Transport de structures.

Je ne donne d'ordres à personne. Je t'ai répondu calmement.

Voici l'énoncé de l'exercice après qu'il est corrigé maintenant :

Soit $ f \ : \ T \to E $ un morphisme bijective,

- d'un ensemble $ T = \mathbb{R} [ \mathcal{B}_1 \coprod \mathcal{B}_2 ] $ où, $ \mathcal{B}_1 $ et $ \mathcal{B}_2 $ sont disjoints,.et où, pour tout $ x \in T $, il existe $ x_1 , \dots , x_2 \in \mathcal{B}_1 \ $, il existe $ y_1 , \dots , y_m \in \mathcal{B}_2 $, et il existe une relation ensembliste $ R \ : \ \mathcal{B}_1 \times \mathcal{B}_2 \to T \subset \mathcal{B}_1 \times \mathcal{B}_2 \times T $, telle que : $ x = \sum_i t_i R_i ( x_{i1} , \dots , x_{in} , y_{i1} , \dots , y_{im} ) $, avec : $ t_i \in \mathbb{R} $, vers

- un $ \mathbb{R} $ - espace vectoriel $ E $ de dimension finie telle que : $ E = E_1 \oplus E_2 $ qui est une somme directe entre deux sous espaces vectoriels $ E_1 $ et $ E_2 $.

$ f $ vérifie les hypothèses suivantes :

- $ \forall x \in \mathcal{B}_1 \ \forall y \in \mathcal{B}_2 $ tels que : $ x = R_1 (x_1 , \dots , x_n ) $ et $ y = R_2 (y_1 , \dots , y_m ) $, on a : $ f(x+ \lambda y) = f(x) + \lambda f(y) $ pour tout : $ \lambda \in \mathbb{R} $..

- $ \forall x,y \in \mathbb{R} [ \mathcal{B}_1 \coprod \mathcal{B}_2 ] $ tels que : $ x = R_1 (x_1 , \dots , x_n , y_1 , \dots , y_m ) $ avec : $ x_1 , \dots , x_n \in \mathcal{B}_1 $ et $ y_1 , \dots , y_m \in \mathcal{B}_2 $, et $ y = R_1 (s_1 , \dots , s_n , t_1 , \dots , t_m ) $ avec : $ s_1 , \dots , s_n \in \mathcal{B}_1 $ et $ t_1 , \dots , t_m \in \mathcal{B}_2 $, on a : $ f(x+ \lambda y ) = f(x) + \lambda f(y) $ pour tout : $ \lambda \in \mathbb{R} $.

- $ \forall x, y \in \mathbb{R} [ \mathcal{B}_1 \coprod \mathcal{B}_2 ] $ : $ f(R(x,y)) \neq R(f(x) , f(y) ) $ pour tout $ R \subset \mathcal{B}_1 \times \mathcal{B}_2 \times T $ de la forme : $ R \ : \ \mathcal{B}_1 \times \mathcal{B}_2 \to T $. ( à moins que, $ R $ soit linéaire par rapport à chaque variable, ce qui rendra la situation triviale, et on n'a qu'à appliquer un cours d'algèbre linéaire et matricielle, ce que je préfère éviter ).

On suppose que : $ f ( \mathcal{B}_1 ) \subseteq E_1 $ et $ f ( \mathcal{B}_2 ) \subseteq E_2 $.
On suppose que, $ \forall x \in T \backslash ( \mathcal{B}_1 \cup \mathcal{B}_2 ) $, $ \exists ! ( y_1 , y_2 ) \in E_1 \backslash \{ 0 \} \times E_2 \backslash \{ 0 \} $ tel que : $ f(x) = y_1 + y_2 $.

Comment alors montrer que, $ f ( \mathcal{B}_1 ) = E_1 $ et $ f ( \mathcal{B}_2 ) = E_2 $ ?.

Merci d'avance.

raoul.S :
Au contraire, c'est suicidaire, c'est le point le plus important dans toute cette histoire de cet exercice.

@Homo Topi ::

Je maintiens ce que j'ai précisé dans l'énoncé. A vous de l'adapter à sa juste manière d’être. L'idée est claire globalement. A vous de le peaufiner pour qu'il s'adapte à vos gouts.

Voici un exemple de morphisme entre deux structures différentes :

Je vous donne l'exemple suivant très célèbre en géométrie algébrique pour saisir ce qu'on entend par le vocable : transport :

Soit $ C \subset \mathbb{P}^2 $ une courbe cubique projective et lisse ( Une courbe elliptique par exemple ), et $ P_0 \in C $.
Alors, il existe une bijection : $ \varphi \ : \ C \to \mathrm{Pic}^0 (C) $ définie par : $ \varphi (P) = P - P_0 $.

Or :

- $ C $ dispose d'une structure de variété.

- $ \mathrm{Pic}^0 (C) $ dispose d'une structure de groupe abélien qui est le sous groupe des diviseurs $ D $ linéairement équivalent à $ 0 $ ( i.e : $ D \sim 0 $ ) du groupe de Picard $ \mathrm{Pic} (C) $.

Alors puisque $ \varphi $ est une bijection, alors :

- On peut transporter ( D'où le mot : Transport ) la structure de variété issue de $C$, à l'objet $ \mathrm{Pic}^0 (C) $, et devient lui aussi une variété en plus de sa structure de départ qui est un groupe, et on le nomme variété de Picard : $ \mathrm{Pic}^0 (C) $.

- On peut transporter ( D'où le mot : Transport ) la structure du groupe abélien issue de $ \mathrm{Pic}^0 (C) $, à l'objet $ C $, et devient lui aussi un groupe abélien en plus de sa structure de départ qui est une variété.

Finalement, $ C $ et $ \mathrm{Pic}^0 (C) $ sont les mêmes, et ont tous les deux à la fois, une structure de variété et une structure de groupe abélien.

Homo Topi :
Non, personne n'est obligé de s'adapter ou se soumettre à la mentalité d'un autre qui lui est différent. Et si c'est un cinglé, et qu'on se soumet à son caractère cinglé, c'est que nous aussi, on n'est des cinglés.
De toute façon, moi, je n'oblige personne à s'adapter ou se soumettre à mes pensés. J'ai simplement dit :
... L'idée est claire globalement. A vous de la peaufiner pour qu'il s'adapte à vos gouts.

Poirot, GaBuZoMeu, Maxtimax, gb, CQ, Lupulus,
Venez me donner un coup de pouce s'il vous plaît.

Non, tu sais que ça a un sens, mais tu ne veux pas.

FdP,
Les $ R $ sont des relations ensemblistes qui occupent le meme rôle joué par une relation de combinaison linéaire lorsqu'il s'agit d'espaces vectoriels, ou de relation de combinaison algébrique s'il s'agit d'extensions d'anneaux ou de corps ... etc.

Homo Topi,

$ T = \mathbb{R} [ \mathcal{B}_1 \coprod \mathcal{B}_2 ] $

Homo Topi a écrit:

Pour rappel, $\mathbb{R}[ S ]$ normalement c'est les polynômes, à coefficients réels, à indéterminées dans $S$. C'est de ça que tu parles ?

$ R $ peut représenter ce cas de polynômes où $ R = P $ avec, $ P $ un polynôme, mais pas seulement ce cas très particulier.
$ R $ en effet, peut être n'importe quelle relation ensembliste ( i.e : relation dans un ensemble ), c'est à dire, n'est pas qu'une relation polynomiale ( i.e : n'est pas qu'une relation dans un anneau qui a une structure )

Tu me fatigues.