Spectre premier, spectre maximal
Réponses
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Bon, donc on a montré que $\pi^{-1}\big( (\overline{Q})\big) \subseteq (Q,p)$. L'inclusion réciproque est triviale il me semble ? $Q$ est envoyé sur $\overline{Q}$ et $p$ sur $0$, donc c'est bon ?
EDIT : $Q$ est un polynôme tel que $\overline{Q}$ engendre l'idéal $\pi(I)$ dans $A[X]/(p)$. Reste à se débarrasser de $Q$... -
Non il faut pas se débarasser de $Q$ :-D
Tu peux prouver cependant que $\overline Q$ est irréductible sur $A/p$ (s'il est non nul) -
Je voulais voir si $(\overline{Q})$ est un idéal premier. Si c'est le cas, alors $\overline{Q}$ est irréductible dans $(A/(p))[X]$ d'après ce qu'on avait dit à la page précédente. Mais en l'écrivant :
Soient $\overline{U}, \overline{V}$ tels que $\overline{U} \overline{V} \in (\overline{Q})$. Alors il existe $\overline{W}$ tel que $\overline{U} \overline{V} = \overline{Q} \overline{W}$... et maintenant ?
EDIT : je doute m'en tirer comme ça, mais je ne vois pas comment faire autrement... -
Help ?
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Si $\overline U \overline V \in \pi(I)$, alors $UV\in \pi^{-1}(\pi(I)) = I$.
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Certes. Et comme $I$ est premier, $U$ ou $V$ est dans $I$, donc $\overline{U}$ ou $\overline{V}$ est dans $\pi(I) = (\overline{Q})$ et donc $(\overline{Q})$ est premier. Donc $\overline{Q}$ est irréductible d'après ce qu'on avait dit.
Et qu'est-ce que ça me dit sur $I$ ? -
Ça te dit que $I = (Q,p)$ avec $\overline Q$ irréductible ou nul. On a donc la classification :
Soit $I$ un idéal premier de $A[X]$, $A$ principal. Alors :
Ou bien $I=0$, ou $I =(Q) $ avec $Q$ primitif estirrèductible (donc irréductible sur $Frac(A)$ mais ça on l'a pas prouvé), ou $I =(p,Q)$ ave $p\in A$ premier et $Q$ nul ou irréductible mod $p$
C'est une belle classification non ? Puisqu'on se ramène à des irréductibles sur des corps/des premiers sur $A$ (donc des trucs "plus simples" à comprendre) -
Je reprends juste les choses dans l'ordre :
On est partis de $\pi(I) = (\overline{Q})$. On a montré que $\pi^{-1}\big( (\overline{Q}) \big) = (Q,p)$.
Sauf que d'après le fameux théorème d'isomorphisme, $\pi$ réalise une bijection entre les idéaux de $A[X]$ qui contiennent $(p)$ et ceux de $A[X]/(p)$. En l'occurence, $I$ et $(Q,p)$ contiennent $(p)$ et on a $\pi \big( (Q,p) \big) = \pi(I) = (\overline{Q})$, donc on peut conclure par l'injectivité de $\pi$ que $I=(Q,p)$.
Et oui, c'est une classification sympathique, le résultat est assez simple à écrire au final. 4 pages de boulot pour ça quand même !
Du coup il resterait à voir le résultat que tu as mentionné : si $Q$ est primitif et irréductible sur $A[X]$, alors il est irréductible sur $K[X]$ où $K=Frac(A)$. -
J'ai un théorème (ils appellent ça un théorème de Gauss) dans mon bouquin qui dit ça :
Si $Q$ est irréductible dans $A[X]$, alors soit $Q$ est un irréductible de $A$, soit $Q$ est irréductible et primitif sur $K[X]$. La deuxième cas permet directement de conclure ce qu'on voulait, il faut regarder le premier cas plus en détail.
