Cantor-Bernstein linéaire

Azertyuiop12 · February 2020

Bonjour,
J'ai récemment entendu un camarade m'évoquer la possibilité d'étendre le théorème de Cantor-Bernstein, à savoir si on ajoute comme hypothèse la linéarité des deux injections entre deux K-evs, alors ces deux K-evs sont isomorphes.
Ce résultat est-il valable?
Connaissez-vous une preuve?
Merci beaucoup

raoul.S · February 2020

Oui ce résultat est valable. Avec l'axiome du choix on peut le démontrer, sans cet axiome je ne sais pas...

Avec l'axiome du choix :

On note $E$ et $F$ nos deux e.v et $f:E \rightarrow F$, $g:F \rightarrow E$ deux injections linéaires.

Soient $B_E$ une base de $E$ et $B_F$ une base de $F$. $f(B_E)$ est une famille libre qui peut être complétée en une base. Cette autre base est donc en bijection avec $B_F$ et nous obtenons, par composition des applications, une injection de $B_E$ dans $B_F$.

En faisant le même raisonnement avec $g$ on obtient une injection de $B_F$ dans $B_E$. Par Cantor-Bernstein ces deux bases sont donc équipotentes et par suite $E$ et $F$ sont isomorphes.

Azertyuiop12 · February 2020

Merci mais je ne comprends pas bien où et comment on utilise l’axiome du choix. C’est lui qui assure la linéarité de la bijection ? Car celle-ci n’est pas du tout immédiate?

Homo Topi · February 2020

C'est pour la complétion de la base, en dimension potentiellement infinie.

raoul.S · February 2020

Azertyuiop12 a écrit:

C’est lui qui assure la linéarité de la bijection ?

Non. L'axiome du choix n'intervient pas dans la linéarité. Je vais essayer d'ajouter des détails :

On note $E$ et $F$ nos deux e.v et $f:E \rightarrow F$, $g:F \rightarrow E$ deux injections linéaires.

Azertyuiop12 ici tu pourrais être tenté d'appliquer Cantor-Bernstein directement (en tout cas c'est ce que tes questions me laissent penser) et conclure qu'il existe une bijection de $E$ dans $F$. Mais ce raisonnement ne mène nulle part car comment savoir si cette bijection est linéaire ?

Ce qu'il faut faire c'est réussir à obtenir une bijection entre une base $B_E$ de $E$ et une base $B_F$ de $F$ car là on sait (enfin je suppose que tu sais) que s'il existe une bijection entre des bases de deux e.v alors ceux-ci sont isomorphes. Et c'est ce qu'on a fait précédemment on a construit une bijection entre les bases $B_E$ et $B_F$ (donc je n'ai pas exhibé un isomorphisme explicitement mais tu l'obtiens facilement à partir de cette bijection entre bases).

L'axiome du choix est utilisé pour garantir l'existence des bases $B_E$ de $E$ et $B_F$ de $F$ et comme l'a dit Homo Topi pour garantir qu'on puisse compléter une famille libre en une base (ça demanderait d'autres démonstrations).

Naturellement l'axiome du choix n'intervient que si tes e.v sont de dimension infinie, autrement l'existence d'une base ne requiert pas cet axiome.

Homo Topi · February 2020

Azertyuiop12 : si tu ne l'as jamais vu, le théorème comme quoi tout EV de dimension infinie admet une base ne se démontre pas sans l'axiome du choix . Ce qu'on fait, si je me souviens bien, c'est qu'on utilise le lemme de Zorn pour justifier que toute famille libre peut être complétée en une famille libre maximale (donc, en une base). Donc en fait on utilise le lemme de Zorn pour étendre le théorème de la base incomplète aux EV de dimension infinie, et l'existence d'une base est un corollaire direct de ça.