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Espace localement annelé

Envoyé par Homo Topi 
Espace localement annelé
il y a six semaines
Ce qui a motivé mon fil sur la localisation (qui fait 8 pages et a été regardé plus de 12000 fois eye popping smiley), à la base, c'était la définition d'espace localement annelé.

Je la recopie d'ici : c'est un espace topologique $X$ muni d'un faisceau $O_X$ d'anneaux commutatifs (unitaires...) tel qu'en tout point, l'anneau des germes soit un anneau local.

Je suis tombé sur ça : Fibres et germes, donc apparemment la terminologie est un poil volatile. L'article en anglais sur les espaces annelés utilise le mot "stalk", dont la définition Wikipédia est ici et semble correspondre à la définition en français de "fibre" et pas de "germe" (d'où la remarque dans l'article en français sur les faisceaux sur les problèmes de vocabulaire).

Bon, alors :
- un espace topologique, je sais ce que c'est
- un faisceau d'anneaux commutatifs, je pense comprendre ce que c'est
- un anneau local, je sais ce que c'est depuis peu
mais...
"l'anneau des germes", c'est quoi maintenant exactement ? Et c'est en tout point de quoi, de $X$ ?

Merci !

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Dès que tu as un faisceau $\mathcal F$ sur $X$, tu peux regarder pour tout $x\in X$ la limite inductive le long des voisinages ouvert de $x$ des $\mathcal F(U)$. On appelle cette limite inductive la fibre en $x$ ou l'ensemble des germes en $x$ ou en anglais le stalk.

Concrètement, c'est : on regarde tous les couples $(s,U)$ où $U$ est un voisinage ouvert de $x$ et $s\in \mathcal F(U)$, et on quotiente par $(s,U) = (t,V)$ s'il existe $W\subset V\cap U$ voisinage ouvert de $x$ tel que $s_{\mid W} = t_{\mid W}$ : tu prends toutes les sections définies en $x$ mais tu ne retiens que l'information qui est locale en $x$.

On note ça $\mathcal F_x$. Maintenant si ton faisceau $\mathcal F$ a un peu plus de structure (groupe, anneau, ...) souvent (c'est toujours le cas des structures algébriques, au sens défini dans un autre fil winking smiley ) la même structure passe aux fibres : si $\mathcal F$ est un faisceau en anneaux, $\mathcal F_x$ hérite de cette structure d'anneau pour tout $x\in X$.

En particulier on peut demander qu'il soit local en tout $x\in X$. ça donne un espace localement annelé.

L'exemple prototypique c'est $C^\infty$ sur une variété différentielle $M$ : $U\mapsto C^\infty(U,\mathbb R)$ (fonctions $C^\infty$ de $U\to \mathbb R$) est clairement un faisceau, qu'on peut munir d'une structure d'anneau (on multiplie et on additionne à l'arrivée).

Je te laisse réfléchir à quelle tête $C^\infty_x$ a, et quel est son (unique) idéal maximal

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
D'accord, donc "la fibre en $x$", où $x \in X$, c'est un anneau $\mathcal{F}_x$. Cet anneau (donc la fibre) est appelé "anneau des germes" en $x$. Et c'est un anneau parce que c'est une limite inductive d'anneaux.

Et donc il faut que je réessaie de comprendre (en détail cette fois) la notion de limite inductive.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Je ne connaissais pas cette définition de réunion disjointe, je me disais bien que la définition de limite inductive était un peu bizarre...

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Personnellement, ces constructions je les garde en tête parce qu'elles peuvent servir, mais le plus souvent c'est la propriété universelle qu'il faut garder en tête. C'est elle qui guide, pas les constructions explicites (qui ne sont qu'un "modèle" de l'objet avec la propriété universelle)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
J'essaie.

Soit donc $x \in M$. Je regarde d'abord l'approche concrète. Je considère donc les couples de type $(s,U)$ où $U$ est un voisinage ouvert de $x$ et $s : U \longrightarrow \mathbb{R}$ est une application lisse.

J'ai un peu de mal à voir ce qu'il se passe quand on quotiente ce machin-là par ce que tu as dit, mais j'ai l'impression que la seule chose qui compte c'est la valeur en $x$ exactement...

