Espace algébrique

Chat-maths : J'étais entrain de faire le jacobien justement :

sage: matrix(4,4,[ f.derivative(v) for v in var_deri for f in I.gens()])
[   -2*xp + tp            -1             0             0]
[-2*tp*ap + xp             0             0            -1]
[        -tp^2             0             0             0]
[            0             0             1             0]
sage:
sage: matrix(4,4,[ f.derivative(v) for v in var_deri for f in I.gens()]).det()
tp^2

Je n'ai pas la même matrice. Je pense que tu as dérivé par rapport à $t$ dans la seconde colonne ! Mais j'ai le même déterminant donc y'a un truc !

Ok, c'est dommage je pensais que ton idée allait bien fonctionner ! Pour le corps, on prend $\Q$ à la base au pire !

Pas de soucis sur le temps, faut juste y réfléchir histoire de voir ce qui se cache derrière cette notion d'espace algébrique ! (si tu as d'autres exemples pas trop complexes n'hésite pas) !

@Max : Est-ce que tu peux expliquer l'histoire de "recouvrement lisse" ?

Hum je suis vraiment pas super à l'aise avec la topologie !

Ce que je vois c'est que pour un idéal $I$ nilpotent de $R$, il y a une correspondance bijective entre les idéaux premiers de $\text{Spec}(R)$ contenant $I$ (mais comme $I$ est nilpotent, on enlève cette condition puisqu'il les idéaux premiers contiennent $I$) et $\text{Spec}(R/I)$.. Donc niveau point c'est pareil i.e on a une bijection ensembliste $ \pi^\star :\text{Spec}(R/I) \to \text{Spec}(R)$ qui est continue. Faut voir qu'elle est ouvert ! Soit $\overline{f} \in R/I$ et $f$ un relèvement à $R$. Il faut voir que l'ensemble $\{ \mathfrak{q} \in \text{Spec}(R/I) \mid \overline{f} \notin \mathfrak{q} \} \to \{ \mathfrak{p} \in \text{Spec}(R) \mid f \notin \mathfrak{p} \}$ est une bijection. Donc il suffit de voir que si je prend $\mathfrak{p}$ à droite je peux l'écrire comme $\pi^{-1}(\mathfrak{q})$ et on a : $\overline{f} \notin \mathfrak{q}$ si et seulement si $\pi(\overline{f}) \not \in \mathfrak{q}$.

Sinon je pense avoir trouver un exemple simple d'espace algébrique :

On part de $X = \text{Spec}(\Z[1/2])$ et on prend $\mathscr{G} := \left[ R \mapsto \{ x \in R \mid x^2+1 =0 \} \right]$ C'est le foncteur de Gauss :-D donc $\mathscr{G}$ est étale sur $X$. Et là je prends $\mathscr{G}_3 := R \mapsto \mathscr{G}(R/3R)$ et j'ai un morphisme $\mathscr{G} \to \mathscr{G}_3$ de réduction modulo $3$.

Du coup, l'espace algébrique (disons le candidat) c'est $\mathscr{G}_3$, le morphisme surjectif (arf je pense que ça ne vas pas !!!) étale c'est $\mathscr{G} \to \mathscr{G}_3$. Je pense qu'il n'y a pas de soucis pour montrer que $\mathscr{G}_3$ est un faisceau (en sachant que $\mathscr{G}$ est un faisceau) … par contre, faut regarder la condition avec la diagonale !

J'ai vu ça vite fait dans le livre de Donald Kuntson "Algebraic space" page 13 … ce nest pas tout a fait expliqué de la même manière et j'ai juste lu rapidement et faut que je regarde un peu mieux si c'est vraiment bon !

En gros, tu prends le revêtement étale de $\Z[1/2]$ donné par l'équation $x^2+1 = 0$ et tu écrases toutes les fibres sauf celle au dessus de l'idéal premier $(3)$ ça donne un truc qui ressemble à $\Z[1/2]$ sauf en $3$ où tu as un corps $\mathbb{F}_9$ !

Coucou Claude,

Merci pour le décryptage, ca va aider grandement a comprendre, ça va me demander un peu de temps mais je pense comprendre et pouvoir faire tous les liens faut bidouiller dans tous les sens avec la droite double :-D C'est assez amusant ces histoires ! Je veux dire l'objet qui apparaît dans cette construction c'est (je n'ai pas de nom) $\Delta : R \mapsto \{ (x,t) \in R \times R/xR \}$. C'est un peu tordu mais pas trop !

