Espace algébrique

Chat-maths : C'est tout bon pour moi pour la droite double origine ! La galère pour comprendre cette petite histoire de relation d'équivalence :-D
Je ne sais pas du tout si je peux faire pareil avec l'autre bidule complexifié (je suis d'une lourdeur dans cette histoire :-D). Je détails mais c'est tout trivial sauf boulette de ma part !

Donc l'idée c'était de voir $\mathbb{A}^1 \coprod \mathbb{A}^1$ comme $X_0 \subset \mathbb{A}^2$ des couples $(x,y)$ tel que $y^2 =y$ et la projection vers la droite double comme $\Pi : (x,y) \mapsto (x,y \pmod{x})$. (je ne mentionne pas les anneaux histoire de ne pas alourdir le truc) ; La droite double origine son petit nom c'est $\Lambda$ :

Donc relation d'équivalence c'est un sous-schéma de $X_0 \times X_0$ qui ici sera vu comme :
$$
X_0 \times X_0 = \{(x_1,e_1,x_2,e_2) \in \mathbb{A}^2 \times \mathbb{A}^2 \mid e_1^2 =e_1\, , \, e_2^2 = e_2 \}
$$
Donc en appliquant la proposition, il s'agit de prendre $\mathcal{R} \subset X_0 \times X_0$ l'ensemble des couples $(a,b)$ tel que $\Pi(a) = \Pi(b)$. Donc dans notre contexte, il s'agit de :
$$
\mathcal{R} = \{ (x_1,e_1,x_2,e_2) \in \mathbb{A}^4 \mid x_1 = x_2 \ \, \ e_1^2 = e_1 \, , \, e_2^2 = e_2 \, , \, e_1 = e_2 \pmod{x_1} \}
$$
La problématique est ici de d'écrire de manière plus équationnelle la dernière condition par que la on voit pas trop que c'est un sous-schéma ! Mais dire que deux idempotents $e_1,e_2 \pmod{x}$ sont égaux reviens à dire $e_1 \ne 1-e_2$ et donc $e_1+e_2-1$ inversible $\pmod{x}$. Ce qui donne :

$$
\mathcal{R} = \{ (x_1,e_1,x_2,e_2) \in X_0 \times X_0 \mid x_1 = x_2 \ , \ \langle x_1, e_1+e_2-1 \rangle =R \}
$$

C'est la seule chose qui est importante c'est ça au lieu d'introduire des variable supplémentaire pour traduire une égalité modulo $x$ comme on avait fait au tout début je transforme ça en une condition ouverte !

Le sous-foncteur $\mathcal{R}$ est bien une relation d'équivalence et c'est un sous-schéma de $X_0 \times X_0$.

Il y a trois axiomes à vérifier (c'est évident avec la première description) :

(Réflexivité) Il s'agit de prouver que $(x_1,e_1,x_1,e_1) \in \mathcal{R}$. On a : bien $x_1=x_1$ et ensuite $$(e_1+e_1-1)^2 = 4e_1^2-4e_1+1 = 1$$
On en déduit que $e_1+e_2-1$ est inversible dans $R$.
(Symétrie) Sous l'hypothèse $x_1 = x_2$ on a : $\langle x_1, e_1+e_2-1 \rangle = \langle x_2, e_1+e_2-1 \rangle$.
(Transitivité) Il le plus simple est de dire que $ \langle x , e_1+e_2-1 \rangle = R$ signifie que $e_1 = e_2 \pmod{x}$. La transitivité est alors clair. J'aimerais bien voir le calcul en grand chiant que je suis !!!

$\bullet$ Maintenant le lien complet : On commence par étudier le foncteur quotient naïf $X_0 / \mathcal{R}$.

1. Le morphisme $\Pi$ se factorise en un morphisme $\overline{\Pi} : X_0 / \mathcal{R} \to \Lambda$. De plus, celui-ci est injectif.

Ceci est évident par construction en se rappelant que l'hypothèse $\langle x,e_1+e_2-1 \rangle$ signifie exactement que $e_1 = e_2 \pmod{x}$.

2. La dernière étape est de constater que la faiscautisation de Zariski associé a notre morphisme $X_0 / \mathcal{R} \to \Lambda$ est un isomorphisme. Il s'agit alors de montrer que tout point de $\Lambda$ est localement dans l'image de $\overline{\Pi}$. Je donne un exemple pour bien comprendre que l'on a pas surjectivité et qu'il faut prendre le faisceau associé au quotient naïf :

Exemple : Puisque $6^2 =36 = 6 \pmod{15}$ le couple $(15,6) \in \Z \times \Z(15)$ est un élément de $\Lambda(\Z)$. Par contre, il n'est pas dans l'image de $\overline{\Pi}$ puisque celà conduit à l'existence d'un idempotent non trivial de $\Z$.

