Puissance d'une matrice
dans Algèbre
Bonjour
On définit la matrice M =(Aij) par :
Nb : la matrice M n’est pas diagonalisable dans R.
Merci.
On définit la matrice M =(Aij) par :
A11= 1, A12=-1, A13=1, ( 1, -1 1) A21=-1 A22=1, A23=1, (-1 1 1) A31=-1, A32-1, A33=1. (-1 -1 1)Y a-t-il une méthode qui permettra de calculer M à la puissance n, pour un entier n quelconque ?
Nb : la matrice M n’est pas diagonalisable dans R.
Merci.
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Réponses
On peut décomposer $X^n/\chi$ en éléments simples, où $\chi$ est le polynôme caractéristique de la matrice (il suffit de trouver la partie polaire). Cela revient à calculer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $\chi$.
PS : Grillé par Maxtimax ; il se trouve qu'ici polynômes caractéristique et minimal coïncident.
Bonté divine 8-)
Digression :
Bon, cela dit on a la droit de diagonaliser (quand on peut) dans $\mathbb C$ puis de vérifier qu’on retombe dans $\mathbb R$.
Ça m’évoque les suites de Fibonacci, à valeurs entières : on les exprime avec le nombre d’or mais on reste bien dans $\mathbb N$.
P^{-1}=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{28} \sqrt{-7} + \frac{1}{4} & \frac{1}{28} \sqrt{-7} + \frac{1}{4}
& -\frac{1}{7} \sqrt{-7} \\
-\frac{1}{28} \sqrt{-7} + \frac{1}{4} & -\frac{1}{28} \sqrt{-7} +
\frac{1}{4} & \frac{1}{7} \sqrt{-7}\end{pmatrix}.\]
tu peux nous donner l'expression de M en fonction de la matrice de passage et la matrice diagonale (les coefficients seront dans C ). peut être je pourrais trouver un moyen de de calculer la puissance n de ces coefficient complexe .
Ne crois-tu pas pouvoir le faire ?
Qu’est-ce qu’il te manque ?
0 & \frac{1+ \sqrt{-7} }{2} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1-\sqrt{-7}}{2}\end{pmatrix}P^{-1}.\]En effet, je n'ai pas calculé à la main mais avec Sage.
je te propose une détermination de la puissance n ième de ta matrice (sans passer par Python, ni Cobra, ni Boa).
$M=\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\\-1&-1&1\end{pmatrix},\ $ d'où $M^2=\begin{pmatrix}1&-3&1\\-3&1&1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}$
le déterminant caractéristique $\det(\lambda I - M)$ donne un polynôme caractéristique : $\lambda^3 - 3\lambda^2 + 4\lambda - 4 = 0$ de racine évidente égale à 2,
d'où l'équation factorisée : $(\lambda - 2)(\lambda^2 - \lambda + 2) = 0$ qui comporte aussi deux racines complexes conjuguées : $\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{7}}{2}$ de module commun $r =\sqrt{2}$ et d'argument $t\in [0 ;\frac{\pi}{2}[$ tel que $\tan(t) = \sqrt{7}$.
Avec $\tan(t)$ nous calculons précisément $\cos(t), \sin(t), \cos(2t), \sin(2t), \sin(3t)$ en raisonnant comme avec les suites récurrentes linéaires d'ordre 3 (après utilisation du théorème de Cayley-Hamilton) on sait que :
$M^n = A\, 2^n + r^n\big(B\cos(nt) + C\sin(nt)\big)$ avec $A, B$ et $C$ coefficients matriciels de même format que $M$.
En faisant successivement $n = 0,\ n = 1$ et $n = 2$ dans l'équation matricielle
nous déterminons les matrices $A$, $B$ et $C$ fonctions de $I$ matrice unité, $M$ et $M^2$.
Nous obtenons $A = \frac{M^2 - M + 2I}{4},$ $\quad B = \frac{- M^2 + M + 2I}{4}$ et enfin $C = \frac{-3M^2 + 11M - 10I}{4\sqrt{7}}$.
finalement la matrice $M$ élevée à la puissance $n$ est : $$
M^n = \begin{pmatrix}2^{n-1}&-2^{n-1}&0\\-2^{n-1}&2^{n-1}&0\\0&0&0\end{pmatrix}+\frac{(\sqrt{2})^{n+1}}{\sqrt{7}}\begin{pmatrix}-\sin(n-1)t&-\sin(n-1)t&\sqrt{2}\sin(nt)\\-\sin(n-1)t&-\sin(n-1)t&\sqrt{2}\sin(nt)\\-\sqrt{2}\sin(nt)&-\sqrt{2}\sin(nt)&2\sin(n+1)t\end{pmatrix},
$$ avec $n = - 1$ dans cette identité nous vérifions l'expression de la matrice inverse : $M^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\1&1&0\end{pmatrix}$.
Avec $n = 1/2$ on peut déterminer la racine carrée de $M$ mais le calcul est lourd et le résultat aussi.
Cordialement.