Merci

Hello,

Chat-maths : Claude est un magicien :-D

Oui, oui fait tes trucs importants si je peux me permettre (je veux dire ton boulot), de toute manière y'a le temps ! J'essayes de comprendre la formule $x(x-t) = 0$, hum petit calcul :
$$
\frac{x(t-x)}{t^2} = \frac{x}{t} \times \left( 1 - \frac{x}{t} \right)
$$
Ca fait une sorte de lien entre à gauche $x(t-x)$ et à droite $e(1-e) = 0$ et on voit un $t^2$ … je continu de bidouiller (ma grande passion bidouiller :-D),

Ps / ok je me disais bien que la fin de mon truc était vide ! merci !

Claude,

Pour l'espace affine de dimension $n$ avec deux origines : je suppose que c'est $R \mapsto \{(\underline{x},e_1,e_2) \in R^n \times R / \langle \underline{x} \rangle \mid e_1+e_2 = 1 \quad e_1 e_2 = 0 \}$.

Petite devinette, c'est qui celui-là :
$$ R \mapsto \left\{(x_1,x_2,e) \in R^2 \times \frac{R}{ \langle x_1^2+x_2^2-1 \rangle} \mid e^2=e \right\}$$

:-D

Coucou Claude,

C'est expérimentale (voir le ps à la fin pour ma petite motivation) et je ne vais pas m'enfermé dans ces choses :-D

$\bullet$ Ok pour l'espace affine avec double de l'origine.

$\bullet$ Pour la devinette : En gros, un plan avec deux "cercles trigonométrique", enfin c'est ce que j'ai voulu faire (normalement c'est un schéma obtenu comme recollement de deux plans affines le long de l'ouvert complémentaire du cercle) !

En fait, faut regarder sur un corps (un vrai corps pas $\Z$). On commence par prendre $(x_1,x_2) \in k^2$ qui n'appartient pas au cercle $X^2+Y^2 =1$ et bien ça veut dire que $x_1^2+x_2^2-1$ est inversible (non nul quoi) et donc la deuxième condition disparaît vu que $k/(x_1^2+x_2^2-1)$ est l'anneau nul, donc en dehors du cercle c'est pareil que $\mathbb{A}^2$, maintenant si $x_1^2+x_2^2-1=0$ l'anneau $k/(x_1^2+x_2^2-1) = k$ et on a deux idempotent $0$ et $1$. Donc sur un corps c'est bien un plan avec cercle trigonométrique doublé. (pas double comme $(x^2+y^2-1)^2 = 0$ mais deux cercles) !

$\bullet$ Mais c'est compliqué comme construction, c'était juste pour essayé de donner un moyen de construire des foncteurs points. (je n'ai rien vérifié). Ah un autre objet amusant :
$$R \mapsto \{ (x_1,x_2,t) \in R^2 \times R/(x_1^2+x_2^2-1) \mid t^2+1 = 0 \}$$
Donc (normalement c'est pas un schéma, peut être un espace algébrique) donc un plan avec cercle trigonométrie complexifié mais ça doit être un schéma sur $\Z[1/2,i]$ … c'est juste pour essayé de fabriquer des exemples sur le même modèle !

$\bullet$ Pour ta question de cahier des charges : pour l'instant c'est délicat ! Il y a deux définitions (qui font flipper) et dans les deux cas ils faut construire un candidat avec de voir s'il vérifie le cahier des charges. Chat-maths a essayé avec la définition $2$ de construire une relation d'équivalence, c'est compliqué le nombre de variable à exploser mais il a réussi à voir que son candidat n'était pas le bon (a priori) moi j'ai galéré trop de variable. Donc je suis parti sur la première définition et je n'ai pas compris non plus l'exemple avec l'histoire de tangente doublé. Pour l'instant rien de concret et je ne sais pas si on va pouvoir (expliquer en terme simple i.e comprendre quoi !

$\bullet$ Pour D. Madore : En fait, je pense que c'est plus simple de regarder la droite avec origine complexifié. (disons que ça sépare une partie arithmétique et une partie géométrique). Pour l'instant, j'ai décortiquer le truc dans tous les sens ! En fait, je pense que ça peut t'intéresser car ici il faut faire absolument attention au lieu de vie des équations (pour les isomorphismes) !

J'explique juste un peu le début en mode pas très formelle : potentiellement n'importe quoi mais je n'y connais rien !

En fait, il y a un lien entre les solutions de $x^2+1=0$ et les solutions de $x^2=x$. Mais pour créer un isomorphisme on a besoin de deux choses :
1/ que deux soit inversibles dans l'anneau.
2/ qu'il existe dans l'anneau un solution $\iota$ de $x^2+1=0$ (que l'on fixe une fois pour tout dans l'anneau $R$). On se fixe une fois pour tout sur la base un $i$ et on parle que de $\Z[1/2,i]$ algèbre ! (y'a une magouille entre le $i$ que l'on fixe et ensuite on regarde les solution de $x^2+1=0$ bien sûr $i$ est solution mais pas que !

