Espace localement annelé

Je ne connaissais pas cette définition de réunion disjointe, je me disais bien que la définition de limite inductive était un peu bizarre...

J'essaie.

Soit donc $x \in M$. Je regarde d'abord l'approche concrète. Je considère donc les couples de type $(s,U)$ où $U$ est un voisinage ouvert de $x$ et $s : U \longrightarrow \mathbb{R}$ est une application lisse.

J'ai un peu de mal à voir ce qu'il se passe quand on quotiente ce machin-là par ce que tu as dit, mais j'ai l'impression que la seule chose qui compte c'est la valeur en $x$ exactement...

Très bonne question, puisque je n'arrive pas à comprendre ce qu'est un germe.

D'un côté, tu me dis que le germe c'est l'image d'une section $s$ dans la limite inductive.

Mais de l'autre côté, tu me dis que la limite inductive s'obtient en quotientant des couples $(s,U)$. Ce ne sont pas exactement les mêmes objets... je ne comprends honnêtement rien.

Donc le but du quotient, ici, c'est de décréter "si vous coïncidez sur un voisinage de $x$, vous êtes la même fonction" D'où le fait d'assimiler toute fonction à sa restriction sur un voisinage de $x$. Mais donc, deux fonctions qui ne sont égales que en $x$ ne finiront pas dans la même classe d'équivalence.

Ces classes d'équivalence, les germes en $x$ donc, sont des ensembles de couples section-voisinage. J'ai quand même une question ici.

Si j'ai une section $s$, et trois voisinages $W \subseteq V \subseteq U$ de $x$, alors $s$, $s |_U$, $s|_V$ et $s|_W$ coïncident sur $W$. Mais combien de germes va-t-on définir ici ? Une classe pour les fonctions qui coïncident avec $s$ sur $W$, une pour celles qui coïncident avec $s$ sur $V$ ET une pour celles qui coïncident avec $s$ sur $U$ ? Je me suis embrouillé en chemin...

Je ne sais pas si c'est censé être simple à comprendre, mais pour moi ce n'est vraiment pas clair.

Je prends un espace annelé "tout court" $(X,\mathcal{F})$ où $X$ est un espace topologique et $\mathcal{F}$ est un faisceau d'anneaux commutatifs. J'arrête de le noter $O_X$ pour le moment.

La fibre du faisceau $\mathcal{F}$ en un point $x \in X$ est "simplement" la limite inductive $\mathcal{F}_x = \displaystyle \lim_{\overrightarrow{U, x \in U}}\mathcal{F}(U)$, limite prise le long des ouverts de $X$ contenant $x$, ordonnés par l'inclusion. $\mathcal{F}_x$ est ici encore un anneau commutatif.

Maintenant, pour tout ouvert $U$ de $X$, $\mathcal{F}(U)$ est (ici) un anneau commutatif dont les éléments sont appelés des sections de $\mathcal{F}$ au-dessus de $U$.

Soit donc $s \in \mathcal{F}(U)$. On dispose d'un morphisme $\phi_U :\mathcal{F}(U) \longrightarrow \mathcal{F}_x$, et le germe d'une section $s \in \mathcal{F}(U)$ au point $x \in X$ est alors $\phi_U(s)$.
EDIT : l'information de $U$ disparaît ici, la section est une section au-dessus d'un certain ouvert mais le germe semble ne pas tenir compte de l'ouvert en question. Bizarre ?


Bon.

Maintenant, pour la partie "espace localement annelé". Je reprends Wikipédia : "en tout point, l'anneau des germes de $\mathcal{F}$ soit être un anneau local". En plus précis, ça veut dire : en tout $x \in X$, la fibre $\mathcal{F}_x$ doit être un anneau local. C'est ça que dit l'article en anglais, en tout cas, j'ai vérifié.

Je pense honnêtement que la formulation "les germes de $\mathcal{F}$", qui n'a pas exactement de sens, m'a retourné le cerveau beaucoup plus que nécessaire. Ce qu'il y a, c'est qu'on appelle $\mathcal{F}_x$ encore l'ensemble (ici, l'anneau, du coup) des germes en $x$. Pourquoi : parce que pour tout $U$, pour toute section $s$ de $\mathcal{F}$ au-dessus de $U$, on a un $\phi_U(s) \in \mathcal{F}_x$, donc un germe d'une certaine section au point $x$.

