Géométries algébrique et différentielle

Ignatus : un fibré vectoriel c'est un peu différent d'un faisceau puisque les fibres ont une topologie (celle de $\mathbb R^n$). Mais si tu voulais faire le lien il faudrait voir la construction de l'espace etale associé à un faisceau (et inversement, le faisceau des sections d'un espace étale).

Disons que tu changes ta définition de fibré vectoriel un instant pour avoir une topologie discrète sur les fibres (en particulier la projection est un homéo local) Alors tu peux définir, à partir d'un fibré$F\to M$, un faisceau $\mathcal F$ dont les sections en $U$ sont les sections $M\to F$ de ton fibré. Et alors tu peux vérifier que $\mathcal F_x$ au sens défini plus haut est (canoniquement, naturellement) isomorphe à $F_x$ (la fibre dont tu as l'habitude)
Ça ne doit pas être vrai avec les fibrés tels que tu les connais justement puisque la topologie des fibres rajoute beaucoup beaucoup de sections qui ne sont pas "localement constantes"

La réponse, du coup, est oui, c'est ce que j'entendais par "les deux sont équivalents" (enfin pour ta deuxième question - pour la première, à savoir "comment faire correspondre les constructions dans un formalisme à des constructions dans l'autre", je ne sais pas trop)

Dans un sens je t'ai expliqué comment construire un espace localement annelé à partir d'une variété différentielle : prendre $L(M):=(M,C^\infty_M)$. Je vais aller un peu plus loin et le construire "fonctoriellement" : à chaque application $C^\infty$ $f:M\to N$ je vais associer un morphisme d'espaces localement annelés $L(f) : L(M)\to L(N)$.

C'est relativement simple à faire : sur les espaces, $L(f)$ n'est que $f$, et sur les faisceaux, on définit, pour $U\subset N$ ouvert, $L(f)^* : C^\infty_N(U)\to C^\infty_M(f^{-1}(U))$ par $s\mapsto s\circ f$. Il est clair que cela fournit un morphisme d'anneaux, reste à voir que sur les fibres c'est un morphisme local, i.e. $L(f)_{f(x)}: C^\infty_{N,f(x)}\to C^\infty_{M,x}$ préserve l'idéal maximal. Or l'idéal maximal est l'idéal des germes de sections qui s'annule en $f(x)$, de sorte que si $s_{f(x)}$ est un tel germe, $L(f)_{f(x)}(s_{f(x)}) = L(f)(s)_x = (s\circ f)_x$ est dans l'idéal des germes de sections qui s'annule en $x$, de sorte que notre morphisme est bien local.

Il est ensuite immédiat de vérifier que $L(f\circ g) = L(f)\circ L(g)$ et $L(id_M) = id_{L(M)}$, donc en particulier notre construction $L$ préserve les isomorphismes.

Je vais maintenant aller dans l'autre sens. Je pars d'un espace localement annelé $(X,O_X)$ qui est localement isomorphe à un ouvert euclidien (+ des conditions topologiques sur $X$ qui nous arrangent et correspondent à celles qu'on demanderait d'une variété, je ne vais pas détailler puisque ça dépend des conventions et ne change rien au schmil-blick) (j'appellerai ça un espace localement annelé localement euclidien).

Je vais définir un atlas sur $X$ : on recouvre $X$ par des ouverts $(U_i)_{i\in I}$ munis d'isomorphismes $\varphi_i : (U_i, O_{X\mid U_i}) \to (V_i, C^\infty_{V_i})$ où $V_i$ est un ouvert euclidien.

Je prétends que les $(U_i, \varphi_i)$ forment un atlas de $X$. Déjà par hypothèse les $U_i$ recouvrent $X$ et les $\varphi_i$ sont des isomorphismes d'espaces localement annelés donc en particulier des homéomorphismes.