Si $Q= q \in A$ est un polynôme constant irréductible et primitif, alors il me semble que $Q=q=1$. Dans ce cas, $Q$ est inversible, ce qui est absurde parce qu'il est censé être irréductible et qu'un polynôme irréductible est non inversible par définition.
Donc c'est bon ? -
C'est bon pour quoi ? que cherches-tu à prouver ?
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Ce que je disais à la toute fin de mon avant-dernier message !
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Oui, oui, mais tu caches sous le tapis la grosse partie du truc qui est le théorème de Gauss :-D
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Si un jour, je veux redémontrer ce théorème dont j'ai une démonstration détaillée dans mon livre, je le ferai. Pour l'instant, je ne veux pas passer de temps sur ça.
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Bon. Il est temps que je regarde un peu les exercices théoriques dont on avait parlé.
Alors... si $A$ est un ACU, et $I$ est un idéal de $A$, j'étais censé regarder le spectre de $A/I$ "à partir de" celui de $A$.
Soit $P$ un idéal premier de $A/I$, alors $(A/I)/P$ est un anneau intègre. Je sais que si $P$ est de la forme $J/I$, où $J$ est un idéal de $A$ contenant $I$, alors d'après le théorème d'isomorphisme qu'on a déjà mentionné 2-3 fois, on aura $(A/I)/P \simeq A/J$. Donc $P= J/I$ est un idéal premier de $A/I$ si, et seulement si, $J$ est un idéal premier de $A$. Idem pour idéal maximal, en fait.
MAIS
Il y a une question que je me pose depuis un moment, dans ce fil, à chaque fois qu'on mentionne ce théorème d'isomorphisme. Est-ce que tout idéal de $A/I$ est obtenu en quotientant un idéal de $A$ qui contient $I$ ? En écrivant la définition d'un idéal de $A/I$, je n'ai pas trouvé d'idée pour "remonter" dans $A$... -
Si $\pi$ est la projection $A \longrightarrow A/I$ et $J$ est un idéal de $A/I$ tu peux considérer $\pi^{-1}(J)$. Ça a déjà été dit plus tôt en plus.
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Oui... je suis fatigué. Je suis un peu malade ces temps-ci et ça n'aide pas à connecter toutes les informations ensemble.
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Bon : Il est 1h du matin et je n'arrive pas à dormir parce que le "télétravail" a perturbé mon rythme quotidien. Alors... le spectre de $S^{-1}A$, j'avais la réponse sur Wikipédia, donc je ne vais pas le refaire à la main exprès maintenant.
Il me reste comme exercice de déterminer le spectre maximal de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Déjà, quelques vérifications.
- C'est un anneau qui n'est pas un corps car une fonction continue qui s'annule quelque part ne peut pas avoir d'inverse.
- C'est un anneau qui n'est pas intègre car deux fonctions continues à supports compacts disjoints donnent un produit nul sans être nulles.
En ayant bidouillé un peu, j'en suis venu à penser le truc suivant :
Conjecture : Soit $I$ un idéal de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Alors il existe $A \subseteq \mathbb{R}$ telle que $I = \Big\{f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R}) \quad \Big| \quad f|_A = 0 \Big\}$
Déjà, toute partie qui est de cette forme est (assez trivialement) un idéal de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$. De plus, j'ai beaucoup de mal à imaginer qu'il existe des idéaux de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ qui ne seraient pas de cette forme... donc les parties de $\mathbb{R}$ et les idéaux de $\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$ seraient en bijection, ça m'a l'air sympa comme résultat si c'est vrai. Mais en admettant que ça l'est, je n'ai aucune idée comment commencer à démontrer ça. Un indice ? -
Ta bijection n'en est pas une car par exemple une fonction continue s'annulant sur $\mathbb Q$ est nulle partout ! Pour te restreindre un peu il faut réfléchir à quoi ressemble le lieu d'annulation d'une fonction continue.
