Clarifications sur l'orthogonalité

Je ressors ce fil pour un petit détail. c'est surtout pour moi, mais n'hésitez pas à vérifier si ce que je dis est correct.

Plusieurs intervenants ont utilisé la notation $O(p,q)$. J'ai exprès vérifié dans mes bouquins avant de les accuser à tort, il n'y a pas cette notation dedans. Déjà, puisque $q$ désigne chez moi la forme quadratique et pas la partie négative de sa signature, et que $n$ désigne la dimension de l'espace en général, on va changer un peu les notations.

Soit $q$ une forme quadratique sur un ev réel (sinon, ça n'a pas de sens) de dimension $n$. On appelle $(p,m)$ sa signature (pour "plus" et "moins" :-D), donc on a $n=p+m$.

J'ai trouvé ici que $O(p,m)$ est le sous-groupe de $GL_{p+m}(\mathbb{R})$ formé des isométries de la forme quadratique standard de signature $(p,m)$ sur $\mathbb{R}^{p+m}$. Uniquement de la forme quadratique standard, ça m'a paru un peu restrictif.

Du coup, mon cerveau a connecté deux neurones et a formulé la question :

A-t-on $O(E,q) \simeq O(E,q') \Longleftrightarrow q$ et $q'$ ont même signature ? (pour $E$ ev réel, du coup)

Je pense que le document dont je viens de donner le lien répond à la question : $O(p,m) \simeq O(p) \times O(m)$, où $O(p)$ désigne les isométries pour la forme quadratique $x_1^2 + ... + x_p^2$ de $\mathbb{R}^p$ et $O(m)$ désigne les isométries pour la forme quadratique $-x_1^2 -... - x_m^2$ de $\mathbb{R}^m$.

Si ça c'est vrai, je suppose qu'on devrait réussir à avoir $O(E,q) \simeq O(E',q') \Longleftrightarrow \dim(E) = \dim(E')$, et $q$ et $q'$ ont même signature. J'ai bon ?

D'accord, donc on ne peut vraiment pas "réduire" l'étude des groupes orthogonaux à l'étude de certains groupes orthogonaux "standard" qui expliquent tous les autres cas.

Mon cerveau est un vrai milk-shake ce soir... merci.

Merci !