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Regarde par exemple pour $M = \mathbb{R}$, $x = 0$, prends la fonction nulle et la fonction $x \mapsto x^2$, elles valent toutes les deux $0$ en zéro. Ont-elles le même germe pour autant?
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Très bonne question, puisque je n'arrive pas à comprendre ce qu'est un germe.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
La valeur en $x$ ne suffit pas : tu peux très bien imaginer deux fonctions lisses qui ont la même valeur en $x$ mais sont en désaccord sur tout voisinage de $x$.
En fait tu n'auras pas de description aisée de $C^\infty_x$, je t'invite plutôt à réfléchir à son sujet (sans tenter de le décrire complètement !) pour déterminer son idéal maximal. Tu peux par exemple réfléchir à "quels sont les inversibles, les non inversibles ?"

Le germe en $x\in U$ d'une section $s\in \mathcal F(U)$ c'est son image dans $\mathcal F_x$ (rappelle-toi que $\mathcal F_x$, en tant que limite inductive, vient avec des morphismes canoniques $\mathcal F(V)\to \mathcal F_x$ pour tout $V\ni x$ )

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Maxtimax.
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Dans ce cas, essaye de regarder ce que ça signifierait de dire que les deux fonctions dont j'ai parlé seraient équivalentes.

Tu remarqueras que je n'ai pas dit sur quel intervalles elles étaient définies, je te propose de vérifier que n'importe quel intervalle contenant $0$ fera l'affaire.
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Mais c'est quoi un germe maintenant ? C'est frustrant de ne pas comprendre de quoi vous parlez.

EDIT : Maxtimax a édité son message en même temps.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Homo Topi.
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
D'un côté, tu me dis que le germe c'est l'image d'une section $s$ dans la limite inductive.

Mais de l'autre côté, tu me dis que la limite inductive s'obtient en quotientant des couples $(s,U)$. Ce ne sont pas exactement les mêmes objets... je ne comprends honnêtement rien.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Un germe, formellement, c'est ce qu'a décrit Maxtimax, un élément de la limite inductive, ou encore l'image d'un couple $(U,s)$ dans le quotient qui définit la limite inductive. Intuitivement, c'est une fonction où on a jeté toute information "non locale" en $x$. C'est quelque chose défini "sur un voisinage de $x$", où on en sait pas plus sur la taille de ce voisinage. Vu qu'on ne cherche que l'information "locale en $x$", si $f$ est une fonction définie sur un voisinage $U$ de $x$, alors pour tout voisinage de $x$ $V$ contenu dans $U$, $f$ et $f_{|V}$ définissent le "même" germe (leur classe dans le quotient est la même).

Du coup pour toutes les opérations qu'on veut faire, (somme, produit, etc...). Bah on prend nos fonctions définies au voisinage de $x$, on restreint tout le monde à un voisinage suffisamment petit pour que tout le monde ait du sens, et on fait nos opérations dans ce voisinage assez petit.

Voilà "avec les mains", ce qu'est un germe. Maintenant, il faut bien regarder pourquoi la définition formelle rend compte de cela.



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Chat-maths.
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Donc le but du quotient, ici, c'est de décréter "si vous coïncidez sur un voisinage de $x$, vous êtes la même fonction" D'où le fait d'assimiler toute fonction à sa restriction sur un voisinage de $x$. Mais donc, deux fonctions qui ne sont égales que en $x$ ne finiront pas dans la même classe d'équivalence.

Ces classes d'équivalence, les germes en $x$ donc, sont des ensembles de couples section-voisinage. J'ai quand même une question ici.

Si j'ai une section $s$, et trois voisinages $W \subseteq V \subseteq U$ de $x$, alors $s$, $s |_U$, $s|_V$ et $s|_W$ coïncident sur $W$. Mais combien de germes va-t-on définir ici ? Une classe pour les fonctions qui coïncident avec $s$ sur $W$, une pour celles qui coïncident avec $s$ sur $V$ ET une pour celles qui coïncident avec $s$ sur $U$ ? Je me suis embrouillé en chemin...

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Homo Topi.
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Alors attention, un modèle de la limite inductive s'obtient en quotientant l'ensemble des couples. ça ne change pas le fait que pour tout $U$, j'ai une application $\mathcal F(U)\to \mathcal F_x$ (ce que j'ai précisé dans mon dernier message ! elle envoie $s\mapsto [(s,U)]$ où $[ x ]$ désigne la classe de $x$), donc "l'image de $s$ par cette application" a un sens (que j'ai décrit dans ledit message !)

