Pour que je l'écrive au moins une fois : un espace annelé, c'est un espace topologique $(X, \mathcal{T})$ muni d'un faisceau d'anneaux $\mathcal{F}$, qui est, en gros, une famille d'anneaux $\big(\mathcal{F}(U)\big)_{U \in \mathcal{T}}$ munie de tous les morphismes d'anneaux qu'il faut + les conditions pour que ce soit un faisceau et pas juste un préfaisceau. Chaque $\mathcal{F}(U)$ est appelé l'objet (l'anneau, ici) des sections au-dessus de l'ouvert $U$, donc les sections sont les éléments de tous les $\mathcal{F}(U)$.
Et un espace localement annelé, c'est un espace annelé tel que pour tout $x \in X$, $\displaystyle \lim_{\overrightarrow {U, x \in U}}\mathcal{F}(U)$ soit un anneau local.
Cette question de sens des flèches serait réglée une fois pour toutes si les algébristes arrêtaient d'appeler "limite inductive" ce qui est une colimite filtrée 8-) m'enfin ce que j'en dis....
La limite inductive s'appelle "limite directe" en anglais, et la limite projective s'appelle "limite inverse" en anglais. Pour une fois que le vocabulaire anglais est plus clair que le vocabulaire français, je devrais peut-être juste réfléchir à ça en anglais.
C'est pas plus clair du tout en anglais, et la distinction entre limite et colimite n'est toujours pas apparente, alors que les deux trucs sont quand même vachement distincts (du point de vue de comment on les manipule et ce qu'on veut faire avec; bien sûr ce sont formellement des notions duales)
Réponses
Et un espace localement annelé, c'est un espace annelé tel que pour tout $x \in X$, $\displaystyle \lim_{\overrightarrow {U, x \in U}}\mathcal{F}(U)$ soit un anneau local.
C'est comprendre cet exemple que tu as lancé ce fil, non?
Mais je n'en connais pas encore, des variétés affines. Justement :-D