La limite projective des anneaux $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ munis des applications de réduction $a \mapsto a$ mod $p^m$ de $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/p^m\mathbb Z$ quand $m \mid n$. :-D
Tout va dépendre de ce que tu appelles "calculer" et de ce que tu connais (typiquement l'exemple de Poirot peut être très intéressant ou complètement inintéressant selon ;-) )
(remarque Poirot : ton truc marche bien sûr, mais tu peux demander aussi $m\leq n$)
a) Un autre exemple va dans l'autre sens : je prends le groupe $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ et je le plonge dans $\mathbb Z/p^m \mathbb Z$ en multipliant par $p^{m-n}$ dès que $m\geq n$; et là je te demande la limite inductive.
b) Sinon, prenons un corps $k$, et regardons la suite d'espaces vectoriels $k_n[X]$ (polynômes de degré $\leq n$), avec l'inclusion évidente $k_n[X]\to k_m[X]$ lorsque $n\leq m$; quelle est la limite inductive ?
c) Plus général : je prends un ensemble $I$ et une famille de groupes abéliens (ça marche plus généralement mais commençons par ça) $(A_i)_{i\in I}$. Quelle est la limite inductive de $\bigoplus_{i\in J}A_i$, où $J\subset I$ sont les sous-ensembles finis, et si $J\subset K$ sont tous deux finis je me donne l'inclusion canonique $\bigoplus_{i\in J}A_i\to \bigoplus_{i\in K}A_i$ ?
d) Quelle est la limite inductive indexée par les entiers naturels muni de la division, avec pour tout $n$, $A_n = \mathbb Z$, et le morphisme $A_n\to A_m$ lorsque $n\mid m$ est donné par la multiplication par $\frac{m}{n}$ ?
e) Soit $I\subset J$ deux ensembles ordonnés dirigés; on suppose que $I$ est cofinal dans $J$, c'est-à-dire que pour tout $j\in J$, il existe $i\in I$ tel que $j\leq i$. Soit $(A_j)_{j\in J}$ un système dirigé (de groupes abéliens, si tu préfères, mais à nouveau ça marche tout le temps). Montrer que sa limite inductive est canoniquement isomorphe à celle de $(A_i)_{i\in I}$.
Formuler l'énoncé dual pour les limites projectives (et se rendre compte que la preuve est la même)
Cet exercice est relativement important, il permet de donner autre chose qui donne le même résultat que d); ou encore il permet de montrer $\widehat{\mathbb Z} = \prod_p \mathbb Z_p$.
f) Soit $I$ un ensemble ordonné dirigé non vide, et $A_i := \mathbb Z$ pour tout $i\in I$, et lorsque $i\leq j$ je définis le morphisme $A_i\to A_j$ comme étant le morphisme nul $\mathbb{Z\to Z}$. Quelle est la limite inductive ?
g) On se fixe une clôture algébrique $\overline{\mathbb Q}$ de $\mathbb Q$. Soit $I$ l'ensemble des sous-extensions finies de $\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q$, ordonné par l'inclusion. Déterminer la limite inductive du système formé par $A_K = K, K\in I$ où si $K\subset L$, le morphisme $A_K\to A_L$ est simplement l'inclusion.
En déduire, en utilisant e), qu'on peut obtenir le même résultat en considérant uniquement les sous-extensions finies galoisiennes.
"En déduire" (c'est lié, mais ici c'est plus ou moins un calcul à part) la limite projective de $K\mapsto Gal(K/\mathbb Q)$, système inductif défini sur les sous-extensions finies galoisiennes de $\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q$.
h) On considère un système inductif dont toutes les applications de transitions sont des isomorphismes. Déterminer sa limite inductive. Même question pour les systèmes projectifs et les limites projectives.
i) Montrer que tout anneau est limite inductive d'anneaux finiment engendrés.
j) Un exemple qui te fera peut-être un peu mieux appréhender les germes (peut-être) : soit $(A_i)_{i\in I}$ une famille de groupes abéliens ($I$ ensemble infini), et pour tout sous-ensembles $J\subset K$ cofinis de $I$, on note $\varphi_{JK} : \prod_{i\in K}A_i \to \prod_{i\in J}A_i$ la projection canonique (qui oublie bêtement les coordonnées qui ne sont pas dans $J$). Si on ordonne les parties cofinies de $I$ par l'inclusion inverse, cela donne un système inductif. Donner une autre description de sa limite inductive.
k) Soit $I$ un ensemble ordonné qui a un élément maximum, et $(A_i)_{i\in I}$ un système inductif. Déterminer sa limite inductive.