Donc oui, je maintiens : c'est l'image de $s$ dans la limite inductive, qui s'avère être aussi l'image de $(s,U)$ (mais pas l'image par la même application !)

Pour ta question : beh $s,s_{\mid V}, s_{\mid W}$ et $s_{\mid U}$ coïncident sur un voisinage, non ? Bon bah donc elles donnent le même germe.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Maxtimax.
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
@Homo Topi: Non, ici, tu ne définis qu'un seul germe: "le germe de $s$ en $x$". Pour toute famille finie de fonctions, dès qu'il existe un voisinage de $x$ sur lequel elles coïncident, elles sont dans la même classe, peu importe "sur quel voisinage" elles coïncident (après tout, pour savoir si elles coïncident sur $U$ ou sur $V$, il faut aller "loin de $x$", donc les germes n'ont pas vocation à faire ce genre de distinctions).

La seule classe définie, c'est celle des fonctions $f$ telles qu'il existe un voisinage $V_f$ (je met $f$ en indice pour appuyer la dépendance possible en $f$ de ce voisinage) de $x$ sur lequel $f$ coïncide avec $s$.

Edit: Croisement avec Max



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Chat-maths.
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Donc ce qui compte, c'est le plus petit voisinage de $x$ sur lequel deux fonctions coïncident. C'est ça ?

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Il n'y a pas forcément de plus petit tel voisinage, et justement c'est pour ça qu'on fait cette construction par limite inductive.
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
À priori, "le plus petit", c'est mal défini, dès que deux fonctions coïncident sur un voisinage, elles coïncideront sur tout voisinage plus petit, et l'ensemble des voisinage n'a pas de plus petit élément...

Edit: Croisement avec Poirot.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Chat-maths.
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Je ne sais pas si c'est censé être simple à comprendre, mais pour moi ce n'est vraiment pas clair.

Je prends un espace annelé "tout court" $(X,\mathcal{F})$ où $X$ est un espace topologique et $\mathcal{F}$ est un faisceau d'anneaux commutatifs. J'arrête de le noter $O_X$ pour le moment.

La fibre du faisceau $\mathcal{F}$ en un point $x \in X$ est "simplement" la limite inductive $\mathcal{F}_x = \displaystyle \lim_{\overrightarrow{U, x \in U}}\mathcal{F}(U)$, limite prise le long des ouverts de $X$ contenant $x$, ordonnés par l'inclusion. $\mathcal{F}_x$ est ici encore un anneau commutatif.

Maintenant, pour tout ouvert $U$ de $X$, $\mathcal{F}(U)$ est (ici) un anneau commutatif dont les éléments sont appelés des sections de $\mathcal{F}$ au-dessus de $U$.

Soit donc $s \in \mathcal{F}(U)$. On dispose d'un morphisme $\phi_U :\mathcal{F}(U) \longrightarrow \mathcal{F}_x$, et le germe d'une section $s \in \mathcal{F}(U)$ au point $x \in X$ est alors $\phi_U(s)$.
EDIT : l'information de $U$ disparaît ici, la section est une section au-dessus d'un certain ouvert mais le germe semble ne pas tenir compte de l'ouvert en question. Bizarre ?


Bon.

Maintenant, pour la partie "espace localement annelé". Je reprends Wikipédia : "en tout point, l'anneau des germes de $\mathcal{F}$ soit être un anneau local". En plus précis, ça veut dire : en tout $x \in X$, la fibre $\mathcal{F}_x$ doit être un anneau local. C'est ça que dit l'article en anglais, en tout cas, j'ai vérifié.

Je pense honnêtement que la formulation "les germes de $\mathcal{F}$", qui n'a pas exactement de sens, m'a retourné le cerveau beaucoup plus que nécessaire. Ce qu'il y a, c'est qu'on appelle $\mathcal{F}_x$ encore l'ensemble (ici, l'anneau, du coup) des germes en $x$. Pourquoi : parce que pour tout $U$, pour toute section $s$ de $\mathcal{F}$ au-dessus de $U$, on a un $\phi_U(s) \in \mathcal{F}_x$, donc un germe d'une certaine section au point $x$.