Il me reste donc à étudier les applications de transitions $\varphi_i\circ \varphi_j^{-1}$ là où ça a un sens. Sauf que maintenant je regarde un isomorphisme d'espaces localement annelés d'un ouvert euclidien vers un autre ! Il me suffit donc de prouver le lemme suivant :

Lemme : Soit $U,V$ deux ouverts euclidiens et $\varphi : (U,C^\infty_U) \to (V,C^\infty_V)$ un morphisme d'espaces localement annelés. Alors $\varphi$ est $C^\infty$ en tant qu'application $U\to V$ (et le morphisme de faisceaux $\varphi^* : C^\infty_V\to \varphi_*C^\infty_U$ n'est autre que $s\mapsto s\circ \varphi$)

Admettons pour le moment ce lemme (qui est l'intuition générale pour les espaces localement annelés, en tout celle que je me fais, même pour la géométrie algébrique)
Il implique automatiquement que les applications de transition sont $C^\infty$ (on n'a pas besoin de la parenthèse pour ça), donc que j'ai bien un atlas de $X$, j'obtiens donc une variété que je vais noter $V(X,\mathcal O_X)$.

Faisons aussi de $V$ une construction "fonctorielle" : si j'ai un morphisme d'espaces localement annelés localement euclidiens $f:(X,O_X)\to (Y,O_Y)$, j'ai en particulier une application continue $f:X\to Y$ et je veux montrer qu'elle est en réalité continue, et j'appellerai alors $V(f) = f$ (il sera clair que $V(f\circ g) = V(f)\circ V(g)$ et que $V(id_{(X,O_X)}) = id_{V(X,O_X)}$)

Bon bah pour vérifier la $C^\infty$-tude d'une application continue, il suffit de le tester sur des cartes. On recouvre donc $Y$ par les $V_i$ euclidiens, puis on recouvre $f^{-1}(V_i)$ par des $U_{ij}$ euclidiens. Mais alors les $U_{ij}$ recouvrent $X$ et en fait la restriction $f:(U_{ij},O_{X\mid U_{ij}})\to (V_i, O_{Y\mid V_i})$ est un morphisme d'espaces localement annelés, donc par le lemme c'est une application $C^\infty$. Comme cette notion est locale, ça me suffit : $V(f) : V(X,O_X)\to V(Y,O_Y)$ est bien $C^\infty$.

(à noter que cette preuve montre en particulier que $V(X,O_X)$ ne dépend pas du choix du recouvrement euclidien de $X$ ! Donc en fait si comme recouvrement je prends "tous les ouverts euclidiens", j'obtiens un atlas maximal)

Pour vérifier que j'ai bien construit une équivalence entre les deux trucs il me reste à démontrer que $V(L(M)) \cong M$ et que $L(V(X,O_X)) \cong X$.

Le premier sera relativement simple : je pars d'une variété $M$, je lui colle son faisceau $C^\infty_M$ et je prends comme atlas "les ouverts euclidiens" de $M$. Bon bah chaque ouvert de $M$ qui est euclidien en tant que variété est a fortiori euclidien en tant qu'espace localement annelé, donc si j'étais parti d'un atlas maximal sur $M$ comme recouvrement, j'obtiens que l'atlas sur $V(L(M))$ contient ce dernier atlas et lui est donc égal. Donc $V(L(M)) = M$; et il est clair que cette identification est "naturelle" : elle respecte les applications $C^\infty$.

Bon, pour le deuxième. Je pars de mon espace $X$, je lui trouve un atlas, et je prends le faisceau $C^\infty$ sur la variété obtenue.

Si je prends un ouvert $U$ de $X$, je le recouvre par des $U_i$ euclidiens et alors $O_X(U)$ c'est les familles de gens de $O_X(U_i)$ qui sont compatibles. Maintenant, $(U_i,O_{X\mid U_i}) \cong (V,C^\infty_V)$ pour un certain ouvert euclidien $V$, de sorte que

i) $V(U_i, O{X\mid U_i}) \cong V(V,C^\infty_V) \cong V$. Pour la suite j'admets un truc mais qui ne doit pas être compliqué, qui est que la structure $C^\infty$ qu'on obtient sur $U_i$ est celle héritée de celle sur $X$ (en fait c'est même très facile vu que j'ai expliqué plus tôt l'invariance par choix de recouvrement euclidien).

ii) $O_X(U_i )\cong C^\infty(V,\mathbb R)$ donc on peut interpréter les sections sur $U_i$ comme des fonctions $C^\infty$.

