Divisibilité dans K[X,Y] et résultant
Bonjour
1) Pourquoi un polynôme P(X,Y) est-il divisible par X-Y si P(X,X) = 0 ?
2) Considérons les deux polynômes f(x,y,Z) = (xy)Z2 + (x3) Z +y4, f est homogène de degré m = 4 et g(x,y,Z)=x Z2 +x2 Z +x3, g est homogène de degré n=3.
Le cours dit que leur résultant est un polynôme homogène de degré mn=12
J'aimerais savoir où se trouve mon erreur.
En vous remerciant,
David
1) Pourquoi un polynôme P(X,Y) est-il divisible par X-Y si P(X,X) = 0 ?
2) Considérons les deux polynômes f(x,y,Z) = (xy)Z2 + (x3) Z +y4, f est homogène de degré m = 4 et g(x,y,Z)=x Z2 +x2 Z +x3, g est homogène de degré n=3.
Le cours dit que leur résultant est un polynôme homogène de degré mn=12
xy 0 x 0 x^3 xy x^2 x y^4 x^3 x^3 x^2 0 y^4 0 x^3Or le calcul de ce déterminant est : x10 -y(x9)+ x2 -(y4)(x6)-(y5)(x5)+(y8)(x2) c'est-à-dire un polynôme homogène de degré 10.
J'aimerais savoir où se trouve mon erreur.
En vous remerciant,
David
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Réponses
soient f(X1,X2, ..., Xr, X) un polynôme homogène de degré m et g (X1,X2, ..., Xr, X) un polynôme homogène de degré n.
le résultant de f et g considérés comme polynômes en X est un polynôme homogène de degré mn de K( X1,X2, ..., Xr).
Ce que je ne comprends pas c'est que rien ne dit que le polynôme en X doit être degré m ou n selon le polynôme choisi.
m est le degré de chaque monôme du polynôme homogène f.
Peut être est-ce la fatigue !
Merci.
Il y est juste question d'un polynôme homogène de degré m et d'un polynôme homogène de degré n.
Est-ce que la formulation de l’énoncé est quand même correcte?
Projetons ces points d'intersection sur la droite $z=0$ depuis le point $(0:0:1)$. On devrait retrouver nos zéros homogènes du résultant par rapport à $z$.
Oui mais ... nos courbes ne se couperaient-elles pas aussi au point $(0:0:1)$ depuis lequel on projette ?
On se met dans la carte affine $z=1$ et on regarde ce qui se passe à l'origine dans cette carte :
$xy+x^3+y^4=0$ et $x+x^2+x^3=0$ ont à l'origine $x=0,y=0$ une intersection de multiplicité 4 : on vire le facteur $1+x+x^2$ de la deuxième équation vu que ça ne passe pas par l'origine, on se retrouve avec $x$ tout seul qui permet de virer tous les termes contenant $x$ de la première équation, et ça nous fait $(x,y^4)$. Bizarre, dira-t-on, 12-4=8 normalement, pas 10 ?
Encore plus bizarre : on peut faire calculer l'idéal d'élimination de $(f,g)$, où on élimine la variable $z$ et penser qu'on va retrouver l'idéal principal engendré par le résultant. En fait, le générateur de l'idéal d'éliminatio est
$$ (x - y) * (x^6 + x^5*y + 2*x^4*y^2 + 3*x^3*y^3 + 3*x^2*y^4 + 2*x*y^5 + y^6)$$
alors que le résultant est
$$(-x + y)^2 * x^2 * (x^6 + x^5*y + 2*x^4*y^2 + 3*x^3*y^3 + 3*x^2*y^4 + 2*x*y^5 + y^6)\;.$$
Ah, c'est bien compliqué, l'élimination !
> Je veux bien mais sauf à ne rien comprendre, ce n'est pas dit dans l’énoncé du courriel précédent.
> Il y est juste question d'un polynôme homogène de degré m et d'un polynôme homogène de degré n.
> Est-ce que la formulation de l’énoncé est quand même correcte?