Cependant, avec ce que j'ai dit, en principe la notion de germe est superflue, je trouve. A part me compliquer la compréhension des choses, elle ne fait rien.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Homo Topi.
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
La notion de "germe d'une section" n'est pas trop superflue a mon avis. C'est une notion importante de la théorie des faisceaux, et on est très souvent appelé à manipuler $\phi_U(s)$ (qu'on note en général plutôt $s_x$, en omettant par abus l'ouvert exact où est défini la section).

Après, oui, "l'anneau des germes en $x$", n'est juste qu'une autre manière de dire "la fibre de $\mathcal{F}$ en $x$" (je ne sais pas si ça a été dit, mais je crois que "stalk" se traduit plutôt par "tige", et j'ai entendu "tige" plutôt que "fibre" à plusieurs reprise).

Par rapport à ton edit: oui, le germe "se fiche" de l'ouvert d'origine de la section, tant que cet ouvert contient $x$. Comme pour les fonctions, on a juste besoin de savoir que $f$ est défini sur "un" voisinage de $x$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Chat-maths.
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
chat-maths : on peut dire "tige", mais "fibre" est bien puisque si tu regardes l'espace étale associé à $\mathcal F$, $\mathcal F_x$ est littéralement la fibre en $x$. ça permet de vraiment mettre en lumière l'aspect espace étale justement.


HT : bah le germe de $s$ en $x$ c'est ce qui nous intéresse au sujet de $s$ quand on s'intéresse aux informations locales en $x$, donc c'est vraiment pas superflu !
Ensuite, pour ton edit en rouge, chat-maths l'a déjà dit, mais j'appuie : oui oui oui mille fois oui : $s_x$ se fiche de $U$, puisque déjà dès que $V\subset U, (s_{\mid V})_x = s_x$ : il est essentiel qu'on se fiche de $U$ quand on regarde les germes en $x$, puisqu'un ouvert fixé n'est pas "de l'information locale en $x$" (puisqu'on peut aller plus bas - sauf bien sûr dans les rares cas où $x$ a un plus petit voisinage, mais c'est quand même rare). Donc $s_x$ oublie tout de $U$, oui, et c'est précisément ce qu'on veut.

Attention, remarque de notation : la limite inductive (qui est en réalité une colimite) se note en général $\varinjlim$, pas $\varprojlim$

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Maxtimax.
Re: Espace localement annelé
il y a six semaines
Encore une fois, le problème n'est pas la traduction en anglais (je suis parfaitement bilingue) mais la cohérence de la terminologie... quand je voyais "l'anneau des germes" je pensais qu'il fallait réfléchir en termes de germes, mais c'est une fibre qu'il fallait regarder, donc pour moi en tout cas la terminologie est mal utilisée ici.

Bon au final j'ai au moins compris la définition, c'est déjà ça.

EDIT : j'ai corrigé le sens de la flèche, je ne sais pas pourquoi je l'ai mise dans ce sens-là.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Homo Topi.
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
En attendant... $C_x^{\infty}$ c'est les classes d'équivalence d'éléments de $C^{\infty}$, modulo l'égalité sur un voisinage de $x$, si j'ai bien compris.

Donc les inversibles de $C_x^{\infty}$, puisque la loi est la multiplication, devraient être exactement les (classes de) fonctions qui ne s'annulent pas sur un voisinage de $x$.

Je pense qu'on va pouvoir former des idéaux avec des fonctions qui s'annulent sur un voisinage de $x$, d'une certaine manière : quand on multiplie n'importe quelle fonction par une fonction qui s'annule sur un voisinage de $x$, on obtient une fonction qui s'annule sur un voisinage de $x$. Le problème est plutôt du côté de l'addition, cette fois : la somme de deux fonctions qui s'annulent sur deux voisinages différents n'a aucune raison de s'annuler quelque part...

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
c'est deux voisinages de $x$, donc il suffit de prendre l'intersection.
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
C'est vrai... je ne sais pas pourquoi j'avais en tête "la fonction s'annule quelque part dans un voisinage de $x$" au lieu de "elle est nulle sur tout le voisinage de $x$".

