Limite de suite définie par un produit
dans Algèbre
Bonsoir !
J'ai une question concernant la limite d'une suite définie par un produit.
_____2n-1
Un = produit (2 - (k/2n))
_____k=1
Je ne sais pas trop comment procéder. Un peu d'aide pour le démarrage serait la bienvenue. Merci beaucoup à vous !
J'ai une question concernant la limite d'une suite définie par un produit.
_____2n-1
Un = produit (2 - (k/2n))
_____k=1
Je ne sais pas trop comment procéder. Un peu d'aide pour le démarrage serait la bienvenue. Merci beaucoup à vous !
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Réponses
Pour $n$ non nul, tu peux écire $2-{k \over 2 n}$ sous forme d'une fraction. Le dénominateur de dépend pas de $k$ ; le numérateur est un produit de nombres successifs : quel est le plus grand ? quel est le plus petit ?
pour le numérateur : le nombre le plus grand est 4n-1 ?
je dois donc minorer Un par un terme qui tend vers + l'infini, ce qui montrerait que, par le théorème de minoration, Un tend vers + l'infini
C'est bien cela ?
j'ai peut-être une idée, je vous la propose :
$\displaystyle u_n=\prod_{k=1}^{2n-1} (2- \tfrac{k}{2n})= \prod_{k=1}^{2n-1}2(1-\tfrac{k}{4n})$
on a $\ln(u_n)=\sum_{k=1}^{2n-1}\ln(2(1-\tfrac{k}{4n}))= \sum_{k=1}^{2n-1}\ln(2)+\sum_{k=1}^{2n-1}\ln(1-\tfrac{k}{4n})$
après je pense que si on fait un DL de $\ln(1-\tfrac{k}{4n})$ on peut s'en sortir.
Une minoration à la louche suffit.
Je persiste à penser que dans cet exercice il manque une racine $n$-ème dans la définition de $u_n$. Avec une racine $n$-ème, c'est un peu moins plan-plan.