Du coup, si je prends une section $s\in O_X(U)$, je regarde ses restrictions $s_i \in O_X(U_i)$, je les vois comme des fonctions $C^\infty$ $\tilde s_i: U_i\to \mathbb R$, je repère que parce que les $s_i$ sont compatibles, celles-ci le sont aussi (il y a un point de détail à écrire ici mais je te le laisse), donc elles s'assemblent en une grosse fonction $C^\infty$ $\tilde s : U\to \mathbb R$ de manière unique.

L'unicité et toussa toussa montrent qu'en fait très clairement $s\mapsto \tilde s$ est un morphisme de faisceaux au-dessus de $X$ : on a un morphisme $O_X\to C^\infty_{V(X,O_X)}$. Reste à voir que c'est un iso (il en découlera que c'est un iso d'espaces localement annelés)

Il suffit de montrer que sur chaque ouvert $U$, $O_X(U)\to C^\infty_{V(X,O_X)}(U)$ est un isomorphisme. Bon bah déjà si $\tilde s$ vaut $0$ alors chaque restriction $\tilde s_i$ vaut $0$, donc par l'isomorphisme qu'on a sur les ouverts euclidiens, chaque $s_i$ vaut $0$, et donc $s=0$. Donc c'est injectif.
Maintenant je prends une fonction $C^\infty$ $f: U\to \mathbb R$. Quand je la restreins à $U_i$, ça me donne $f_i : U_i\to \mathbb R$ qui, par l'isomorphisme plus haut, s'écrit $\tilde s_i$ pour une unique $s_i \in O_X(U_i)$, et alors les $s_i$ sont compatibles (je ne le prouve pas, mais c'est facile) et se recollent donc en un $s\in O_X(U)$ qui, par définition, a pour image $f$.

Donc on a notre iso.

Il est facile de voir que lui aussi respecte les morphismes d'espaces localement annelés.

On a donc prouvé l'équivalence des deux formalismes, modulo notre lemme. Je vais maintenant le prouver.

Soit donc $f: (U,C^\infty_U)\to (V,C^\infty_V)$ un morphisme d'espaces localement annelés entre ouverts euclidiens. Déjà, $f:U\to V$ est une application continue par définition. Ensuite, si $W\subset V$ est ouvert, il nous faut étudier un peu $f^*: C^\infty_V(W)\to C^\infty_U(f^{-1}(W))$

Passons aux germes en $x$ pour un $x\in f^{-1}(W)$ : on obtient un morphisme $f^*_x : C^\infty_{V,f(x)} \to C^\infty_{U,x}$ qui est un morphisme local, et donc il passe au quotient : $\mathbb R\to \mathbb R$. Sauf que la composition $C^\infty_V(W)\to \mathbb R$ (resp. $C^\infty_U(f^{-1}(W))\to \mathbb R$) induite n'est autre que l'évalutation en $f(x)$ (resp. en $x$).

Donc comme le carré suivant commute : $\xymatrix{C^\infty_V(W) \ar[r]^{f^*} \ar[d]^{ev_{f(x)}} & C^\infty_U(f^{-1}(W)) \ar[d]^{ev_x} \\
\mathbb R\ar[r] & \mathbb R}$

on en déduit la magnifique formule suivante (qui, à nouveau, est à la base de toute l'intuition qu'on se fait des espaces localement annelés, même en géométrie algébrique) : pour tout $x\in f^{-1}(W)$, $(f^*s)(x) = s(f(x))$.

Donc le $f^*$ (qui à la base n'est rien suppose être d'autre qu'un morphisme de faisceaux) est véritablement le tiré en arrière par $f$ : $f^* s = s\circ f$.