Il faut que j'essaie de formaliser ça... soient $f$ et $g$ deux fonctions s'annulant respectivement sur $V$ et $W$. Alors l'addition dans $C_x^{\infty}$ c'est $f \oplus g := (f+g)|_{V \cap W}$, c'est bien ça ? Non ça c'est débile.

L'addition c'est juste l'addition. L'endroit où le résultat de l'addition s'annule c'est l'intersection, mais pas besoin de le mettre dans la définition de l'opération.

Mais donc l'ensemble des fonctions qui s'annulent sur un voisinage de $x$ est bien un idéal.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Homo Topi.
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Tu es un peu restrictif si tu demandes à tes fonctions de s'annuler sur tout un voisinage de $x$ non? Deux telles fonctions peuvent-elles avoir un germe en $x$ différent? Dans l'anneau $\mathcal{C}^\infty_x$, quel idéal viens-tu de définir?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Chat-maths.
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Je n'en sais rien puisque je ne sais pas qui est exactement $C_x^{\infty}$, donc je n'ai pas les morphismes $\phi_U$ dont on parlait avant (limite inductive), donc je ne sais pas déterminer le germe de qui que ce soit confused smiley

J'ai l'impression que ton message est en contradiction avec ce qu'on m'a dit avant.

En tout cas, j'ai deux certitudes :
- si deux fonctions s'annulent au même endroit, leur somme s'annule encore à cet endroit
- le produit d'une fonction quelconque par une fonction qui s'annule quelque part s'annule quelque part
donc à peu de choses près j'ai tout pour former un idéal en bidouillant avec ça.

Si je prends deux (classes de) fonctions, disons $f$ qui s'annule dans une partie $A$ incluse dans un voisinage $V$ de $x$ et $g$ qui s'annule dans une partie $B$ incluse dans un voisinage $W$ de $x$, il n'y a aucune raison que $A$ et $B$ ne soient pas disjoints et donc la somme ne s'annule nulle part, ça casse tout mon truc, et je me retrouve sans une piste.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Homo Topi.
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Je vais peut-être le dire d'une autre manière: qui est l'élément nul de $\mathcal{C}^\infty_x$? C'est-à-dire, quels sont les couples $(s,U)$, $s: U \to \mathbb{R}$, qui sont envoyés sur le nul de $\mathcal{C}^\infty_x$?

Par construction, $\mathcal{C}^\infty_x$, c'est le quotient de tous les $(s,U)$, par la relations $(s,U) \sim (s',U')$ ssi il existe un voisinage ouvert de $x$ $W \subset U' \cap U$ tel que $s_{|W} = s'_{|W}$, où $s: U \to \mathbb{R}$, $s': U' \to \mathbb{R}$, $s$ et $s'$ sont $\mathcal{C}^\infty$ et $U, U'$ sont des voisinages de $x$. Et $\phi_U$ associe à une fonction $s: U \to \mathbb{R}$ la classe dans ce quotient du couple $(s,U)$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Chat-maths.
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Ben, le nul, c'est la classe de la fonction nulle, normalement. Donc les fonctions qui s'annulent sur un voisinage de $x$ ? Dans ce cas, OK ma première idée ne marche pas, mais ça ne me dit pas comment m'en sortir...

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Comme tu l'as très justement remarqué, si un truc s'annule à un endroit, alors les sommes s'annulent encore à cet endroit.

Je reprends tes notations: f s'annule sur une partie $A$ d'un voisinage $V$ de $x$ et $g$ sur une partie $B$ d'un voisinage $W$ de $x$.

Quel condition peux-tu imposer sur $A$ et $B$ pour que d'une: $A \cap B \neq \varnothing$, et pour que cette condition ait un sens pour tout voisinage de $x$?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Chat-maths.
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
SI $A$ et $B$ contiennent $x$, ça marche. Si on demande directement les fonctions qui s'annulent en $x$, j'ai l'impression que ça forme bien un idéal.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Oui, tu peux même voir que c'est le noyau de l'application qui à un germe associe sa valeur en $x$ (s'assurer que c'est bien défini d'abord !).
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Oui, c'est ça. En plus, tu as de la chance, cet idéal a une propriété bien sympa: que vérifient les éléments qui ne sont pas dedans?

