et seulement si elle est simple.
Donc, $ | \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt{3} + \sqrt{2} ) / \mathbb{Q} ) | = | \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( \sqrt{3} , \sqrt{2} ) / \mathbb{Q} ) | = 4 $ (tu) -
Salut,
Juste une remarque en passant : tu n'as pas vraiment besoin de calculer le groupe de Galois d'une extension pour prouver qu'elle est galoisienne. Une extension finie $k\subset K$ est galoisienne si et seulement si $K$ est un corps de décomposition sur $k$ d'un polynôme séparable $f\in k[X]$. -
Une autre petite question :
Est ce que si $ a,b $ sont deux nombres algébriques sur un corps de base $ K $, alors : $ K(ab) = K(a,b) $ ?
Merci d'avance.
Edit : Croisement avec le message de b.b
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