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On t'avait vraiment demandé $C^0(\mathbb R,\mathbb R)$ ? ça me paraît tendu, je ne sais pas si je connais la réponse (peut-être qu'il y a quelque chose qui me manque ?)
D'ailleurs il te manque plein plein d'idéaux (d'idéaux maximaux, c'est moins certain, même s'il en manque aussi ici, mais je ne sais pas s'il en manque "plein plein")
J'aurais pensé à te proposer $C^0([0,1],\mathbb R)$, qui est déjà beaucoup plus tractable. -
Que penser de l'idéal engendré par la famille des fonctions $x\mapsto \sin(x/n)$ pour $n$ entier $>0$ ?
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Salut,
$I = \{f\in\mathcal{C}^0(\Bbb R,\Bbb R)\mid \exists n\in\Bbb N, f|_{]-\infty,n]}=0\}$ est un idéal strict inclus dans aucun $ \{f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R}) \mid f|_A = 0 \}$ (ce qui est plus fort que juste égal à aucun $ \{f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R}) \mid f|_A = 0 \}$).
En ravanche, dans $\mathcal{C}^0(K,\Bbb R)$, $K$ compact, tout idéal est inclus dans un $ \{f \in \mathcal{C}^0(K,\mathbb{R}) \mid f|_A = 0 \}$ (je dis ça comme ça, c'est peut-être HS).
[small]PS : Je n'ai pas lu ce qui s'est dit dans le reste du fil.[/small] -
Où l'on voit que la compacité du domaine, ça aide !
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GaBuZoMeu : je n'ai aucune idée à quoi il peut bien ressembler, ton idéal engendré par les $\sin(x/n)$... mais ça m'a l'air très moche !
Maxtimax : au début j'avais demandé si le spectre de $\mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ était un exercice réaliste, vous étiez d'accord entre vous que non, puis quelqu'un avait proposé $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.
Mais regardons donc plutôt $\mathcal{C}^0([0;1], \mathbb{R})$.
Je vais encore commencer par les idéaux de la forme "fonctions qui s'annulent quelque part". Il va falloir réfléchir à l'indication de Poirot : à quoi peut ressembler le lieu d'annulation d'une fonction continue ?
Déjà, j'ai les fonctions qui s'annulent en un nombre fini de points, ça c'est la partie facile.
Pour les fonctions qui s'annulent en un nombre infini de points, honnêtement, je ne sais pas comment décrire les choses proprement. Une fonction peut avoir une infinité dénombrable de zéros, elle peut s'annuler sur un intervalle (une réunion d'intervalles)... on s'y perd. -
Personnellement, je trouve $F(\mathbb R,\mathbb R)$ plus réaliste que $C^0(\mathbb R,\mathbb R)$ (il y en a un où je connais la réponse, et l'autre pas :-D ) mais effectivement, le premier non plus n'est pas évident, surtout si tu n'es pas habitué à la logique.
Pour la question de Poirot, si je décris le lieu d'annulation comme $f^{-1}(\{0\})$, est-ce que ça te permet d'en donner une propriété topologique ? -
Oui, c'est un fermé, donc un compact puisqu'on est dans $[0;1]$. Mais les compacts/fermés bornés de $[0;1]$, ça ne m'inspire pas une tonne non plus :-S
J'essaie d'imaginer le truc suivant : je prends donc une fonction continue $f : [0;1] \longrightarrow \mathbb{R}$. Si elle a un nombre infini de zéros :
- soit elle s'annule "$\mathbb{N}$ fois" : par exemple $f(1/n)=0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$
- soit elle s'annule "$\mathbb{Q}$ fois" et alors elle doit être nulle
- soit elle s'annule "$\mathbb{R}$ fois" et son lieu d'annulation est une réunion d'intervalles (fermés) non vides, auquel cas ça serait forcément une réunion finie de tels intervalles (ils ont chacun une longueur $> 0$). -
C'est tout ce que Poirot voulait essayer de t'entendre dire je pense : ça ne peut pas être une bijection puisqu'un ensemble et son adhérence ont nécessairement le même idéal associé !