Même question pour la limite projective (selon les conventions, tu risques de devoir prendre un élément minimum plutôt)
l) Soit $(A_n)_{n\in \mathbb N}$ une suite décroissante de sous-groupes de $A$. Quel est la limite projective du système dont les flèches $A_n\to A_m$ sont juste les inclusions quand $n\geq m$ ?
Exemple 0 : une limite inductive (resp. projective) dans une catégorie $\mathcal{C}$ indexée par l'ensemble vide est un objet initial (resp. un objet final) de $\mathcal{C}$.
L'exemple de Poirot mis à part, parce que je "sais" ce que c'est, le premier exemple de Maxtimax, je ne le comprends juste pas. Il est vraiment censé être très simple ?
HT : non, mon a) n'est pas idéal non plus, il est du même type que celui de Poirot. Enfin ça dépend. Pour la a) si tu ne connais pas tu pourrais essayer de décrire vaguement à quoi ça ressemble (petite "indication" : son petit nom c'est $\mathbb Z/p^\infty$), genre comment se comportent ses élements : sont-ils de torsion, pas forcément ? si $x$ est de torsion, à quoi peut ressembler son ordre ? à quoi ressemblent ses sous-groupes ? etc. etc. des petites questions comme ça.
Mais ce n'est pas le plus simple, commence par le b) plutôt.
Pour le b), je pense que la limite sera $k[X]$ avec les morphismes d'inclusion, mais je n'arrive pas à trouver qui serait le $u$ correspondant dans ce diagramme si jamais c'est la bonne réponse.
Pour ne pas s'embrouiller, utilisons les notations du diagramme de l'article Wikipédia pour les morphismes, mais notons $E_n$ les espaces $k_n[X]$, $E$ l'espace $k[X]$, et $F$ l'ev quelconque en bas du diagramme.
Il faut que $u \circ \phi_n = \psi_n$ pour tout $n$.
$\phi_n$ c'est l'inclusion de $E_n = k_n[X]$ dans $E=k[X]$, donc en gros $\phi_n(P)=P$ pour tout polynôme. Mais donc je demande que $u(P) = \psi_n(P)$ pour tout $n$ ? Il n'y a pas un problème ?
Comment ça, pour $n$ assez grand ? La PU demande ça pour tout $n$ !
Et, je ne sais pas. Par linéarité, il suffit de définir $u$ aux puissances de $X$, et les $\phi_n$ ainsi que les $f_n^m$ sont tous des inclusions. Cependant, les $\psi_n$ n'ont aucune raison d'être des inclusions, ce sont des applications linéaires quelconques et je ne comprends pas pourquoi il n'y a pas de problème.
Je n'avais pratiquement rien écrit de plus que ce que j'ai dit, car je ne comprenais pas ce qui est censé être trivial ici.
$u$ doit être une application linéaire qui vérifie : pour tout $n$, on ait $u \circ \phi_n = \psi_n$. Donc, pour tout polynôme $P$ de degré au plus $n$, il faut qu'on ait $u(\phi_n(P)) = \psi_n(P)$, en sachant que $u(\phi_n(P))=u(P)$.
Donc : pour tout $n$, $u$ doit être égal à $\psi_n$, non ? Donc là où ça pourrait poser problème, c'est s'il existe $n \leqslant m$ tels que pour un polynôme $P$ de degré $n$, on ait $\psi_n(P) \neq \psi_m(P)$. Mais comme $\psi_n = \psi_m \circ f_n^m$ où $f_n^m$ est l'inclusion, ça n'arrive pas.
C'est un peu tordu, quand même, je trouve.
Mais du coup, on va juste poser $u(X^n) = \psi_n(X^n)$ pour tout $n$ et c'est bon ?
C'est pas si tordu :-D C'est un peu la "philosophie" des limites inductives: tu prends le truc que tu penses être la limite, tu définis le truc le plus "naïvement" possible, et si tu as bien identifié la limite, les problèmes éventuels vont disparaitre grâce aux différentes commutativités du système inductif.
Dans le même genre, si tu as une suite croissante d'inclusions, vue comme un système inductif, la limite inductive sera juste la réunion croissante du système (tu peux vérifier que ce que tu as fait n'utilise nullement les structures de polynômes ou autre, juste que tu as une suite croissante d'inclusion).