Bon maintenant il s'agit de comprendre que si $f:U\to V$ est continue et que pour toute $s: V\to \mathbb R$ $C^\infty$, $s\circ f$ est aussi $C^\infty$ (c'est le cas ici, car $s\circ f= f^*s \in C^\infty_U(f^{-1}(V))$), alors $f$ est $C^\infty$. C'est pas compliqué, puisque par définition $V\subset \mathbb R^n$, on a $\pi_i : V\to \mathbb R$ (les $n$-projections) et alors $\pi_i\circ f$ sont toutes $C^\infty$, donc $U\to \mathbb R^n$ dont la $i$-ème coordonnée est $\pi_i\circ f$ est aussi $C^\infty$, sauf que ce n'est autre que $f$.

Donc $U\to V$ est $C^\infty$, c'est ce qu'on voulait prouver.

Quelques remarques :
tout ce que j'ai fait ici s'adapte mutatis mutandis aux variétés $C^r, r\geq 1$, analytiques, complexes; et s'adapte en plus facile aux variétés topologiques (le lemme devient plus simple).

Cette preuve montre que les points de vue "variété différentielle" et "espace localement annelé localement euclidien" sont interchangeables, sans changer l'espace sous-jacent d'ailleurs. Il ne montre pas cependant comment traduire immédiatement une notion de l'un en l'autre facilement (par exemple que devient un faisceau en $C^\infty_M$-modules dans le monde des variétés différentielles ? Que devient le fibré tangent dans le monde des espaces localement annelés ? Je ne doute pas qu'il y ait des interprétations, juste elles ne sont pas données automatiquement de manière optimale par la traduction que j'ai proposée) - donc il peut être intéressant de garder les deux à l'esprit, ça donne toujours plus de points de vue.

Je réponds dans l'ordre :


1) Oui effectivement tu peux faire légèrement plus général que ce que j'ai fait. En fait dès qu'on a un site avec une notion en plus (de "submersion" ou de "homéomorphisme local" selon les interprétations) et quelques propriétés supplémentaires sur ledit site, on peut définir une notion de variété associée, et on peut récupérer les schémas par exemple avec le site de Zariski, et les variétés différentielles avec le site des ouverts euclidiens. C'est ce que Bertrand Toen explique dans son cours sur les champs algébriques, au début (il s'agit des cours 1,2,3,4 du "A master course on algebraic stacks", disponibles ici)

2) Attention, pour associer à un espace localement annelé une variété différentielle, je suppose que cet espace localement annelé est localement euclidien; ce qui est (très très) loin d'être le cas d'un schéma. Donc non, ma construction ne permet pas ça du tout (même pour passer de schémas sur $\mathbb C$ à des variétés complexes il y a des difficultés...)

3) Ta question 4) répond à ta question 3) : a priori ma traduction ne rend pas clairement compte, par exemple, de ce qu'est le fibré tangent dans le cadre des espaces localement annelés. Il y a peut-être une belle manière de le faire (a priori considérer quelque chose comme $(m_x/m_x^2)^*$ devrait donner l'espace tangent en un point, mais sans sa topologie d'espace vectoriel réel de dimension finie; et on ne récupère pas le fibré tangent, juste les espaces tangents), mais je ne la connais pas; et le plus important c'est qu'elle n'est pas automatique avec la traduction que j'ai proposée.
Si tu veux un autre exemple où la traduction est exacte mais ne donne pas de traduction optimale d'autres concepts, c'est le passage schéma $\leftrightarrow$ foncteur des points. On sait précisément associer l'un à l'autre, pour autant décrire les faisceaux en $O_X$-modules à partir du foncteur des points ne semble pas évident.

Si tu veux un exemple où la traduction est facile, même avec les concepts associés : le passage d'un anneau à son spectre (en tant que schéma). Les modules sur le premier correspondent aux modules quasi-cohérents sur le second, les idéaux du premier aux sous-schéma fermés du second, etc.
Ou encore passer de $K[X]$-modules à des $K$-espaces vectoriels muni d'un endomorphisme, ici tout se traduit bien (le noyau de l'endomorphisme se traduit par le sous-module de $X$-torsion par exemple, etc. on peut traduire très facilement les concepts de l'un en concepts de l'autre)

