Polynôme irréductible à deux variables

Fibonacci · February 2020

Bonjour, étant donné un polynôme à deux variables, comment pouvez-vous déterminer s'il peut être factorisé (en Q) ?
Par exemple, le polynôme $$x ^ 3 + 3x ^ 2y-xy ^ 2 + 2x ^ 2 + 3y ^ 2-y ^ 3-4x-5y + 3$$ est irréductible, mais quelles méthodes existe-t-il pour le prouver ?
Je vous remercie beaucoup.
a+
Fibonacci

claude quitté · February 2020

Fastoche.

$\bullet$ Première chose, on fait ça :

[color=#000000]> Z := IntegerRing() ;                                              
> Zxy<x,y> := PolynomialRing(Z,2) ;
> F := x^3 + 3*x^2*y - x*y^2 + 2*x^2 + 3*y^2 - y^3 - 4*x - 5*y + 3 ;
> F ;
x^3 + 3*x^2*y + 2*x^2 - x*y^2 - 4*x - y^3 + 3*y^2 - 5*y + 3
> #Terms(F) ;
9
> IsIrreducible(F) ;
true
> Content(F) ;
1
> 
> 
> F2<x,y> := ChangeRing(F, GF(2)) ;                                 
> F2 ;
x^3 + x^2*y + x*y^2 + y^3 + y^2 + y + 1
> IsIrreducible(F2) ;
true
[/color]

Trop facile, il est irréductible sur $\mathbb F_2$.

$\bullet$ Ensuite, on se procure des ouvrages sur le sujet. En acceptant d'y passer plusieurs mois voire plusieurs années. Au pif, par exemple Modern Computer Algebra, de Von zur Gathe & J. Gerhard (1999) : il y a une centaine de pages consacrées au sujet (c'est rien sur les 750 pages). On y apprend un tout petit peu le métier pour commencer : sur les corps finis puis sur $\Z[X]$, $\Q[X]$, $\Z[X,Y]$ ...etc...
On comprend vite qu'il (l'ouvrage) s'agit d'un tout petit aperçu et on cherche donc d'autres ressources. La factorisation des polynômes est une activité à part entière. Il faut compter quelques années.

Rescassol · February 2020

Bonjour,

Ou en Matlab:

syms x y
P=x^3 + 3*x^2*y + 2*x^2 - x*y^2 - 4*x - y^3 + 3*y^2 - 5*y + 3;
Factor(P)

Qui répond

x^3 + 3*x^2*y + 2*x^2 - x*y^2 - 4*x - y^3 + 3*y^2 - 5*y + 3

Cordialement,

Rescassol

claude quitté · February 2020

Sur le net faire ``Factorisation of polynomials : a survey'' ou quelque chose dans ce goût là. Quatre parmi ....
Kaltofen in https://users.cs.duke.edu/~elk27/bibliography/03/issac.pdf ou http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.39.7916&rep=rep1&type=pdf Von Zur Gathen http://www.sigsam.org/issac/2006/abstract/gathen.pdf Toute petite bibliographie : http://www.mmrc.iss.ac.cn/~lzhi/Research/fac.html

vincent83 · February 2020

claude quitté a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1937522,1937538#msg-1937538
...
$\bullet$ Ensuite, on se procure des ouvrages sur le sujet. En acceptant d'y passer plusieurs mois voire plusieurs années. Au pif, par exemple Modern Computer Algebra, de Von zur Gathe & J. Gerhard (1999) : il y a une centaine de pages consacrées au sujet (c'est rien sur les 750 pages). On y apprend un tout petit peu le métier pour commencer : sur les corps finis puis sur $\Z[X]$, $\Q[X]$, $\Z[X,Y]$ ...etc...
On comprend vite qu'il (l'ouvrage) s'agit d'un tout petit aperçu et on cherche donc d'autres ressources. La factorisation des polynômes est une activité à part entière. Il faut compter quelques années.

Excellent! ;-)

Fibonacci · February 2020

Merci beaucoup, vraiment très gentil. Malheureusement je n'aurai pas d'années disponibles car je suis âgé (même si je suis en excellente santé) Les indications sont très utiles .. a+

Fibonacci

Polynôme irréductible à deux variables

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