Espace localement annelé
Ce qui a motivé mon fil sur la localisation (qui fait 8 pages et a été regardé plus de 12000 fois ::o), à la base, c'était la définition d'espace localement annelé.
Je la recopie d'ici : c'est un espace topologique $X$ muni d'un faisceau $O_X$ d'anneaux commutatifs (unitaires...) tel qu'en tout point, l'anneau des germes soit un anneau local.
Je suis tombé sur ça : Fibres et germes, donc apparemment la terminologie est un poil volatile. L'article en anglais sur les espaces annelés utilise le mot "stalk", dont la définition Wikipédia est ici et semble correspondre à la définition en français de "fibre" et pas de "germe" (d'où la remarque dans l'article en français sur les faisceaux sur les problèmes de vocabulaire).
Bon, alors :
- un espace topologique, je sais ce que c'est
- un faisceau d'anneaux commutatifs, je pense comprendre ce que c'est
- un anneau local, je sais ce que c'est depuis peu
mais...
"l'anneau des germes", c'est quoi maintenant exactement ? Et c'est en tout point de quoi, de $X$ ?
Merci !
Je la recopie d'ici : c'est un espace topologique $X$ muni d'un faisceau $O_X$ d'anneaux commutatifs (unitaires...) tel qu'en tout point, l'anneau des germes soit un anneau local.
Je suis tombé sur ça : Fibres et germes, donc apparemment la terminologie est un poil volatile. L'article en anglais sur les espaces annelés utilise le mot "stalk", dont la définition Wikipédia est ici et semble correspondre à la définition en français de "fibre" et pas de "germe" (d'où la remarque dans l'article en français sur les faisceaux sur les problèmes de vocabulaire).
Bon, alors :
- un espace topologique, je sais ce que c'est
- un faisceau d'anneaux commutatifs, je pense comprendre ce que c'est
- un anneau local, je sais ce que c'est depuis peu
mais...
"l'anneau des germes", c'est quoi maintenant exactement ? Et c'est en tout point de quoi, de $X$ ?
Merci !
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Réponses
Concrètement, c'est : on regarde tous les couples $(s,U)$ où $U$ est un voisinage ouvert de $x$ et $s\in \mathcal F(U)$, et on quotiente par $(s,U) = (t,V)$ s'il existe $W\subset V\cap U$ voisinage ouvert de $x$ tel que $s_{\mid W} = t_{\mid W}$ : tu prends toutes les sections définies en $x$ mais tu ne retiens que l'information qui est locale en $x$.
On note ça $\mathcal F_x$. Maintenant si ton faisceau $\mathcal F$ a un peu plus de structure (groupe, anneau, ...) souvent (c'est toujours le cas des structures algébriques, au sens défini dans un autre fil ;-) ) la même structure passe aux fibres : si $\mathcal F$ est un faisceau en anneaux, $\mathcal F_x$ hérite de cette structure d'anneau pour tout $x\in X$.
En particulier on peut demander qu'il soit local en tout $x\in X$. ça donne un espace localement annelé.
L'exemple prototypique c'est $C^\infty$ sur une variété différentielle $M$ : $U\mapsto C^\infty(U,\mathbb R)$ (fonctions $C^\infty$ de $U\to \mathbb R$) est clairement un faisceau, qu'on peut munir d'une structure d'anneau (on multiplie et on additionne à l'arrivée).
Je te laisse réfléchir à quelle tête $C^\infty_x$ a, et quel est son (unique) idéal maximal
Et donc il faut que je réessaie de comprendre (en détail cette fois) la notion de limite inductive.
Soit donc $x \in M$. Je regarde d'abord l'approche concrète. Je considère donc les couples de type $(s,U)$ où $U$ est un voisinage ouvert de $x$ et $s : U \longrightarrow \mathbb{R}$ est une application lisse.
J'ai un peu de mal à voir ce qu'il se passe quand on quotiente ce machin-là par ce que tu as dit, mais j'ai l'impression que la seule chose qui compte c'est la valeur en $x$ exactement...