4) Pour espaces tangents, a priori $(m_x/m_x^2)^*$ devrait faire l'affaire pour $T_xM$ (où $m_x$ est l'idéal maximal de la fibre en $x$), mais comme je l'ai dit plus haut je ne sais pas trop ce qu'il en est pour le fibré tangent tout entier; et les connexions aucune idée non plus (il y a la manière bourrine -c'est pour ça que je parler d'optimalité - qui consiste à dire "bah c'est simple, je regarde la variété associée et je regarde le concept correspondant sur cette variété"; techniquement c'est correct mais on apprend pas grand chose)

5) J'avoue que je ne sais pas trop. Toute variété n'est-elle pas difféomorphe à une variété algébrique ? Je crois que c'est le cas au moins pour les variétés compactes, mais je ne sais pas sinon. "variété algébrique" va être une condition globale, donc il faudrait chercher du côté des propriétés globales des espaces localement annelés mais vraiment je ne sais pas.

flipflop : Beh je vois pas trop le rapport avec le fil mais je peux te répondre : je ne la comprends pas en détails parce que je n'ai pas fait énormément de géométrie algébrique, mais j'ai une vague idée de ce qu'elle veut dire. Je sais ce qu'est un topos annelé et donc je vois le lien avec la géométrie algébrique "relative" (qui est maintenant juste de la géométrie algébrique :-D) et le fait d'élargir le champ des possibles (une base qui est un schéma vs une base qui est un topos (localement) annelé) mais je ne suis pas sûr de ce que les gens en font en pratique (ni si c'est beaucoup fait)

Attention, je ne dis pas que les constructions sont impossibles, juste que leur traduction d'un point de vue à l'autre n'est pas immédiate.

Gaussien : merci pour ce point de vue sur le faisceau (co)tangent (et pour le compliment :-D ); quand tu dis à la fin que tu supputes qu'on retombe sur nos pieds pour une variété différentielle, ce qui me chagrine un peu c'est que le fibré (co)tangent est un fibré justement, pas un faisceau, et donc même si fibre à fibre on a la bonne chose, j'ai l'impression (mais je me trompe peut-être, j'avoue que je n'y connais pas grand chose) que ce qu'on obtient n'est pas le bon objet (je me répète, mais.il manque la topologie sur les fibres).

Peut-être qu'on me corrigera ?

Ah !! C'était donc ça ! En fait on récupère la topologie parce que pas le choix, c'est ça ? En fait l'équivalence, contrairement à ce que je souhaitais trouver, ne préserve en rien l'espace total.

Je vais réfléchir à l'équivalence fibré $\iff$ localement libre (j'imagine de rang fini)

Ok alors réfléchissons à cette équivalence.

Il y a un sens qui est évident : si j'ai un fibré $F\to X$, j'obtiens un $O_X$-module localement libre en regardant bêtement les sections (c'est localement libre parce que localement $F$ ressemble à $U\times \mathbb R^n$, et alors les sections ressemblent localement à $C^\infty(U,\mathbb R)^n = O_X(U)^n$)

Ce truc-là est clairement fonctoriel, puisque les sections le sont.

Il me faudrait un inverse : je pars d'un $O_X$-module localement libre $\mathcal F$ et j'aimerais construire un fibré.

Si j'ai une trivialisation locale $\mathcal F_{\mid U} \cong O_{X\mid U}^n$ disons, alors sur cet ouvert je décrète que mon fibré c'est $U\times \mathbb R^n$.

Je peux recoller les $F_{\mid U}$ ? Bon, pour se faire les trucs proprement, supposons que j'ai un recouvrement $(U_i)$ de $X$ avec une trivialisation $g_i : \mathcal F_{\mid U_i} \cong O_{X\mid U_i}^n$ (bon j'abuse un peu parce que je suppose que le rang est constant, mais tant que $X$ est connexe ça devrait aller)

Du coup sur $U_i\cap U_j$ j'ai un iso $O_{X\mid U_i\cap U_j}^n \cong O_{X\mid U_j\cap U_i}^n$ donné par la restriction de $g_j\circ g_i^{-1}$. Cet isomorphisme s'écrit comme une matrice $(s^{i,j}_{k,l})_{1\leq k,l\leq n}$ où $s^{i,j}_{k,l} : U_i\cap U_j \to \mathbb R$; donc en fait j'ai $s^{i,j} : U_i\cap U_j \to GL_n(\mathbb R)$ ($GL_n$ parce que ma matrice des sections a un inverse, qui est un inverse point par point)

Ces machins-là satisfont la condition de cocycle parce qu'elles viennent de $g_j\circ g_i^{-1}$ --> j'obtiens un fibré vectoriel $F$.