Et attention, tu peux avoir une réunion dénombrable d'intervalles fermés disjoints tous de longueur $>0$ : il existe des séries convergentes !
Bon, en fait le problème ici c'est qu'on s'y prend mal: on ne va pas pouvoir classifier les idéaux de $C^0([0,1],\mathbb R)$ (je ne sais pas si une classification existe), ni même les idéaux premiers (il y a des ultrafiltres qui rentrent en jeu, c'est pas trop pénible mais c'est pas du tout évident). On veut vraiment classifier les idéaux maximaux.
Déjà, si on prend deux fermés $F$ et $G$, et disons $F\subset G$. Peux-tu relier $I(F)$ et $I(G)$ ? (où, pour tout fermé $K$, $I(K)=\{f\mid f_{\mid K} = 0\}$) -
Force est de reconnaître que ton dernier raisonnement c'est un peu n'importe quoi ! En plus $\mathbb Q$ n'est pas un fermé de $\mathbb R$.
Bon, tu as compris que le lieu d'annulation d'une fonction continue sur $[0, 1]$ était un fermé de $[0, 1]$. Qu'en est-il du lieu d'annulation commun à un ensemble de fonctions continues (en particulier, un idéal de telles fonctions) ? Ça te donnera une application $I \mapsto Z$ (je te laisse déchiffrer les notations) qu'il sera intéressant d'étudier ! -
Bon, alors si ça ne sert à rien de regarder les idéaux "quelconques", je vais pouvoir arrêter de me casser la tête avec ces trucs, parce que ça m'énerve. La topologie de $\mathbb{R}$ c'est un truc que je trouve tellement bordélique (il faut que je me réapprenne ça correctement).
Donc : uniquement les idéaux maximaux de $\mathcal{C}^0([0;1], \mathbb{R})$.
Si $F \subseteq G$, alors $I(G) \subseteq I(F)$.
Poirot : toute intersection quelconque de fermés est un fermé, donc le lieu d'annulation commun à un ensemble de fonctions... ben c'est un fermé ? Je suis censé trouver encore autre chose à dire dessus ? :-S
Ton application c'est un truc idéal $\longmapsto$ ensemble des zéros... je suppose que $I$ c'est un idéal de $\mathcal{C}^0([0;1], \mathbb{R})$ et que $Z$ c'est le lieu d'annulation commun à toutes les fonctions de $I$. -
La topologie de $\mathbb R$ n'a rien de compliqué : les ouverts sont réunions dénombrables d'intervalles ouverts deux à deux disjoints !
Effectivement, le lieu d'annulation de tout ensemble de fonctions continues sur $[0, 1]$ est un fermé. L'application $I \mapsto Z(I) := \{x \in [0, 1] \mid \forall f \in I, f(x) = 0\}$ va donc de l'ensemble des idéaux de $\mathcal C^0([0, 1], \mathbb R)$ dans l'ensemble des fermés de $[0, 1]$. Est-elle surjective ? Injective ? -
Bon tu as la bonne relation pour $I(G)$ et $I(F)$. Si $I(G)$ est maximal, qui peut donc être $G$ ?
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J'ai cru que j'avais écrit un message tout à l'heure, il a disparu ? Il y a peut-être eu un problème de connexion...
Je disais que pour la surjectivité de l'application de Poirot, c'est facile : pour tout fermé $F$, on considère les fonctions qui s'annulent sur $F$, ça forme un idéal $I$ et on a immédiatement que $Z(I)=F$. L'injectivité me donne plus de fil à retordre.