Pourquoi c'est tordu ? C'est précisément ce que les commutations des différents diagrammes veulent dire !
Elles veulent dire "si tu arrives à plusieurs étages de la limite inductive, c'est pas grave, c'est cohérent, et c'est fait pour" !
Merci pour ce fil très intéressant. Je n'y connaissais strictement rien mais je pense avoir à peu près compris les exemples proposés par Max. J'ai tout de même quelques questions :
Dans le (e), tu évoques l'égalité $\widehat{\mathbb Z} = \prod_p \mathbb Z_p$. Comment est défini cet objet $\widehat{\mathbb Z}$ ?
Le (f) a-t-il vraiment un intérêt, ou c'est juste pour se faire la main ?
Aurais-tu des exemples simples de résultats qui se montrent efficacement par un passage à la limite inductive/projective dans le cadre de (d) ou (i) ?
Siméon : chat-maths a répondu pour $\widehat{\mathbb Z}$.
Le (f) c'est juste pour se faire la main et une mini-intuition mais peu d'intérêt au-delà de ça.
(d) peut être utile pour des calculs de $\hom$ ou de $\mathrm{Ext}$ ; je n'ai pas d'exemple précis juste maintenant mais je t'en retrouverai si ça t'intéresse.
Pour (i), l'exprimer en termes de limites inductives n'a pas beaucoup plus d'intérêt que de l'exprimer en termes d'union, mais le théorème en soi est pas mal pour se ramener à des anneaux/algèbres de type fini (et donc noethériens ! C'est plutôt cet aspect qui est intéressant). À nouveau si tu veux des exemples plus précis je pourrai en chercher
Ok merci, j'aurais dû deviner tout seul pour $\widehat{\mathbb Z}$ ! Effectivement j'aimerais bien des exemples plus précis mais j'ai zéro connaissance sur les catégories et l'algèbre homologique donc je risque d'avoir du mal à suivre...
Siméon : bon, bah si tu ne connais pas les $\mathrm{Ext}$, l'intérêt de ces calculs ne te sera pas forcément clair, mais au moins tu pourras voir qu'ils peuvent être faits via notre calcul.
Exemples : (celui-là est beta, mais il est drôle) $\hom(\mathbb Q, \mathbb Q) = ?$; $\hom(\mathbb{Q/Z,Q/Z})=?$ (note : le colimites commutent entre elles, donc tu peux exprimer $\mathbb{Q/Z}$ comme une colimite); $\hom(\mathbb{Q/Z,Z}/p^\infty) = ?$
Idéalement il faudrait que je retrouve des feuilles de TD de l'an dernier où il y avait quelques calculs de ce genre amusants, mais je ne m'en souviens plus...
Quant au passage des anneaux de type fini aux anneaux généraux, à nouveau je me sens idiot parce que je sais que j'ai utilisé cet argument par le passé, mais je ne retrouve plus d'exemple. La réponse à cette question en cite un dans EGA; mais je sais qu'il y en a des plus élémentaires.
J'ai un peu laissé ce fil de côté parce que les exemples ne me... passionnent pas, disons. Je regarde le c).
Je pense que la limite inductive sera $\displaystyle \bigoplus_{i \in I}A_i$, la somme directe externe sur tous les indices, avec comme morphismes les inclusions.
Reste à trouver le fameux $u$ universel, si c'est bien ça. De toute façon, à part ça (ou à la rigueur le produit cartésien $\displaystyle \prod_{i \in I}A_i$) je ne vois pas trop qui pourrait être la limite inductive...
C'est bien $\bigoplus\limits_{i \in I}A_i$. Il te reste à trouver les flèches: $\bigoplus\limits_{j \in J}A_J \to \bigoplus\limits_{i \in I}A_i$ où $J$ est une partie finie de $I$, et étant donné un cocone (c'est un gros mot pour qualifier une famille de morphismes $(f_J)_{J \in \mathcal{P}_F(I)}: \bigoplus\limits_{j \in J}A_J \to X$ qui vérifie les compatibilités), tu peux trouver une flèche $u: \bigoplus\limits_{i \in I}A_i \to X$.
Comme à chaque fois avec ces trucs, regarde les diagrammes droit dans les yeux, pour te rendre compte qu'il n'y a qu'une seule définition raisonnable de $u$, pose la, et constate que ça marche :-D
C'est vrai que les exemples peuvent paraitre peu passionnants. Il y a plus de truc sympas à faire si on relâche un peu la notion de limite projectives/inductives pour obtenir celles de limite et de colimite. Les constructions sont un peu différentes mais l'idée (utiliser une propriété universelle comme il faut) est la même.