Donc grosso-modo, on va regarder les choses sur une base qui est $\Z[1/2,i]$ où $i^2+1=0$. Ca revient à dire que l'on se donne pour un anneau $R$ un inverse de $2$ et une racine de $x^2+1 =0$; Une fois que tu as ça et bien tu peux définir un isomorphisme entre la droite avec double origine (monté sur $A$) et la droite compléxifié (monté sur $A$). Comment ça marche (elles sont sur la deuxième composante $R/xR$ pas sur la première) :
$$
t \mapsto t i +(1-t) (-i) = 2ti-i \qquad \qquad t \mapsto \frac{i+t}{2i}
$$
celui de gauche va des idempotents vers les racines et celui de droite va des racines de $t^2+1=0$ vers les idempotents. (sauf boulette de calcul) c'est le coup que si on connait une racines $i_0$ de $t^2+1=0$ dans un anneau $R$ et bien on obtient toutes les racines de cette équation via $ei_0+(1-e)(-i_0)$ (même si c'est pas au programme de la classe de seconde des équations du second degré).

Là faut regarder les deux applications (elles sont sur la deuxième composante $R/xR$ pas sur la première) que j'ai défini, elle ne tiennent plus du tout dans un anneau quelconque puisque pour les écrire j'ai besoin d'un racine $i$ et d'un inverse de $2$. Donc grosso-modo la droite avec origine compléxifié est $\Z[1/2,i]$-isomorphe à la droite avec double origine (ce qui garantie que c'est un schéma sur $\Z[1/2,i]$) mais comme les deux objets peuvent être défini sur $\Z$, on peut se poser la question de est-ce qu'ils sont $\Z$-isomorphe (disons $\Z[1/2]$) ! La réponse est je ne pense pas : puisque si on regarde les points sur $\Z$ on a le point $(0,1)$ et $(0,0)$ dans la droite avec double origine mais on a pas de point dans la droite avec origine complexifié (je redonne le foncteur point ) :
$$
\mathcal{I}_0(R) = \{ (x,t) \in R \times R/xR \mid t^2+1=0 \in R/xR \}
$$
si on prend $R = \Z$ et $x=0$ l'anneau $R/xR$ c'est $\Z$ et on a pas de solution de $t^2+1 =0$.

Donc : droite avec origine compléxifié et droite avec origine double : c'est localement pareil (localement au sens où si on monte les scalaire à $\Z[1/2,i]$) mais c'est pas pareil !

Bon ça c'est du blabla pour essayé d'expliquer mais j'essaye de voir avec le cahier des charges (qui fait vraiment flipper) si on retrouve ça ! (c'est pas gagné pour l'instant, c'est vraiment trop cryptique) ! Beh c'est certain que ça raconte un truc très concret mais quoi ?

Ps / je ne vais pas y passer trop de temps t'inquiète, c'est des choses un peu perso quand j'était petit j'ai passé "un peu" de temps a essayé de comprendre le cours de Toen imagines toi que c'est vraiment un cours de M2, c'est dingue de chez dingue, non ??? (c'est parce que l'on m'a demandé de lire ce genre de truc, pourquoi ? aucune idée) Bref, je vais juste passer quelques jours à y réfléchir (en fait ca me repose, oui je sais je ne suis pas net comme garçon :-D) et voir si on peut construire un petit exemple simple (ca suffira à mon bonheur) :-D

je mets $2$ petits brouillons, juste essayé d'expliciter quelques non dit dans le dernier paragraphe de D. Madore ! (c'est juste pour garder une petite trace de réflexion) !

Hello
Je pense que c'est ok pour la première définition avec la droite compléxifié à l'origine. Enfin y a l'histoire de quasi-compact que je n'ai pas regardé mais le reste semble ok :-D

Y a deux trucs.

a/ Le lien entre $1$ et $2$ ne semble pas complexe partant de $1$, on obtient la relation d'équivalence via une construction, disons lorsque l'on a un ensemble $X$ avec une relation d'équivalence $R$ : on a la projection canonique $\pi : X \to X/R$ et disons que si on a $\pi$ et bien on a également $R$ ! C'est expliqué dans stacks project ici page 12. le lemme 9.1. Du coup, si on réussit le $1$, on arrivera à avoir le point de vue $2$ qui est plus calculatoire !

b/ Heu comment on fait, je pense que je vais essayer de faire un max de trucs sur un pdf, en essayant d'être un peu soigneux sur les notations car c'est un peu case pied :-D

[Il n'y a pas d'apostrophe entre le y et le a de "[b]y a[/b]" (abréviation de "[b]il y a[/b]"). AD]

Hello,

Oui, oui " quasi-smooth " c'est " formellement lisse " c'est vraiment de la traduction mot à mot en terme du foncteur $\text{Hom}_A(B,\bullet)$. (c'est tout ce que je connais sur le sujet :-D) !