Soit $R$ un anneau et $(x,e) \in \Lambda(R)$ notons $\varepsilon$ un relèvement quelconque de $e$ à $R$. Posons $a_1 = 1 - \varepsilon$ et $a_2 = \varepsilon$. Alors puisque $a_1+a_2 = 1$, ils recouvrent $R$. Posons $(x,0) \in X_0(R_{a_1})$ et $(x,1) \in X_0(R_{a_1})$, on constate que :
$$
\Pi(x,0) = (x,e)_{a_1} \qquad \qquad \Pi(x,1) = (x,e)_{a_2}
$$
En effet, dire que $a_1$ est inversible dans $R(x)$ signifie que $1-e$ est inversible et puisque $1-e$ est idempotent c'est que $e=0$. (c'est pareil que ce que j'avais déjà fait … bref c'est normal !!!)

Hello Claude
Oui c'est louche le coup de $e_1 =e_2$ si et seulement si $e_1 \ne 1-e_2$ ! Mais c'est comme ça que j'ai pensé à ça ! Mais c'est louche !

Par contre, $$

(e_1-e_2) \times (e_1+e_2-1) = (e_1-e_2) \times (e_1+e_2) -(e_1-e_2) = e_1^2-e_2^2 -e_1 + e_2 = 0 ,


$$ nous confirme que si $e_1+e_2-1$ est inversible alors $e_1=e_2$ et la réciproque si $e_1=e_2$ et bien : $$

(e_1+e_2-1)^2 = 4e_1^2-4e_1+1 = 1.

$$ C'est le coup symétrie / projecteur !
Je regarde ton histoire de localisé par rapport à $s$ !

Hum merci je vais réfléchir un peu si ça me permet de faire un petit calcul que je n'avais pas fait ! Je ne sais pas si c'est que je cherchais mais ça ne peut pas faire de mal :-D

Chat-maths : Oui la clause $\langle x, e_1+e_2 -1 \rangle =R $ c'est l'ouvert complémentaire de $V(I)$ avec $I = \langle x, e_1+e_2-1 \rangle$. Hum je commence à m'embrouiller !

Hello,

Du coup, je fais le coup pour la droite complexifié ! Je pense qu'il faudra encore un peu de temps pour bien comprendre mais ça a l'air de tenir la route … enfin vaudra tout reprendre, histoire de simplifier un peu !

Alors je note $S = \text{Spec}(\mathbb{Z}[1/2])$ et $S(i) = \text{Spec}(\mathbb{Z}[1/2,i])$. Et je note $\Z = \mathbb{Z}[1/2]$ (au pire on prend $\Q$, c'est pas le problème juste prendre un truc qui inverse $2$ et ne contient pas $i$ !

L'idée c'est de recoller deux droites $\mathbb{A}^1_{S(i)} := \text{Spec} \left( \Z[X,i ] / (i^2+1) \right)$ ou encore $\{(x,i) \in \mathbb{A}^2 \mid i^2 +1=0 \}$. Recoller le long de l'ouvert ($x$ inversible) et via un twist du style $i \mapsto -i$ (enfin un truc du genre) !

$\bullet$ Je vais suivre à peu près la même stratégie ! Remarque : j'ai changé le foncteur de D. Madore pour éviter un mélange entre " deux niveaux " de $i$ (en gros, a un moment y'a $4$ $i$ différents qui débarque et faut juste en identifier deux) : L'espace algébrique candidat c'est :
$$
\begin{array}{l|rcll}
\Lambda_\eta : & \Z-\text{Alg} & \longmapsto & \text{Ens} \\
& R & \longmapsto & \left\{ (x,t) \in R \times R(x) \mid t^2-6t+13= 0 \right\} \\
\end{array}
$$
J'ai noté $R(x) := R/xR$, l'équation $t^2-6t+13 = 0$ c'est polynôme minimal de $2i+3$, c'est pareil que $i$ puisque $2$ est inversible !

$\bullet$ Un dessin partie gauche pour l'instant :

$$
\xymatrix{
\mathbb{A}^1_{S(i)} \coprod \mathbb{A}^1_{S(i)} \ar[dd] && \\
&& \\
\Lambda_\eta \times S(i) \ar[rr] \ar[dd] &&S(i) \ar[dd] \\
&& \\
\Lambda_\eta \ar[rr] && S
}
\qquad \qquad \qquad
\xymatrix{
(x,t,i) \ar[dd] && \\
&& \\
(x,t \pmod{x},i) \ar[rr] \ar[dd] && i \ar[dd] \\
&& \\
(x,t \pmod{x})
\ar[rr] && \star
}
$$
Ce qui nous intéresse c'est la flèche de haut en bas (composé de deux flèches) !

$\bullet$ Je vais voir $ \mathbb{A}^1_{S(i)} \coprod \mathbb{A}^1_{S(i)}$ dans $\mathbb{A}^2_{S(i)} := \{ x,t,i) \in \mathbb{A}^3 \mid i^2+1 = 0 \}$ i.e $\text{Spec}\left(\Z[X,T,I] / \langle I^2 +1 \rangle \right)$.
$$
\mathbb{A}^1_{S(i)} \coprod \mathbb{A}^1_{S(i)} = \{ (x,t,i) \in \mathbb{A}^3 \mid i^2+1 = 0 \, , \, t^2-6t+13 =0 \} := \text{Spec} \left( \Z[X,T,I] / \langle I^2 +1, T^2-6T+13\rangle \right) =: X_0
$$
Les deux copies de $\mathbb{A}^1_{S(i)}$ on y pense comme deux droites horizontales l'une en $2i+3$ et l'autre en $-2i+3$ et on peut regarder la partie droite du diagramme.