Chat-maths a raison quand au niveau d'intérêt de ces trucs là : en fait les limites projectives/inductives c'est globalement (à part exemples pathologiques, ou très inusuel) assez bateau, c'est pour ça que les exemples sont peu intéressants : on les utilises facilement, "à l'arrache" notamment parce que c'est presque tous le temps la seule réponse possible.
Un exemple un peu pathologique mais drôle et instructif pour les personnes intéressées : je me place dans les espaces topologiques et je regarde le cercle $S^1$, je quotiente par un intervalle du côté opposé de $1$, puis je requotiente un truc similaire, puis je requotiente encore, puis encore puis encore, et je choisis les trucs que je quotiente pour que tout point différent de $1$ arrive dans le quotient à un moment. Comme chaque quotient est homéomorphe à $S^1$, j'obtiens un système inductif $S^1\to S^1 \to ...$.
Quelle est sa limite inductive ? Quelle est son homologie, son homotopie ?
Ça permet de bien réfléchir aux hypothèses qui permettent d'affirmer qu'homologie et homotopie commutent aux colimites filtrées :-D
Tant mieux si les limites injectives/projectives c'est tout le temps pareil : je serai à l'aise avec plus rapidement.
Je m'aventure doucement dans la topologie algébrique et la géométrie algébrique, donc je ne peux pas dire grand-chose sur ta limite de $S^1$ successifs pour le moment. Je connais les mots "homotopie" et "homologie" mais pas beaucoup plus.
Réponses
(remarque Poirot : ton truc marche bien sûr, mais tu peux demander aussi $m\leq n$)
a) Un autre exemple va dans l'autre sens : je prends le groupe $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$ et je le plonge dans $\mathbb Z/p^m \mathbb Z$ en multipliant par $p^{m-n}$ dès que $m\geq n$; et là je te demande la limite inductive.
b) Sinon, prenons un corps $k$, et regardons la suite d'espaces vectoriels $k_n[X]$ (polynômes de degré $\leq n$), avec l'inclusion évidente $k_n[X]\to k_m[X]$ lorsque $n\leq m$; quelle est la limite inductive ?
c) Plus général : je prends un ensemble $I$ et une famille de groupes abéliens (ça marche plus généralement mais commençons par ça) $(A_i)_{i\in I}$. Quelle est la limite inductive de $\bigoplus_{i\in J}A_i$, où $J\subset I$ sont les sous-ensembles finis, et si $J\subset K$ sont tous deux finis je me donne l'inclusion canonique $\bigoplus_{i\in J}A_i\to \bigoplus_{i\in K}A_i$ ?
d) Quelle est la limite inductive indexée par les entiers naturels muni de la division, avec pour tout $n$, $A_n = \mathbb Z$, et le morphisme $A_n\to A_m$ lorsque $n\mid m$ est donné par la multiplication par $\frac{m}{n}$ ?
e) Soit $I\subset J$ deux ensembles ordonnés dirigés; on suppose que $I$ est cofinal dans $J$, c'est-à-dire que pour tout $j\in J$, il existe $i\in I$ tel que $j\leq i$. Soit $(A_j)_{j\in J}$ un système dirigé (de groupes abéliens, si tu préfères, mais à nouveau ça marche tout le temps). Montrer que sa limite inductive est canoniquement isomorphe à celle de $(A_i)_{i\in I}$.
Formuler l'énoncé dual pour les limites projectives (et se rendre compte que la preuve est la même)
Cet exercice est relativement important, il permet de donner autre chose qui donne le même résultat que d); ou encore il permet de montrer $\widehat{\mathbb Z} = \prod_p \mathbb Z_p$.
f) Soit $I$ un ensemble ordonné dirigé non vide, et $A_i := \mathbb Z$ pour tout $i\in I$, et lorsque $i\leq j$ je définis le morphisme $A_i\to A_j$ comme étant le morphisme nul $\mathbb{Z\to Z}$. Quelle est la limite inductive ?
g) On se fixe une clôture algébrique $\overline{\mathbb Q}$ de $\mathbb Q$. Soit $I$ l'ensemble des sous-extensions finies de $\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q$, ordonné par l'inclusion. Déterminer la limite inductive du système formé par $A_K = K, K\in I$ où si $K\subset L$, le morphisme $A_K\to A_L$ est simplement l'inclusion.