Sinon je galère je galère. En fait je ne comprends pas le mot surjectif dans la définition $1$ condition $b$ !

Claude, chat-maths, pour exemple concret du truc, je pense que je vais finir par abandonner c'est quasi-impossible de savoir ce qu'ils ont en tête (y'a 36 définitions différentes et pas trop trop de petits exemples à se mettre sous la dent) ! Je vais essayé de demander la réponse sur un forum anglais (j'ai vu qu'il y avais des pros du trucs qui traîne là bas) !

Chat-maths
Ok, bon ça me rassure alors !

Hum, sur un exemple les recouvrements étales ne peuvent pas être monstrueux à trouver (je veux dire les trucs ne peuvent pas partir dans le cosmos) ! Je réfléchis encore un peu, je ne vais pas y passer trop de temps (j'ai une semaine un peu chargée là), au pire je vais attendre les grandes vacances que tu apprennes les choses et tu m'expliqueras :-D

J'ai posé une question sur maths stack exchange (Oh tu n'as même pas le droit de dire " Hello " en début de message là-bas, c'est glacial de chez glacial :-D)

Chat-maths :

Hum une question : est-ce que tu peux décrire les choses concernant la droite avec origine doublé en terme de relation d'équivalence ?

Si je suis ton idée, j'ai l'impression que l'on va prendre $X_0 = \mathbb{A}^1 = \text{Spec}(\Z[ U ])$, et ensuite $X_1 \to X_0 \times X_0$ (avec $V$ une seconde variable) qui est donné par $D(UV) \cap \mathcal{V}(U-V)$ ? Ets-ce que j'ai bien compris l'idée ta construction ?

Mais le truc c'est que pour la droite avec origine doublé, l'objet sur lequel il y a une relation d'équivalence c'est $X_0 = \mathbb{A}^1 \coprod \mathbb{A}^1$ pas $\mathbb{A}^1$ !

C'est un peu délicat de bien comprendre mais j'ai l'impression que le $X_0$ doit être $\mathbb{A}^1_{\C} \coprod \mathbb{A}^1_{\C}$ (vu comme $\R$-schéma) !

Ps / peut-être que je vois très très mal !

Ps / j'ai bien un morphisme $\mathbb{A}^1_{\C} \coprod \mathbb{A}^1_{\C} \to \mathscr{X} \times \C$ dans mon diagramme avant ! (ce qui permettait de faire les liens) ! (avec $\C = \Z[1/2,i]$ :-D)

Chat-maths : c'est dingue que l'on galère sur une relation d'équivalence (c'est censé être une notion de première année :-D) …Dans tous les cas, ça permet d'y réfléchir un peu, je t'avoue que j'ai eu du mal à visualiser ce que l'on voulait exactement, en lisant tes message j'ai un peu mieux compris !

Y'a des trucs dans Knutson dans le premier chapitre il explique un peu les choses sans être trop trop formelle (ca peut donner des idées) ! (Dans " Champs algébrique " : je pense que c'était pas le but de donner des exemples c'est vraiment trop haut niveau, sinon y'a un livre d'Artin également ! Dans stacks : hum bah c'est stacks !)

Pour mon histoire : Est-ce que tu sais relier les solutions de $x^2=x$ et celles de $x^2+1=0$ dans un anneau $R$ où il existe $i$ tel que $i^2+1=0$ (donc une solution) et $2$ inversible dans $R$? C'est ça qui fait le lien (calculatoire) entre la droite avec double origine et la droite avec origine complexifié !

Y'a un petit calcul mais en terme de $\text{Spec}(R)$ on doit pouvoir dire pour $x$ un solution de $x^2+1 = 0$ dans $R$, on considère $\text{Spec}(R) = V(x=i) \cup V(x=-i)$ et montrer que $V(x=-i) \cap V(x=i) = \emptyset$ ce qui doit faire sortir deux idempotents ? (j'suis nul avec le spectre premier :-D) ! Hum, je ne suis pas certain que c'est ce que je voulais dire exactement :-D

Hum en plus clair sur un anneau intègre (donc modulo un idéal premier de $R$) on a soit $x =i$ ou soit $x=-i$ mais pas les deux en même temps (puisque $2$ est inversible on ne peux pas avoir $i=-i$). Donc une décomposition de $\text{Spec}(R) = V(x=i) \cup V(x=-i)$ et comme l'intersection des deux est vide on a une décomposition en deux composantes connexes donc deux idempotents complémentaire $e$ et $1-e$. On a envie d'écrire $x = (1-e) i +e (-i)$ dans $R$. Mais là c'est valide sur tous les idéaux premiers donc la différence est nilpotente ! (on avait fait ça avec Claude mais en supposant l'anneau connexe mais je pense que ça fonctionne sans l'hypothèse connexe) !

Je ne suis pas certain de ne pas dire n'importe quoi :-D