En fait tu n'auras pas de description aisée de $C^\infty_x$, je t'invite plutôt à réfléchir à son sujet (sans tenter de le décrire complètement !) pour déterminer son idéal maximal. Tu peux par exemple réfléchir à "quels sont les inversibles, les non inversibles ?"
Le germe en $x\in U$ d'une section $s\in \mathcal F(U)$ c'est son image dans $\mathcal F_x$ (rappelle-toi que $\mathcal F_x$, en tant que limite inductive, vient avec des morphismes canoniques $\mathcal F(V)\to \mathcal F_x$ pour tout $V\ni x$ )
Tu remarqueras que je n'ai pas dit sur quel intervalles elles étaient définies, je te propose de vérifier que n'importe quel intervalle contenant $0$ fera l'affaire.
EDIT : Maxtimax a édité son message en même temps.
Mais de l'autre côté, tu me dis que la limite inductive s'obtient en quotientant des couples $(s,U)$. Ce ne sont pas exactement les mêmes objets... je ne comprends honnêtement rien.
Du coup pour toutes les opérations qu'on veut faire, (somme, produit, etc...). Bah on prend nos fonctions définies au voisinage de $x$, on restreint tout le monde à un voisinage suffisamment petit pour que tout le monde ait du sens, et on fait nos opérations dans ce voisinage assez petit.
Voilà "avec les mains", ce qu'est un germe. Maintenant, il faut bien regarder pourquoi la définition formelle rend compte de cela.
Ces classes d'équivalence, les germes en $x$ donc, sont des ensembles de couples section-voisinage. J'ai quand même une question ici.
Si j'ai une section $s$, et trois voisinages $W \subseteq V \subseteq U$ de $x$, alors $s$, $s |_U$, $s|_V$ et $s|_W$ coïncident sur $W$. Mais combien de germes va-t-on définir ici ? Une classe pour les fonctions qui coïncident avec $s$ sur $W$, une pour celles qui coïncident avec $s$ sur $V$ ET une pour celles qui coïncident avec $s$ sur $U$ ? Je me suis embrouillé en chemin...
Donc oui, je maintiens : c'est l'image de $s$ dans la limite inductive, qui s'avère être aussi l'image de $(s,U)$ (mais pas l'image par la même application !)
Pour ta question : beh $s,s_{\mid V}, s_{\mid W}$ et $s_{\mid U}$ coïncident sur un voisinage, non ? Bon bah donc elles donnent le même germe.
La seule classe définie, c'est celle des fonctions $f$ telles qu'il existe un voisinage $V_f$ (je met $f$ en indice pour appuyer la dépendance possible en $f$ de ce voisinage) de $x$ sur lequel $f$ coïncide avec $s$.
Edit: Croisement avec Max
Edit: Croisement avec Poirot.
Je prends un espace annelé "tout court" $(X,\mathcal{F})$ où $X$ est un espace topologique et $\mathcal{F}$ est un faisceau d'anneaux commutatifs. J'arrête de le noter $O_X$ pour le moment.
La fibre du faisceau $\mathcal{F}$ en un point $x \in X$ est "simplement" la limite inductive $\mathcal{F}_x = \displaystyle \lim_{\overrightarrow{U, x \in U}}\mathcal{F}(U)$, limite prise le long des ouverts de $X$ contenant $x$, ordonnés par l'inclusion. $\mathcal{F}_x$ est ici encore un anneau commutatif.
Maintenant, pour tout ouvert $U$ de $X$, $\mathcal{F}(U)$ est (ici) un anneau commutatif dont les éléments sont appelés des sections de $\mathcal{F}$ au-dessus de $U$.
Soit donc $s \in \mathcal{F}(U)$. On dispose d'un morphisme $\phi_U :\mathcal{F}(U) \longrightarrow \mathcal{F}_x$, et le germe d'une section $s \in \mathcal{F}(U)$ au point $x \in X$ est alors $\phi_U(s)$.
EDIT : l'information de $U$ disparaît ici, la section est une section au-dessus d'un certain ouvert mais le germe semble ne pas tenir compte de l'ouvert en question. Bizarre ?
Bon.
