Règles de calcul

OShine · March 2020

Bonjour,

Bon voilà la notion d'anneau me remet dans mes difficultés :-(

Dans un anneau $A$ on a $\forall a \in A \ 0 \times a=a \times 0=0$
$\forall (a,b) \in A^2 \ (-a) \times b=a \times (-b)=-(a \times b)$

Je ne comprends rien aux démonstrations de mon livre.

$\times$ est distributive sur $+$ donc $a \times 0 + a \times 0=a \times (0+0) = a \times 0$ car $0+0=0$ puisque $0$ est le neutre de $+$.

Je ne comprends pas comment montrer que $a \times 0$.

[Utilisateur supprimé] · March 2020

Quelle est la question ?

Bbidule · March 2020

A été établi que: $a\times 0+a\times 0 = a\times 0~~(\star)$
Or, tout élément de $A$ admet un opposé pour $+$ dans $A$.
En particulier, l'élément $a\times 0$ possède un opposé pour $+$ dans $A$, que l'on note $-a\times 0$.
L'égalité $(\star)$ donne alors:
$$\left(a\times 0+a\times 0\right)+\left(-a\times 0\right) = a\times 0+\left(-a\times 0\right) $$
Donc, par associativité de $+$ et définition de l'opposé de $a\times 0$ pour $+$:
$$a\times 0+\left(a\times 0+\left(-a\times 0\right)\right) = 0 $$
Donc, par définition de l'opposé de $a\times 0$ pour $+$:
$$a\times 0+0 = 0 $$
D'où la conclusion, par neutralité de $0$ pour $+$.

nahar · March 2020

Bonjour,
Certaines notions ne sont pas vraiment nouvelles, il suffit de les adapter.
Exemple:avec élément simplifiable.
Pour passer de $x+3=3$, à $x=0$ tu ajoutes $-3$ qui est l'opposé de $3$.
Cordialement

OShine · March 2020

Merci !
En effet ces notions nouvelles me perturbent car pas habitué à les manipuler.

@Bidule

On a montré que $a \times 0 + a \times 0 = a \times 0 + 0$

Mon livre dit que $(A,+)$ est un groupe donc $ a \times 0$ est simplifiable.

Mais je n'ai pas compris le rapport entre $(A,+)$ est un groupe et $ a \times 0$ est simplifiable.

Pour le 2 :

$a \times (-b) + a \times b = a \times (b-b)= a \times 0 =0$ (jusque là je suis ok)

Donc $a \times (-b) = -( a \times b)$ Je n'ai pas compris comment on obtient ce résultat.

[Utilisateur supprimé] · March 2020

Le livre dit juste que $a \times 0 \in A$, et donc en tant qu'élément du groupe il est simplifiable (tout élément d'un groupe l'est, cf ici)
Pour le 2), c'est la définition de l'inverse l'opposé pour la loi additive $+$: $a \times (-b)$ est l'inverse de $a \times b$.

Edité: effectivement opposé et pas inverse !

nicolas.patrois · March 2020

L’opposé, pas l’inverse (on est dans un anneau).

OShine · March 2020

Merci beaucoup j'ai enfin compris (:D

En effet je note en gros sur mon cahier que : dans un groupe tout élément est régulier ou simplifiable puisque inversible.