En déduire, en utilisant e), qu'on peut obtenir le même résultat en considérant uniquement les sous-extensions finies galoisiennes.
"En déduire" (c'est lié, mais ici c'est plus ou moins un calcul à part) la limite projective de $K\mapsto Gal(K/\mathbb Q)$, système inductif défini sur les sous-extensions finies galoisiennes de $\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q$.
h) On considère un système inductif dont toutes les applications de transitions sont des isomorphismes. Déterminer sa limite inductive. Même question pour les systèmes projectifs et les limites projectives.
i) Montrer que tout anneau est limite inductive d'anneaux finiment engendrés.
j) Un exemple qui te fera peut-être un peu mieux appréhender les germes (peut-être) : soit $(A_i)_{i\in I}$ une famille de groupes abéliens ($I$ ensemble infini), et pour tout sous-ensembles $J\subset K$ cofinis de $I$, on note $\varphi_{JK} : \prod_{i\in K}A_i \to \prod_{i\in J}A_i$ la projection canonique (qui oublie bêtement les coordonnées qui ne sont pas dans $J$). Si on ordonne les parties cofinies de $I$ par l'inclusion inverse, cela donne un système inductif. Donner une autre description de sa limite inductive.
k) Soit $I$ un ensemble ordonné qui a un élément maximum, et $(A_i)_{i\in I}$ un système inductif. Déterminer sa limite inductive.
Même question pour la limite projective (selon les conventions, tu risques de devoir prendre un élément minimum plutôt)
l) Soit $(A_n)_{n\in \mathbb N}$ une suite décroissante de sous-groupes de $A$. Quel est la limite projective du système dont les flèches $A_n\to A_m$ sont juste les inclusions quand $n\geq m$ ?
Exemple 0 : une limite inductive (resp. projective) dans une catégorie $\mathcal{C}$ indexée par l'ensemble vide est un objet initial (resp. un objet final) de $\mathcal{C}$.
L'exemple de Poirot mis à part, parce que je "sais" ce que c'est, le premier exemple de Maxtimax, je ne le comprends juste pas. Il est vraiment censé être très simple ?
Mais ce n'est pas le plus simple, commence par le b) plutôt.
Pour définir $u$ : il te suffit de le définir polynôme par polynôme (puis vérifier que c'est linéaire), or un polynôme il vit où ?
Pour ne pas s'embrouiller, utilisons les notations du diagramme de l'article Wikipédia pour les morphismes, mais notons $E_n$ les espaces $k_n[X]$, $E$ l'espace $k[X]$, et $F$ l'ev quelconque en bas du diagramme.
Il faut que $u \circ \phi_n = \psi_n$ pour tout $n$.
$\phi_n$ c'est l'inclusion de $E_n = k_n[X]$ dans $E=k[X]$, donc en gros $\phi_n(P)=P$ pour tout polynôme. Mais donc je demande que $u(P) = \psi_n(P)$ pour tout $n$ ? Il n'y a pas un problème ?
Et, je ne sais pas. Par linéarité, il suffit de définir $u$ aux puissances de $X$, et les $\phi_n$ ainsi que les $f_n^m$ sont tous des inclusions. Cependant, les $\psi_n$ n'ont aucune raison d'être des inclusions, ce sont des applications linéaires quelconques et je ne comprends pas pourquoi il n'y a pas de problème.
Je n'arrive pas à voir quel est "le problème" donc il faudra que tu décrives ce que tu as effectivement fait et ce qui te bloque effectivement.
$u$ doit être une application linéaire qui vérifie : pour tout $n$, on ait $u \circ \phi_n = \psi_n$. Donc, pour tout polynôme $P$ de degré au plus $n$, il faut qu'on ait $u(\phi_n(P)) = \psi_n(P)$, en sachant que $u(\phi_n(P))=u(P)$.
Donc : pour tout $n$, $u$ doit être égal à $\psi_n$, non ? Donc là où ça pourrait poser problème, c'est s'il existe $n \leqslant m$ tels que pour un polynôme $P$ de degré $n$, on ait $\psi_n(P) \neq \psi_m(P)$. Mais comme $\psi_n = \psi_m \circ f_n^m$ où $f_n^m$ est l'inclusion, ça n'arrive pas.
C'est un peu tordu, quand même, je trouve.
Mais du coup, on va juste poser $u(X^n) = \psi_n(X^n)$ pour tout $n$ et c'est bon ?