Tu as d'autres idéaux dans $\mathcal{C}^\infty_x$, par exemple, l'idéal des germes de fonctions $f$ telles que $f(x) = 0$ et $f'(x) = 0$, ça marche bien car les dérivées de $f$, qui se calculent en tant que limites, sont définies tant que $f$ est définie au voisinage de $x$.
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Les éléments qui sont dedans ne s'annulent pas en $x$ et sont continus, donc il y a un voisinage de $x$ sur lequel ils ne s'annulent pas... en conséquence, leur classe est un inversible ?

Poirot : je réfléchirai un peu à ta remarque (encore ces histoires de germe...), mais il est tard. Et demain j'aurai beaucoup trop de travail pour ça.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Ton raisonnement est correct. Sinon ( grinning smiley ) en sachant que l'idéal des germes s'annulant en $0$ est le noyau de l'évaluation en $x$, on sait que le quotient est isomorphe à un corps (je ne sais pas sur lequel tu travailles) et donc l'idéal est maximal. winking smiley
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Maxtimax qualifait l'exemple des fonctions lisses sur une variété différentielle de "prototype", donc pour l'instant je regarde ça. Je ne connais les variétés holomorphes que de nom, une variété différentielle pour moi c'est un truc localement homéomorphe à un espace euclidien, sous-entendu réel. Donc s'il y a un corps quelque part, je suppose que c'est $\mathbb{R}$.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Comment tu déduis que le quotient est un corps, par contre ? On a un noyau de morphisme d'anneaux, et après ?

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Bah on a l'image aussi grinning smiley
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
J'ai du mal à suivre.

Je note $v_x$ le morphisme d'évaluation en $x$. Son ensemble de définition, c'est $\mathcal{C}_x^{\infty}$. Et son ensemble d'arrivée, c'est $\mathbb{R}$. Non ?

$\ker{v_x} =$ (classes de) fonctions lisses sur un voisinage ouvert de $x$ qui s'annulent en $x$. C'est un idéal. Mais après ?

J'ai édité (j'avais écrit des bêtises)

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Homo Topi.
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Tu ne vois pas le rapport entre le fait que l'image de ce morphisme est un corps et que son noyau est un idéal maximal ?
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Je sais qu'il y a équivalence entre le fait que l'idéal est maximal et le fait que le quotient par l'idéal est un corps. Mais on n'a ni montré que l'idéal est maximal, ni que le quotient est un corps, sauf si j'ai loupé un chapitre.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Mais enfin, qu'est-ce qui relie l'image d'un morphisme au quotient par son noyau ?
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Ah, non, je sais, c'est bon. Je me suis juste mélangé les pinceaux. L'image de $v_x$ c'est $\mathbb{R}$ en entier.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Je n'avais pas compris que c'était ce qu'il te manquait.
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Pas grave.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Juste, attention, une variété différentielle c'est pas juste "un truc localement homéomorphe à $\mathbb R^n$" (même en mettant de côté les questions de taille). Il faut une certaine compatibilité entre les différents homéomorphismes locaux pour réussir à parler de différentiabilité.

Enfin bon ce n'est pas essentiel ici, ni pour faire nos calculs, ni pour comprendre l'exemple.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Oui, et je sais, j'avais juste la flemme de préciser.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Juste pour être sûr que j'ai bien fini par comprendre ces histoires de germes.

On a un faisceau $\mathcal{F}$ associé à un espace $X$. Ses éléments sont appelés des sections (chacune "au-dessus" d'un certain ouvert).

En chaque point $x \in X$, on définit la fibre $\mathcal{F}_x$ du faisceau $\mathcal{F}$ au point $x$ par une limite inductive.

Un germe en $x$, c'est un élément de cette fibre, donc une classe d'équivalence de sections. On dit donc que $\mathcal{F}_x$ est l'ensemble (ici l'anneau) des germes en $x$. Mais "un germe" tout court, ça ne veut pas dire grand chose, il faut dire "un germe en un point". Sinon, un germe sans point précisé, ce n'est pas clair. Pour moi en tout cas...

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Espace localement annelé
il y a cinq semaines
Bah un germe c'est un germe en un certain point; par exemple quand on dit "il suffit de regarder les germes" ou quelques choses du genre, c'est qu'on va regarder les germes en $x$, pour tout $x$, donc si, ça a du sens.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
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