$\bullet$ Là on veut trouver une relation d'équivalence (son graphe) sur $X_0$ i.e $\mathcal{R} \subset X_0 \times X_0$.
$$
\mathcal{R} := \Big\{ \big( \left(x_1,t_1,i_1\right),(x_2,t_2,i_2) \big) \mid x_1 = x_2 \ \, \ t_1 = t_2 \pmod{x_1}\Big \}
$$
Comme dans l'autre exemple, il faut traduire un peu mieux la condition avec les $\pmod{x}$ là je fais la même chose $t_1 = t_2$ si et seulement si $t_1 \ne \overline{t_2}$ et hop on trouve : $1 \in \langle x_1,x_2,t_1+t_2-6 \rangle$.

Bref, on peut écrire $\mathcal{R}$ comme réunion au sens (faisceautique ="schématique" ?) :
$$
\mathcal{R} = \mathcal{R}_1 \cup \mathcal{R}_2 \qquad
\left \{
\begin{array}{r c l}
\mathcal{R}_1 & = & \Big\{ \big( \left(x_1,t_1,i_1\right),(x_2,t_2,i_2) \big) \in X_0 \times X_0 \mid x_1 = x_2 \ \, \ x_1x_2 \text{inversible} \Big \} \\
\mathcal{R}_2 & = & \Big\{ \big( \left(x_1,t_1,i_1\right),(x_2,t_2,i_2) \big) \in X_0 \times X_0 \mid x_1 = x_2 \ \, \ t_1+t_2-6 \text{inversible} \Big \}
\end{array}
\right .
$$

Bref en notant $A = \Z[X,T,I] / \langle I^2 +1, T^2-6T+13\rangle$ il faut prouver que les deux $A$-algèbre :
$$
\frac{A[X_1,T_1,I_1,U_1]}{ \langle X-X_1, I_1^2+1, U_1 \times (X *X_1)-1, T_1^2-6T_1+13 \rangle} \qquad \qquad \frac{A[X_1,T_1,I_1,U_1]}{ \langle X-X_1, I_1^2+1, U_1 \times (T+T_1-6)-1, T_1^2-6T_1+13 \rangle}
$$
sont étales !

sage: def Jacob(F,X):
....:     R = F[0].parent()
....:     return matrix(R,len(X),len(F),[f.derivative(x) for f in F for x in X])

###  Pour la seconde
sage: Z.<x1,i1,t1,x2,i2,t2,u> = ZZ[]
sage: M = Jacob([x1-x2,i2^2+1,t2^2-6*t2+13,(t1+t2-6)*u-1],[x2,i2,t2,u])
sage: I1 = Z.ideal([i1^2+1,t1^2-6*t1+13])
sage: test = (I1+Z.ideal(M.det(),(t1+t2-6)*u-1,x1-x2,i2^2+1,t2^2-6*t2+13))
sage: 16 in test
True
sage: 8 in test
True
sage: 2 in test
True
sage: test.groebner_basis()
[1]
sage: M
[         -1           0           0           0]
[          0        2*i2           0           0]
[          0           0    2*t2 - 6           0]
[          0           0           u t1 + t2 - 6]
sage: M.det()
-4*t1*i2*t2 - 4*i2*t2^2 + 12*t1*i2 + 36*i2*t2 - 72*i2
sage: M.det().factor()
(-1) * 2^2 * (t2 - 3) * i2 * (t1 + t2 - 6)

###  Pour la première 

sage: M = Jacob([x1-x2,i2^2+1,t2^2-6*t2+13,(x1*x2)*u-1],[x2,i2,t2,u])
sage: test = (I1+Z.ideal(M.det(),(x1*x2)*u-1,x1-x2,i2^2+1,t2^2-6*t2+13))
sage: 16 in test  <---- cool 
True
sage: 2 in test   <--- c'est pas grave $2$ est inversible ici j'ai fais les calculs sur Z ! 
False

Bon normalement, je n'ai pas fait de boulette mais, je ne suis pas certain certain :-D

Coucou Claude,

Juste un truc je n'ai pas tout lu (je vais réfléchir à ton message): quand tu dis que $2$ inversible n'est pas utile : c'est pas $2$ en tant que $2$ lui même qui doit être inversible ! C'est juste le discriminant $\Delta$ qui est égal à $-16$ ici et c'est lui qui doit être inversible ! Est-ce que l'on se comprend ?

Pour le côté hermétique : oui je sais, c'est parce que je ne comprends pas trop bien ! Bon y'a un autre truc c'est que j'ai dis que je n'allais pas y passé trop de temps et ça fait deux semaines donc c'est déjà beaucoup il est temps de changer de joujou pour moi :-D

Bilan : beh c'est tout à reprendre un jour :-D