Dans le même genre, si tu as une suite croissante d'inclusions, vue comme un système inductif, la limite inductive sera juste la réunion croissante du système (tu peux vérifier que ce que tu as fait n'utilise nullement les structures de polynômes ou autre, juste que tu as une suite croissante d'inclusion).
Elles veulent dire "si tu arrives à plusieurs étages de la limite inductive, c'est pas grave, c'est cohérent, et c'est fait pour" !
Peut-être quand on est vétéran des catégories, oui, mais ce n'est pas encore mon cas !
Dans le (e), tu évoques l'égalité $\widehat{\mathbb Z} = \prod_p \mathbb Z_p$. Comment est défini cet objet $\widehat{\mathbb Z}$ ?
Le (f) a-t-il vraiment un intérêt, ou c'est juste pour se faire la main ?
Aurais-tu des exemples simples de résultats qui se montrent efficacement par un passage à la limite inductive/projective dans le cadre de (d) ou (i) ?
Le (f) c'est juste pour se faire la main et une mini-intuition mais peu d'intérêt au-delà de ça.
(d) peut être utile pour des calculs de $\hom$ ou de $\mathrm{Ext}$ ; je n'ai pas d'exemple précis juste maintenant mais je t'en retrouverai si ça t'intéresse.
Pour (i), l'exprimer en termes de limites inductives n'a pas beaucoup plus d'intérêt que de l'exprimer en termes d'union, mais le théorème en soi est pas mal pour se ramener à des anneaux/algèbres de type fini (et donc noethériens ! C'est plutôt cet aspect qui est intéressant). À nouveau si tu veux des exemples plus précis je pourrai en chercher
Exemples : (celui-là est beta, mais il est drôle) $\hom(\mathbb Q, \mathbb Q) = ?$; $\hom(\mathbb{Q/Z,Q/Z})=?$ (note : le colimites commutent entre elles, donc tu peux exprimer $\mathbb{Q/Z}$ comme une colimite); $\hom(\mathbb{Q/Z,Z}/p^\infty) = ?$
Idéalement il faudrait que je retrouve des feuilles de TD de l'an dernier où il y avait quelques calculs de ce genre amusants, mais je ne m'en souviens plus...
Quant au passage des anneaux de type fini aux anneaux généraux, à nouveau je me sens idiot parce que je sais que j'ai utilisé cet argument par le passé, mais je ne retrouve plus d'exemple. La réponse à cette question en cite un dans EGA; mais je sais qu'il y en a des plus élémentaires.
Je pense que la limite inductive sera $\displaystyle \bigoplus_{i \in I}A_i$, la somme directe externe sur tous les indices, avec comme morphismes les inclusions.
Reste à trouver le fameux $u$ universel, si c'est bien ça. De toute façon, à part ça (ou à la rigueur le produit cartésien $\displaystyle \prod_{i \in I}A_i$) je ne vois pas trop qui pourrait être la limite inductive...
Comme à chaque fois avec ces trucs, regarde les diagrammes droit dans les yeux, pour te rendre compte qu'il n'y a qu'une seule définition raisonnable de $u$, pose la, et constate que ça marche :-D
C'est vrai que les exemples peuvent paraitre peu passionnants. Il y a plus de truc sympas à faire si on relâche un peu la notion de limite projectives/inductives pour obtenir celles de limite et de colimite. Les constructions sont un peu différentes mais l'idée (utiliser une propriété universelle comme il faut) est la même.
Un exemple un peu pathologique mais drôle et instructif pour les personnes intéressées : je me place dans les espaces topologiques et je regarde le cercle $S^1$, je quotiente par un intervalle du côté opposé de $1$, puis je requotiente un truc similaire, puis je requotiente encore, puis encore puis encore, et je choisis les trucs que je quotiente pour que tout point différent de $1$ arrive dans le quotient à un moment. Comme chaque quotient est homéomorphe à $S^1$, j'obtiens un système inductif $S^1\to S^1 \to ...$.
Quelle est sa limite inductive ? Quelle est son homologie, son homotopie ?
Ça permet de bien réfléchir aux hypothèses qui permettent d'affirmer qu'homologie et homotopie commutent aux colimites filtrées :-D
Je m'aventure doucement dans la topologie algébrique et la géométrie algébrique, donc je ne peux pas dire grand-chose sur ta limite de $S^1$ successifs pour le moment. Je connais les mots "homotopie" et "homologie" mais pas beaucoup plus.