Ton exemple montre que l'énoncé n'est pas correct.
je pense qu'ici le degré de ton résultant, polynôme homogéne en $x,y$ est plutôt
$2n+2m-4$ , le 4 venant du fait que f et g sont de degrés 2 en Z ;
$n=4, m=3$
En effet le coefficient $a_i$ de $Z^i$ dans f est homogéne en $x,y$ de degré $n-i$
le coefficient $b_i$ de $Z^i$ dans g est homogéne en $x,y$ de degré $m-i$
Donc le terme de ton résultant correspondant au produit des termes diagonaux est $a_2a_2b_0b_0$ qui est homogéne en $x,y$, est de degré $n-2+n-2+m+m$
et
le produit des termes situés en $(2,1) , (4,2) , (1,3) , (3,4)$ est $a_1a_0b_2b_1$ de degré $n-1+n+m-2+m-1$
Reste à formaliser un peu pour justifier que c'est le cas de tous les termes, non nuls, du résultant.
le cours dit que:
Le résultant R(Am,......A0,Bn......B0) est un polynôme à m+n+2 indéterminées dont tous les monôme ont même poids mn.
Si je calcule le résultant (A3,A2,A1,A0,B2,B1,B0)
A3, 0, B2, 0, 0
A2, A3, B1, B2, 0
A1, A2, B0, B1, B2
A0, A1, 0, B0, B1
0, A0, 0, 0, B0
Je trouve certains termes dont :
(B0^3)(A3^2) 3A0B0B1B2 -2(B0^2)B1A2
le premier monôme a bien pour poids 6 mais les deux autres ont pour poids 3
Merci de m'expliquer ce point.
J'ai pu trouver une formulation dans un autre cours qui rajoute bien l'hypothèse:
On suppose de plus que les polynômes en X obtenus à partir de f et g doivent être respectivement de degré m et n.
Ce qui signifie que la version du cours que j'ai signalée hier est bien fautive, ce qui m’étonne beaucoup car c'est pris dans livre d’Yvan Gozard "théorie de Galois".
La première version spécifiant simplement que les polynômes f et g sont homogènes de degré m et n respectivement.
Bonne journée
j'ai répondu à Blanc en collant à son exemple, ce qui explique que je dise ( dans mon précédent message) que le degré du résultant du premier exemple, est $2m+2n-4=10$, donc c'est pas $mn=12$
Et dans le cas général
si f homogéne de degré m en $x,y,Z$, de degré $p$ en $Z$
si g homogéne de degré n en $x,y,Z$, de degré $q$ en $Z$
alors le résultant, en $Z$, est homogéne en $x,y$ de degré $pn+qm-pq$.
Prenez
$f=x^2y^2Z+xy^4$ homogéne en $x,y,Z$ de degré $m=5$
$g=x^6Z+x^3y^4$ homogéne $n=7$
alors le résultant est homogéne en $x,y$ de degré $m+n-1=11$, $p,q$ étant ici égaux à $1$.
Toujours pas de $mn$....
L'insistance de GaBuZoMeu m'a inquiété :....
En fait c'est que le théorème qui arrive à $mn$ fait l'hypothèse $p=m$ et $q=n$, ce qui donne $pn+qm-pq=mn+mn-mn=$ , et cette hypothèse n'est pas vérifiée dans les exemples donnés
J'ai été surpris de trouver ce résultat faux dans le livre sur la théorie de Galois d’Yvan GOZARD et d'ailleurs aussi dans d'autres documents consacrés au sujet.
Est-ce à dire que les auteurs ne vérifient pas le contenu de ce qu'ils publient.
Merci en tout les cas de vous être penché sur ma question,
Bonne soirée
J'aimerais avoir une démonstration rigoureuse du résultat suivant.
Soit R(Am, ..., Ao, Bn, ..., Bo) le résultant.
1) Ce résultant est homogène de degré n par rapport aux m+1 indéterminées Ao ,..., Am
et homogène de degré m par rapport aux n+1 indéterminées Bo ,..., Bn.
2) Le poids des monômes de R comme polynôme à m+n+2 indéterminées est mn.
En vous remerciant.
[Restons dans la discussion que tu as déjà ouverte sur le sujet. AD]
2) est une conséquence immédiate de l'expression du résultant en fonction des racines de $P$ et $Q$.
As-tu vu ce que je t'ai répondu dans l'autre fil à propos des poids ?
Merci, c'est tout simple!