Cependant, avec ce que j'ai dit, en principe la notion de germe est superflue, je trouve. A part me compliquer la compréhension des choses, elle ne fait rien.

En attendant... $C_x^{\infty}$ c'est les classes d'équivalence d'éléments de $C^{\infty}$, modulo l'égalité sur un voisinage de $x$, si j'ai bien compris.

Donc les inversibles de $C_x^{\infty}$, puisque la loi est la multiplication, devraient être exactement les (classes de) fonctions qui ne s'annulent pas sur un voisinage de $x$.

Je pense qu'on va pouvoir former des idéaux avec des fonctions qui s'annulent sur un voisinage de $x$, d'une certaine manière : quand on multiplie n'importe quelle fonction par une fonction qui s'annule sur un voisinage de $x$, on obtient une fonction qui s'annule sur un voisinage de $x$. Le problème est plutôt du côté de l'addition, cette fois : la somme de deux fonctions qui s'annulent sur deux voisinages différents n'a aucune raison de s'annuler quelque part...

C'est vrai... je ne sais pas pourquoi j'avais en tête "la fonction s'annule quelque part dans un voisinage de $x$" au lieu de "elle est nulle sur tout le voisinage de $x$".

Il faut que j'essaie de formaliser ça... soient $f$ et $g$ deux fonctions s'annulant respectivement sur $V$ et $W$. Alors l'addition dans $C_x^{\infty}$ c'est $f \oplus g := (f+g)|_{V \cap W}$, c'est bien ça ? Non ça c'est débile.

L'addition c'est juste l'addition. L'endroit où le résultat de l'addition s'annule c'est l'intersection, mais pas besoin de le mettre dans la définition de l'opération.

Mais donc l'ensemble des fonctions qui s'annulent sur un voisinage de $x$ est bien un idéal.

Je n'en sais rien puisque je ne sais pas qui est exactement $C_x^{\infty}$, donc je n'ai pas les morphismes $\phi_U$ dont on parlait avant (limite inductive), donc je ne sais pas déterminer le germe de qui que ce soit :-S

J'ai l'impression que ton message est en contradiction avec ce qu'on m'a dit avant.

En tout cas, j'ai deux certitudes :
- si deux fonctions s'annulent au même endroit, leur somme s'annule encore à cet endroit
- le produit d'une fonction quelconque par une fonction qui s'annule quelque part s'annule quelque part
donc à peu de choses près j'ai tout pour former un idéal en bidouillant avec ça.

Si je prends deux (classes de) fonctions, disons $f$ qui s'annule dans une partie $A$ incluse dans un voisinage $V$ de $x$ et $g$ qui s'annule dans une partie $B$ incluse dans un voisinage $W$ de $x$, il n'y a aucune raison que $A$ et $B$ ne soient pas disjoints et donc la somme ne s'annule nulle part, ça casse tout mon truc, et je me retrouve sans une piste.

Ben, le nul, c'est la classe de la fonction nulle, normalement. Donc les fonctions qui s'annulent sur un voisinage de $x$ ? Dans ce cas, OK ma première idée ne marche pas, mais ça ne me dit pas comment m'en sortir...

SI $A$ et $B$ contiennent $x$, ça marche. Si on demande directement les fonctions qui s'annulent en $x$, j'ai l'impression que ça forme bien un idéal.

Comment tu déduis que le quotient est un corps, par contre ? On a un noyau de morphisme d'anneaux, et après ?

J'ai du mal à suivre.

Je note $v_x$ le morphisme d'évaluation en $x$. Son ensemble de définition, c'est $\mathcal{C}_x^{\infty}$. Et son ensemble d'arrivée, c'est $\mathbb{R}$. Non ?

$\ker{v_x} =$ (classes de) fonctions lisses sur un voisinage ouvert de $x$ qui s'annulent en $x$. C'est un idéal. Mais après ?

J'ai édité (j'avais écrit des bêtises)

Je sais qu'il y a équivalence entre le fait que l'idéal est maximal et le fait que le quotient par l'idéal est un corps. Mais on n'a ni montré que l'idéal est maximal, ni que le quotient est un corps, sauf si j'ai loupé un chapitre.

Ah, non, je sais, c'est bon. Je me suis juste mélangé les pinceaux. L'image de $v_x$ c'est $\mathbb{R}$ en entier.

Pas grave.

Oui, et je sais, j'avais juste la flemme de préciser.