Spectre premier, spectre maximal

Les anneaux $\mathcal{M}_n(K)$ et $\mathcal{M}_n(A)$ ne sont pas commutatifs.

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un exemple sympathique.
$A[X]$ où $A$ est quelconque, c'est très dur. Essaye plutôt $A[X]$ où $A$ est euclidien, dans un premier temps. Ça te donnera déjà $\mathbb{Z}[X]$ et $K[X_1,X_2]$.
$\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ est aussi très compliqué je pense. Tu peux plutôt tenter le spectre maximal de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ dans cette veine.

Chat-maths : je confirme que $F(\mathbb R,\mathbb R)$ est compliqué, de manière générale pour un ensemble $I$ et une famille de corps $(k_i)_{i\in I}$ on sait décrire les idéaux premiers/maximaux de $\prod_{i\in I}k_i$, mais clairement ce n'est pas de l'ordre de l' "exercice pour apprendre un peu".
Sinon je confirme aussi le reste de ce que tu dis !

Homo Topi : tu pourrais, après t'être entraîné sur ces exemples concrets, regarder ce que tu peux dire du spectre de $A/I$ par rapport à celui de $A$, ou celui de $S^{-1}A$ par rapport à celui de $A$.

Connais-tu la correspondance entre idéaux d'un quotient et idéaux de l'anneau de départ vérifiant une certaine condition ? Ça peut grandement t'aider à déterminer les idéaux de $\mathbb Z/n \mathbb Z$, et de là lesquels sont premiers.

Soit $A$ un ACU et $I$ un idéal de $A$. Les idéaux de $A/I$ correspondent aux idéaux de $A$ contenant $I$ via $J \mapsto J/I$ (ou plutôt l'application réciproque $J \mapsto \pi^{-1}(J)$, avec $\pi$ la projection $A \to A/I$).

Oui.

N'est-ce pas la bijection que j'ai explicité plus haut (dans le cas des idéaux) ?

Poirot : oui oui bien sûr, je répondais à Homo Topi (qui n'avait écrit que "correspondent bijectivement")

Chat-maths : on pourrait aller encore plus loin et parler de congruences en algèbre universelle, ce qui couvrirait tous les cas d'un seul coup mais bon :-D

Pour ta dernière question : quid de $(4)$ dans $\mathbb Z/12\mathbb Z$ ?
Ce qui fait que $(4) =(2)$ dans ton exemple c'est que la valuation $2$-adique de $6$ est $1$ et pas plus.

Tu n'es pas allé au bout de la suggestion de Poirot : regarder quels sont les idéaux de $A/I$ en fonction de ceux de $A$ et de là lesquels sont premiers. En particulier, tu aurais peut-être intérêt à calculer $(A/I)/(J/I)$ si $I\subset J$ sont des idéaux de $A$.

La démonstration est "facile" : $A/J$ c'est exactement comme $A$, sauf que je décrète $j=0$ pour tout $j\in J$. $(A/I)/(J/I)$ c'est comme $A/I$, sauf que je décrète $j = 0$ pour $j\in J/I$; et $A/I$ c'est comme $A$ mais avec $i=0$ pour $i\in I$. Or $I\subset J$, donc décréter $i=0$ puis $j=0$, ça revient à décréter $j=0$.
(on peut rendre cette esquisse rigoureuse de plein de manières, une très sympathique est d'utiliser la propriété universelle du quotient)

Non, attention ! Ce sont les $(p)$ avec $p$ premier divisant $n$. Remarque que $(0)$ ne contient jamais $(n)$ !

$A[X]$ n'est pas principal en général, attention ! (La vie serait belle si c'était le cas :-D maks $\mathbb A^n$ serait moins intéressant)

Tu peux regarder quelle est l'intersection d'un tel idéal premier avec $A$ pour commencer

(Ça peut paraître pas ultra naturel, mais en fait il y a une justification schématique qui rend la chose naturelle. En l'état c'est un peu circulaire parce que tu fais ça pour apprendre les schémas, mais si tu veux on reviendra sur cet exemple quand tu en sauras un peu plus pour comprendre pourquoi c'est naturel de faire ça - en attendant, il faut me croire :-D )

Bonjour,
Quand on parle de " variétés algébriques ", c'est sur un corps k fixé. Une variété algébrique affine correspond à une "algèbre affine", soit une algèbre de type fini sur k (i.e. un quotient d'un anneau de polynômes par un idéal). Voir, par exemple, le premier chapitre de Hartshorne, Algebraic Geometry.
Un schéma comme Spec(Z[x]) n'est pas du tout ce type-là. Un "dessin" de Spec(Z[x]) se trouve dans Mumford, mais je ne sais plus où.
Cordialement.