Maxtimax : Pour que $I(G)$ puisse être maximal, il faut que $G$ soit minimal ? Mais le plus petit fermé de $[0;1]$, au sens de l'inclusion, c'est $\varnothing$... sauf que l'ensemble des fonctions qui ne s'annulent nulle part, ça ne forme pas un idéal :-S -
L'ensemble des fonctions qui s'annulent sur $\emptyset$, c'est un idéal qui n'est pas propre : c'est l'anneau tout entier (attention, $I(F)$ n'est pas l'ensemble des fonctions qui s'annulent précisément sur $f$, c'est celles qui s'annulent notamment sur $F$)
Donc pour que $I(G)$ ait une chance d'être maximal, il faut que $G$ soit minimal ... parmi les non vides. -
Ah, oui, il faut que les idéaux maximaux soient propres. Enfin, si l'anneau de départ n'est pas déjà un corps. Du coup, ça me débarrasse du problème de $\varnothing$. Mais oui donc un idéal maximal sera associé à un fermé minimal non vide. Par contre, l'intersection de tous les fermés non vides de $[0;1]$ est vide puisque $[0;1]$ contient des fermés non vides disjoints, donc il faut trouver autre chose. Je pense qu'on peut prendre les singletons comme intersections... la famille des idéaux qui contiennent le point $a$ va avoir $\{a\}$ comme intersection. Difficile de faire plus petit en restant un idéal propre ! Mais je ne suis pas encore convaincu que ça marche... je réfléchis.
Poirot : j'avoue que je ne comprends pas. Il faut que je prenne les fonctions qui s'annulent exactement sur $F$ ? -
Tu n'as pas montré que pour tout fermé $F$ de $[0, 1]$, il existe un idéal $I$ de $\mathcal C^0([0, 1], \mathbb R)$ tel que $Z(I) = F$.
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Attention on parle bien de minimal, pas de minimum. Du coup, pour que $I(G)$ ait une chance d'être maximal, il faut forcément que $G=\{x\}$. Il faudrait maintenant vérifier que $m_x := I(\{x\}) = \{f\mid f(x)=0\}$ est un idéal maximal.
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Poirot : Je définis donc $I = \{f \in C^0([0;1], \mathbb{R}) \mid \forall x \in F : f(x)=0\}$. C'est un idéal, et $F \subseteq Z(I)$ par définition de $I$. Ce que je n'ai pas montré, effectivement, c'est que $Z(I) \subseteq F$. J'ai cherché un peu, je n'y suis pas arrivé... peut-être que ce n'est pas la bonne approche ? On traîne des idéaux et des fermés, donc je me dis qu'il va peut-être bidouiller un truc avec des intersections, mais je m'embrouille.
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Si tu prends un point dans $Z(I)$ qui n'est pas dans $F$, alors par définition si une fonction continue est nulle sur $F$, elle est aussi nulle en ce point. Reste donc à construire une fonction continue nulle sur $F$ et non nulle en ce point pour montrer qu'il n'y a en fait pas de tel point (ou même, carrément construire une fonction continue nulle uniquement sur $F$).
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Si je prends $x \in Z(I)$ tel que $x \notin F$, et si $f$ est nulle sur $F$, alors $f(x)$ peut valoir tout et n'importe quoi. $f$ peut très bien s'annuler en dehors de $F$, ou pas. Et même si je construis une fonction continue $f$, nulle sur $F$ telle que $f(x) \neq 0$ pour un certain $x \in Z(I)$, j'aurai démontré quoi ? Que $x \notin F$, ça ne m'arrange pas !
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Ben non, justement, $f(x)$ ne peut pas être égal à n'importe quoi si $x \in Z(I)$ et $f$ nulle sur $F$.
Si $f$ est nulle sur $F$, elle est dans $I$, et donc par définition de $Z(I)$, $f(x) = 0$ si $x \in Z(I)$.