Maintenant, pour la partie "espace localement annelé". Je reprends Wikipédia : "en tout point, l'anneau des germes de $\mathcal{F}$ soit être un anneau local". En plus précis, ça veut dire : en tout $x \in X$, la fibre $\mathcal{F}_x$ doit être un anneau local. C'est ça que dit l'article en anglais, en tout cas, j'ai vérifié.
Je pense honnêtement que la formulation "les germes de $\mathcal{F}$", qui n'a pas exactement de sens, m'a retourné le cerveau beaucoup plus que nécessaire. Ce qu'il y a, c'est qu'on appelle $\mathcal{F}_x$ encore l'ensemble (ici, l'anneau, du coup) des germes en $x$. Pourquoi : parce que pour tout $U$, pour toute section $s$ de $\mathcal{F}$ au-dessus de $U$, on a un $\phi_U(s) \in \mathcal{F}_x$, donc un germe d'une certaine section au point $x$.
Cependant, avec ce que j'ai dit, en principe la notion de germe est superflue, je trouve. A part me compliquer la compréhension des choses, elle ne fait rien.
Après, oui, "l'anneau des germes en $x$", n'est juste qu'une autre manière de dire "la fibre de $\mathcal{F}$ en $x$" (je ne sais pas si ça a été dit, mais je crois que "stalk" se traduit plutôt par "tige", et j'ai entendu "tige" plutôt que "fibre" à plusieurs reprise).
Par rapport à ton edit: oui, le germe "se fiche" de l'ouvert d'origine de la section, tant que cet ouvert contient $x$. Comme pour les fonctions, on a juste besoin de savoir que $f$ est défini sur "un" voisinage de $x$.
HT : bah le germe de $s$ en $x$ c'est ce qui nous intéresse au sujet de $s$ quand on s'intéresse aux informations locales en $x$, donc c'est vraiment pas superflu !
Ensuite, pour ton edit en rouge, chat-maths l'a déjà dit, mais j'appuie : oui oui oui mille fois oui : $s_x$ se fiche de $U$, puisque déjà dès que $V\subset U, (s_{\mid V})_x = s_x$ : il est essentiel qu'on se fiche de $U$ quand on regarde les germes en $x$, puisqu'un ouvert fixé n'est pas "de l'information locale en $x$" (puisqu'on peut aller plus bas - sauf bien sûr dans les rares cas où $x$ a un plus petit voisinage, mais c'est quand même rare). Donc $s_x$ oublie tout de $U$, oui, et c'est précisément ce qu'on veut.
Attention, remarque de notation : la limite inductive (qui est en réalité une colimite) se note en général $\varinjlim$, pas $\varprojlim$
Bon au final j'ai au moins compris la définition, c'est déjà ça.
EDIT : j'ai corrigé le sens de la flèche, je ne sais pas pourquoi je l'ai mise dans ce sens-là.
Donc les inversibles de $C_x^{\infty}$, puisque la loi est la multiplication, devraient être exactement les (classes de) fonctions qui ne s'annulent pas sur un voisinage de $x$.
Je pense qu'on va pouvoir former des idéaux avec des fonctions qui s'annulent sur un voisinage de $x$, d'une certaine manière : quand on multiplie n'importe quelle fonction par une fonction qui s'annule sur un voisinage de $x$, on obtient une fonction qui s'annule sur un voisinage de $x$. Le problème est plutôt du côté de l'addition, cette fois : la somme de deux fonctions qui s'annulent sur deux voisinages différents n'a aucune raison de s'annuler quelque part...
Il faut que j'essaie de formaliser ça... soient $f$ et $g$ deux fonctions s'annulant respectivement sur $V$ et $W$. Alors l'addition dans $C_x^{\infty}$ c'est $f \oplus g := (f+g)|_{V \cap W}$, c'est bien ça ? Non ça c'est débile.
L'addition c'est juste l'addition. L'endroit où le résultat de l'addition s'annule c'est l'intersection, mais pas besoin de le mettre dans la définition de l'opération.
Mais donc l'ensemble des fonctions qui s'annulent sur un voisinage de $x$ est bien un idéal.
J'ai l'impression que ton message est en contradiction avec ce qu'on m'a dit avant.
