Distributivité généralisée

topopot · February 2020

Bonjour
L'objectif est ici de comprendre comment appliquer la distribution généralisée dans un cas précis qui sert (j'ai l'impression) beaucoup en probas (*).

On part du théorème suivant (facilement extrapolable depuis le cas $n=2$ et que je trouve facile à retrouver, bien que pour l'instant admis) et on se place pour simplifier dans $\mathbf R$ :si $n\in\mathbf N^*$ et $J_1,\dots,J_n$ sont des ensembles finis non vides, alors : $$
\prod_{i=1}^n\sum_{j\in J_i}a_{i,j}=\sum_{(j_1,\dots,j_n)\in J_1\times\dots\times J_n}\prod_{i=1}^n a_{i,j_i}.

$$ À partir de cela, comment obtenir la formule suivante sur les fonctions indicatrices d'ensembles $A_1,\dots,A_n$ : $$

\prod_{i=1}^n (1-\mathbf{1}_{A_{i}} ) =\sum_{k=0}^n \prod _{1\leqslant i_{1} <\cdots <i_{k} \leqslant n} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}} ).

$$ Merci par avance pour votre aide !

(*) Du coup, j'ai hésité à placer ce sujet dans analyse, probabilités ou algèbre.

gb · February 2020

Bonjour,

Il s'agit simplement de développer un polynôme donné sous forme factorisée :
\[\prod_{i=1}^n (X-\mathbf{1}_{A_{i}} ) =\sum_{k=0}^n \left( X^{n-k}\prod _{1\leqslant i_{1} <\dotsb <i_{k} \leqslant n} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}})\right)\]
c'est-à-dire d'utiliser la formule de distributivité généralisée avec, pour tout $i$ : $J_i = \lbrace 1,2 \rbrace$, $a_{i,1}=X$, $a_{i,2} = -\mathbf{1}_{A_{i_{i}}}$.

On évalue ensuite l'égalité polynomiale pour $X=1$ :
\[\prod_{i=1}^n (1-\mathbf{1}_{A_{i}} ) =\sum_{k=0}^n \prod _{1\leqslant i_{1} <\dotsb <i_{k} \leqslant n} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}})\]
et on obtient le résultat voulu.

topopot · February 2020

Merci pour l'aide !

J'ai toutefois du mal à voir en quoi l'application de la formule de distributivité généralisée entraîne aussi rapidement la formule :
$$\prod_{i=1}^n (X-\mathbf{1}_{A_{i}} ) =\sum_{k=0}^n \left( X^{n-k}\prod _{1\leqslant i_{1} <\dotsb <i_{k} \leqslant n} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}})\right)$$

C'est cela que j'aimerais idéalement détailler. On pose pour tout $i\in\{1,\dots,n\}, J_i=\{1,2\}, a_{i,1}=X$ et $a_{i,2}=-\mathbf 1_{A_i}$.

La formule de distributivité donne alors formellement :
$$\prod_{i=1}^n (X-\mathbf 1_{A_i} ) =\sum_{(j_1,\dots,j_n)\in\{1,2\}^n}\prod_{i=1}^n a_{i,j_i}=\dots$$

topopot · February 2020

Je me permets de relancer.

topopot · February 2020

Bonjour
Pourquoi est-ce qu'en posant $a_{i,1}=X$ et $a_{i,2}=-\mathbf 1_{A_i}$, on a : $$

\sum_{(j_1,\dots,j_n)\in\{1,2\}^n}\prod_{i=1}^n a_{i,j_i}=\sum_{k=0}^n \left( X^{n-k}\prod _{1\leqslant i_{1} <\dotsb <i_{k} \leqslant n} (-\mathbf{1}_{A_{i_{k}}})\right).

$$ C'est le point qui me bloque (le passage du membre de gauche à celui de droite) depuis un moment.

gb · February 2020

Pour $(j_1,\dots,j_n)$ appartenant à $\lbrace 1,2\rbrace$, je note :
\begin{align*} I &= \lbrace i \mathrel{;} j_i=2 \rbrace & k &= \mathrm{card}(I) \end{align*}
de sorte que

\[\prod_{i=1}^n a_{i,j_i} = \prod_{i\notin I} a_{i,1}\prod_{i\in I} a_{i,2} = \prod_{i\notin I} X \prod_{i\in I} (-\mathbf{1}_{A_i}) = X^{n-k} \prod_{i\in I} (-\mathbf{1}_{A_i})\]

topopot · February 2020

Merci beaucoup gb !

Distributivité généralisée

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Bonjour!

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