Ou alors j'arrive comme un cheveu sur la soupe et on a pas les mêmes notations? Pour moi: si $A$ est un sous-ensemble de $[0,1]$, $I(A) = \{f \in \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}), f(A) = \{0\}\}$, et si $B$ est un sous-ensemble de $\mathcal{C}^{0}([0,1], \mathbb{R})$, alors $Z(B) = \{x \in [0,1],\, f(x) = 0\ \forall f \in B\}$. Là, ce que tu appelles $I$, c'est $I(F)$, on est d'accord sur ça? -
Tu as raison, je m'embrouille... j'ai du mal avec ces ensembles.
Je reprends. On suppose donc qu'il existe $x \in Z(I)$ tel que $x \notin F$. Si une fonction $f$ est nulle sur $F$, alors elle est dans $I$, donc $f(x)=0$.
Donc...
Si je suppose qu'il existe $x \in Z(I)$ tel que $x \notin F$, et que je construis une fonction continue $f$ nulle sur $F$ mais telle que $f(x) \neq 0$, j'obtiens une absurdité, donc il n'existe pas de $x \in Z(I)$ tel que $x \notin F$. Donc $Z(I) \subseteq F$. J'ai fini par comprendre.
Effectivement, si on arrive à construire une fonction $f$ qui est nulle uniquement sur $F$, c'est réglé. Par contre, vu la tronche d'un fermé de $[0;1]$, je ne sais pas encore comment faire. -
Dans un espace métrique $X$, on a certaines fonctions continues $X\to\Bbb R$ "gratuites" (peu importe la laideur de la situation). Par exemple des fonctions qui ne s'annulent qu'en un point. Et ensuite, on peut passer d'un point à un fermé.
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Je ne comprends honnêtement pas.
EDIT : ce message s'adressait à Calli. -
Poirot : OK, donc tu m'as donné la réponse.
Enfin... j'ai besoin de vérifier un petit détail. Si $(E,d)$ est un espace métrique et $F$ est un fermé de $E$, est-il toujours vrai et évident que $d(x,F)=0 \Longrightarrow x \in F$ ?
$d(x,F) = \inf \{d(x,y) \mid y \in F\}$. Donc si $d(x,F)=0$, alors cet $\inf$ vaut $0$ donc il est atteint puisque $F$ est fermé, donc il existe $y \in F$ tel que $d(x,y)=0$, sauf que ça c'est équivalent à $x=y$, donc $x \in F$. C'est bon.
Explication : J'ai une proposition dans mon bouquin qui dit que pour une partie $A$ d'un espace métrique $(E,d)$, on a $\{x \in E \mid d(x,A)=0\} = \text{Adh}_E(A)$. Sauf qu'ici mon $A$, c'est un fermé $F$, donc égal à son adhérence. Donc ça devient $F = \{x \in E \mid d(x,F)=0\}$, ce qui prouve bien le point en rouge qui manquait. -
Attention, rien n'indique que l'inf est atteint, il faut utiliser l'hypothèse que $F$ est fermé pour justifier ça.
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Un ensemble de réels dont la borne inférieure vaut $0$ ne contient pas forcément $0$...
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Résumé : si $F$ est un fermé de $[0;1]$, alors $x \longmapsto d(x,F)$ est une fonction continue de $[0;1]$ dans $\mathbb{R}$ qui s'annule exactement sur $F$.
Si $I = \{f \mid \forall x \in F : f(x)=0\}$, alors $x \longmapsto d(x,F)$ est dans $I$.
Donc $Z(I)$, c'est-à-dire $\{x \mid \forall f \in I : f(x)=0\}$ est contenu dans $F$ : si $x \in Z(I)$, alors $d(x,F)=0$, donc $x \in F$.
Oooookay. Compris.
EDIT : j'ai rectifié l'oubli. -
En tout cas, après moult cafouillages de ma part, on a vu que l'application $Z$ de Poirot est effectivement surjective.
Pour l'injectivité, je réfléchis. -
Ne cherche pas trop longtemps pour l'injectivité puisque c'est faux.
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