Sous-groupe d'un groupe abélien fini

De mémoire, je n'ai jamais vu de démonstration "élémentaire" de ce résultat. Tu peux regarder l'exercice 52 de ce document, mais il me semble que cela tourne autour de la démonstration de l'unicité comme tu l'indiquais dans ton premier post (et donc ce n'est pas ce que tu cherches).

Bonjour
Je propose cette preuve qui ne fait pas usage de l'unicité de la décomposition en facteurs invariants. Je note: $\forall n \in \N^*, \:\Z_n = \Z/n\Z.$

Soit $G$ un groupe abélien fini et $H$ un sous-groupe de $G$ tels que $\displaystyle G \simeq \bigoplus_{i=1}^n \Z_{d_i},\quad H\simeq \bigoplus_{i=1} ^p \Z_{e_i}.$ $ \quad d_{i+1}\mid d_i, \:\:e_{i+1}\mid e_i, \:d_n > 1,\:\: e_p > 1.$

On prouve d'abord: $\boxed {\text {Lemme}:\: \: p\leqslant n. }\qquad$ Soit $\varphi: \quad G\to G,\quad x \mapsto e_p x.$
Alors $ e_p ^p =\text{Card} \left (H \cap \ker\varphi \right) \leqslant \text {Card}(\ker\varphi) = \displaystyle \prod _{i=1} ^n \frac {e_p}{e_p \wedge d_i}.\quad$ Cela entraîne $p\leqslant n~\square $

Démontrons maintenant : $\quad \forall s \in [\![1;n]\!] , \quad e_s \mid d_s.\qquad$ (avec la convention $ s\geqslant p \implies e_s =1.$)
Cela est vrai pour $s=1$ pour la raison que tu as indiquée: $e_1$ est l'exposant de $H$, qui divise celui de $G$ , égal à $d_1$.
Soit $s>1.\quad $Notons $f_i = \dfrac {e_i}{e_i \wedge d_s},\quad$ et considérons $\varphi: G \to G,\:\: x \mapsto d_s \:x.$
$\:\displaystyle \varphi (G) \simeq \bigoplus_{i=1} ^{s-1} \Z _{d_i/d_s}\:\:$ possède au plus $s-1$ facteurs non triviaux et $\displaystyle \varphi (H) \simeq \bigoplus _{i=1}^n \Z_{f_i}$ est un sous-groupe de $\varphi(G)$.
Le lemme, appliqué à $\varphi(G)$ et à $\varphi(H)$, permet alors d'affirmer que $f_s =1$, ce qui signifie $e_s \mid d_s ~\square$


( A la suite de la remarque judicieuse de Smab 92, que je remercie, cette preuve a été délestée d'une récurrence superflue.)