Idéalement on montre que ce fibré ne dépend pas du recouvrement (par exemple en montrant que si je prends un recouvrement plus fin j'obtiens le même fibré). Donc si j'ai un morphisme $\mathcal{F\to G}$, je peux prendre un recouvrement qui convient pour les deux, et localement mon morphisme s'écrit comme $O_{X\mid U}^n\to O_{X\mid U}^m$, donc comme une matrice de sections, donc ça passe à $U\times \mathbb R^n\to U\times \mathbb R^m$ et donc ça se recolle en un morphisme $F\to G$. Si on fait tout bien, on vérifie que ça donne un foncteur.

Reste à voir que les deux sont inverses l'un de l'autre, ça devrait pas être compliqué (on doit pouvoir construire un morphisme dans un sens, et ce sera un iso localement pour des raisons évidentes, donc un iso global).

J'ai bon ?

Si oui, ça me satisfait quand même pas parce que la première construction est très naturelle et relativement belle, alors que la deuxième est un peu ad hoc (notamment le fait que j'utilise la propriété d'être localement libre pour construire mon fibré), et pas très belle (j'aime pas les cocyles :-( ) - il y a une meilleure manière de faire ? Genre associer un fibré de manière naturelle à tout $O_X$-module, mais ce fibré n'est "le bon" que quand le faisceau est localement libre ?

J'espère/j'imagine que oui.

Est-ce que la chose suivante marche ?

Je prends mon faisceau de $O_X$-modules $\mathcal F$, je pose $F = \coprod_{x\in X} \mathcal F_x/m_x\mathcal F_x$ (en tant qu'ensemble, avec la projection évidente sur $X$). Il faut alors le topologiser de la bonne manière.

Une topologie qui serait raisonnable vérifierait deux trucs : $Et(\mathcal F)\to F$ est continue et $F_x$ a l'unique topologie séparée d'espace vectoriel de dimension finie (bon il faudrait supposer ça dans mon $\mathcal F$, mais ça me semble déjà moins restrictif, enfin quelque chose comme de type fini devrait suffire). Je vois pas trop comment en définir une proprement :-S

Gaussien : mhm mais les fibres restent discrètes si je fais ça, non ? Ou bien je me représente mal la chose mais je vois mal comment la topo peut apparaître sur les fibres.
Faudra que je l'écrive proprement (pas une bonne idée de le faire de tête sans le poser :-D )

Maxtimax: Oui. D'une part, la définition de la topologie pour l'espace étale $E\rightarrow X$ assure que si $x\in S$ et $s\in\mathcal{F}_x$, alors $U_s=\left\lbrace s\right\rbrace\cup\bigcup_{y\neq x}\mathcal{F}_y$ est un ouvert de $E$ (là j'utilise que les points de $X$ sont fermés, car $X$ est une variété différentielle).

D'autre part, en munissant $F$ de la topologie finale pour $g:E\rightarrow F$ et en notant $q:F\rightarrow X$ la projection, on a pour $(x,\left[ s\right])\in F$ que $V=\left\lbrace \left[s\right]\right\rbrace\cup\bigcup_{y\neq x}\mathcal{F}_y/\mathfrak{m}_y\mathcal{F}_y$ est un ouvert de $F$, car $g^{-1}(V)=\bigcup_{t\in\left[s\right]} U_t$ est ouvert dans $E$. Or $\left\lbrace \left[s\right]\right\rbrace=V\cap q^{-1}(x)$ donc $\left[s\right]$ est isolé dans $q^{-1}(x)$.