En tout cas, j'ai deux certitudes :
- si deux fonctions s'annulent au même endroit, leur somme s'annule encore à cet endroit
- le produit d'une fonction quelconque par une fonction qui s'annule quelque part s'annule quelque part
donc à peu de choses près j'ai tout pour former un idéal en bidouillant avec ça.
Si je prends deux (classes de) fonctions, disons $f$ qui s'annule dans une partie $A$ incluse dans un voisinage $V$ de $x$ et $g$ qui s'annule dans une partie $B$ incluse dans un voisinage $W$ de $x$, il n'y a aucune raison que $A$ et $B$ ne soient pas disjoints et donc la somme ne s'annule nulle part, ça casse tout mon truc, et je me retrouve sans une piste.
Par construction, $\mathcal{C}^\infty_x$, c'est le quotient de tous les $(s,U)$, par la relations $(s,U) \sim (s',U')$ ssi il existe un voisinage ouvert de $x$ $W \subset U' \cap U$ tel que $s_{|W} = s'_{|W}$, où $s: U \to \mathbb{R}$, $s': U' \to \mathbb{R}$, $s$ et $s'$ sont $\mathcal{C}^\infty$ et $U, U'$ sont des voisinages de $x$. Et $\phi_U$ associe à une fonction $s: U \to \mathbb{R}$ la classe dans ce quotient du couple $(s,U)$.
Je reprends tes notations: f s'annule sur une partie $A$ d'un voisinage $V$ de $x$ et $g$ sur une partie $B$ d'un voisinage $W$ de $x$.
Quel condition peux-tu imposer sur $A$ et $B$ pour que d'une: $A \cap B \neq \varnothing$, et pour que cette condition ait un sens pour tout voisinage de $x$?
Tu as d'autres idéaux dans $\mathcal{C}^\infty_x$, par exemple, l'idéal des germes de fonctions $f$ telles que $f(x) = 0$ et $f'(x) = 0$, ça marche bien car les dérivées de $f$, qui se calculent en tant que limites, sont définies tant que $f$ est définie au voisinage de $x$.
Poirot : je réfléchirai un peu à ta remarque (encore ces histoires de germe...), mais il est tard. Et demain j'aurai beaucoup trop de travail pour ça.
Je note $v_x$ le morphisme d'évaluation en $x$. Son ensemble de définition, c'est $\mathcal{C}_x^{\infty}$. Et son ensemble d'arrivée, c'est $\mathbb{R}$. Non ?
$\ker{v_x} =$ (classes de) fonctions lisses sur un voisinage ouvert de $x$ qui s'annulent en $x$. C'est un idéal. Mais après ?
J'ai édité (j'avais écrit des bêtises)
Enfin bon ce n'est pas essentiel ici, ni pour faire nos calculs, ni pour comprendre l'exemple.
On a un faisceau $\mathcal{F}$ associé à un espace $X$. Ses éléments sont appelés des sections (chacune "au-dessus" d'un certain ouvert).
En chaque point $x \in X$, on définit la fibre $\mathcal{F}_x$ du faisceau $\mathcal{F}$ au point $x$ par une limite inductive.
Un germe en $x$, c'est un élément de cette fibre, donc une classe d'équivalence de sections. On dit donc que $\mathcal{F}_x$ est l'ensemble (ici l'anneau) des germes en $x$. Mais "un germe" tout court, ça ne veut pas dire grand chose, il faut dire "un germe en un point". Sinon, un germe sans point précisé, ce n'est pas clair. Pour moi en tout cas...
> Juste pour être sûr que j'ai bien fini par comprendre ces histoires de germes.
> On a un faisceau $\mathcal{F}$ associé à un espace $X$. Ses éléments sont appelés des
> sections (chacune "au-dessus" d'un certain ouvert).
Je n'ai pas suivi toute cette discussion, et j'interviens sans doute comme un chien dans un jeu de quilles, mais cette phrase me fait réagir. Un faisceau n'est pas l'ensemble de ses sections !!!
À la rigueur, un faisceau considéré comme espace étalé pourrait être l'ensemble de ses germes.