Sous-groupe d'un groupe abélien fini
Bonjour tout le monde !
Je vous explique mon problème : je me souviens avoir montré il y a 2ans, avec des outils tout à fait élémentaires, le résultats suivant (qui est tout a fait intuitif mais dans la démonstration n'est pas si facile).
Si G est un groupe abélien fini, si on note (Di) les entiers (se divisant successivement) qui définissent sa structure (à savoir que G est isomorphe à un produit de groupes cycliques de cardinaux ces Di) si on prend H un sous-groupe de G et (Ei) les entiers qui définissent sa structure de groupe alors Ei divise Di pour tout i.
Je ne retrouve plus de démonstration élémentaire de ce fait (j'en ai une qui reprend les idées de la démonstration de l'unicité d'une telle décomposition mais je suis sûr que l'on peut faire plus simple).
Pour débuter on peut dire qu'il est clair que E1 divise D1 car E1 est l'exposant de H et D1 l'exposant de G, j'aurais envie de faire une récurrence mais je n'aboutis à rien.
Merci de votre aide.
Je vous explique mon problème : je me souviens avoir montré il y a 2ans, avec des outils tout à fait élémentaires, le résultats suivant (qui est tout a fait intuitif mais dans la démonstration n'est pas si facile).
Si G est un groupe abélien fini, si on note (Di) les entiers (se divisant successivement) qui définissent sa structure (à savoir que G est isomorphe à un produit de groupes cycliques de cardinaux ces Di) si on prend H un sous-groupe de G et (Ei) les entiers qui définissent sa structure de groupe alors Ei divise Di pour tout i.
Je ne retrouve plus de démonstration élémentaire de ce fait (j'en ai une qui reprend les idées de la démonstration de l'unicité d'une telle décomposition mais je suis sûr que l'on peut faire plus simple).
Pour débuter on peut dire qu'il est clair que E1 divise D1 car E1 est l'exposant de H et D1 l'exposant de G, j'aurais envie de faire une récurrence mais je n'aboutis à rien.
Merci de votre aide.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_structure_des_groupes_abéliens_de_type_fini
L'exercice procède exactement de la manière que j'avais imaginé mais ça me semble vraiment trop compliqué par rapport à la simplicité et au caractère presque tautologique de l'énoncé.
Je propose cette preuve qui ne fait pas usage de l'unicité de la décomposition en facteurs invariants. Je note: $\forall n \in \N^*, \:\Z_n = \Z/n\Z.$
Soit $G$ un groupe abélien fini et $H$ un sous-groupe de $G$ tels que $\displaystyle G \simeq \bigoplus_{i=1}^n \Z_{d_i},\quad H\simeq \bigoplus_{i=1} ^p \Z_{e_i}.$ $ \quad d_{i+1}\mid d_i, \:\:e_{i+1}\mid e_i, \:d_n > 1,\:\: e_p > 1.$
On prouve d'abord: $\boxed {\text {Lemme}:\: \: p\leqslant n. }\qquad$ Soit $\varphi: \quad G\to G,\quad x \mapsto e_p x.$
Alors $ e_p ^p =\text{Card} \left (H \cap \ker\varphi \right) \leqslant \text {Card}(\ker\varphi) = \displaystyle \prod _{i=1} ^n \frac {e_p}{e_p \wedge d_i}.\quad$ Cela entraîne $p\leqslant n~\square $
Démontrons maintenant : $\quad \forall s \in [\![1;n]\!] , \quad e_s \mid d_s.\qquad$ (avec la convention $ s\geqslant p \implies e_s =1.$)
Cela est vrai pour $s=1$ pour la raison que tu as indiquée: $e_1$ est l'exposant de $H$, qui divise celui de $G$ , égal à $d_1$.
Soit $s>1.\quad $Notons $f_i = \dfrac {e_i}{e_i \wedge d_s},\quad$ et considérons $\varphi: G \to G,\:\: x \mapsto d_s \:x.$
$\:\displaystyle \varphi (G) \simeq \bigoplus_{i=1} ^{s-1} \Z _{d_i/d_s}\:\:$ possède au plus $s-1$ facteurs non triviaux et $\displaystyle \varphi (H) \simeq \bigoplus _{i=1}^n \Z_{f_i}$ est un sous-groupe de $\varphi(G)$.
Le lemme, appliqué à $\varphi(G)$ et à $\varphi(H)$, permet alors d'affirmer que $f_s =1$, ce qui signifie $e_s \mid d_s ~\square$
( A la suite de la remarque judicieuse de Smab 92, que je remercie, cette preuve a été délestée d'une récurrence superflue.)
J'ai tout de même toujours le souvenir que le truc que j'avais trouvé était encore plus simple (peut-être que je me trompe).