En général, "variété algébrique", c'est entendu comme ensemble localement fermé (parfois irréductible) d'un espace projectif sur un corps $k$ (souvent algébriquement clos, car ça simplifie pas mal les choses). Pour ces choses là, il n'y a nul besoin de spectres premiers ou de spectre maximaux.

Vu que tu parles ici de $\mathrm{Spec}(A[X])$, et que tu avais un précédent fil sur les espaces localement annelés, ben les gens te parlent de schémas, car ces trucs là sortent du cadre des variétés algébriques "à l'ancienne", et rentrent dans le cadre des schémas affines (qui ne sont jamais rien que "l'opposé" des anneaux, en fait). Considérer une variété algébrique affine comme le spectre maximal d'une $k$-algèbre muni d'un faisceau structural (le faisceau des fonctions régulières sur cette variété), c'est déjà avoir un pied entier dans le point de vue schématique (il ne manquerait que de considérer le spectre premier plutôt que maximal pour avoir l'autre pied).

Encore une fois... "Groupe algébrique", c'est vaste :-D. Sans plus de précision, ça peut être l'un, l'autre, ou les deux!
C'est une vieille notion, qui n'a pas attendue l'existence des schémas pour exister, mais qui, comme toutes les notions de géométrie algébriques, a été transposée en "version schéma" plus tard, sans réellement changer de nom.

Du coup, selon le contexte et l'auteur, "un groupe algébrique", c'est soit une variété algébrique qui a de surcroit une structure de groupe, avec les opérations du groupe qui se trouvent être des morphismes entre variétés algébriques. Soit c'est un "schéma en groupe", c'est-à-dire un schéma, avec une structure de groupe dessus. Soit un schéma en groupe qui est de surcroit un schéma séparé intégral de type fini sur un corps $k$ (ce qu'on considère comme étant les schémas qui correspondent aux variétés algébriques "à l'ancienne"). D'ailleurs, encore pire, j'ai cru comprendre (je ne suis pas très bon avec les groupes algébriques, que ce soit dit) qu'on les considère en plus plutôt comme des foncteurs sur la catégorie des anneaux, c'est équivalent au point de vue schéma, mais c'est encore une "définition" différente .

Bref, bienvenu dans le bazar terminologique de la géométrie algébrique, où le même mot peut potentiellement signifier 3 trucs différents et dépend du contexte :-D

Mon doute n'était qu'un demi-doute :-D J'ai prévu de bosser sur le Milne "Algebraic groups" un de ces quatre et de ce que j'en ai feuilleté, c'est des foncteurs partout! (et les exposés dans SGA3 sur le sujet sont aussi tous fait sous le point de vue fonctoriel)

Bonjour,
Pour en revenir au début de ce fil, à savoir quels sont les idéaux premiers de A[X] lorsque A n'est pas un corps, cela peut être assez délicat.
Prenons un exemple simple (déjà en filigrane dans un post précédent): prenons A = C[T] l'anneau des polynômes à coefficients complexes. Alors A[X] s'identifie à l'anneau des polynômes à deux indéterminées C[T, X].
Ses idéaux premiers sont de trois sortes:
1°) L'idéal nul 0
2°) Un idéal principal (P(T, X)) où P est un polynôme irréductible
3°) Enfin les idéaux maximaux, tous de la forme (T - a, X - b) où a et b sont deux nombres complexes.
Si l'on s'en tient au point de vue des variétés algébriques classiques, où seuls les idéaux maximaux sont pris en compte, 3°) montre que l'ensemble des idéaux maximaux Spmax(C[T, X]) s'identifie à C².
Cordialement.

Je t'ai proposé un truc : pars de ton $I$ et regarde son intersection avec $A$. Qu'est-ce que tu peux dire sur ce que tu obtiens ? Quelle tête peut-il avoir ? etc.