Bonjour
Est-ce quelqu'un connaît un exemple de groupe non abélien (fini ou non) dans lequel il existe un couple d'éléments qui commutent ?
On exclut bien sûr les cas où
1) les deux éléments sont inverses l'un de l'autre ;
2) l'un des deux est l'unité.
Merci d'avance,
L. Miclet
Réponses
Les matrices diagonales dans $GL_n(\R)$.
Les différentes puissances d'un élément.
Des permutations à support disjoints.
Les fonctions linéaires parmi $(\R^\R,\circ)$.
Et cetera. Les exemples sont nombreux.
A vrai dire, je trouve que c'est plus difficile de trouver un groupe qui ne possède pas de tel couple commutant qu'un groupe qui en possède un ($\mathfrak S_3$ est un exemple sans tel couple, si je ne me trompe pas).
Tout élément du centre commute avec tous les éléments du groupe.
Pour un exemple, les $p$-groupes ont toujours un centre non trivial, on peut donc prendre un des premiers non commutatif, $\mathcal D_4$ le groupe diédral à 8 éléments, vu comme le groupe des isométries planes laissant invariant un carré. Le centre est formé, outre l'identité, de la symétrie centrale, qui donc commute avec toutes les huit isométries de $\mathcal D_4$.
Alain.
$(1,2)$ et $(3,4)$ dans le groupe $\mathfrak{S}_4$ !
Des exercices sur les groupes dérivés te donneront sûrement des exemples concrets de groupes non abéliens avec des couples d'éléments non triviaux qui commutent. Mais les autres t'ont déjà donné du travail, ce que j'ai dit est plus théorique/général.
Dans un produit semi-direct $G\rtimes_\varphi H$ non abélien de deux groupes abéliens G et H on a plein de couples qui commutent (je pense aux couples de deux éléments de G ou deux éléments de H).
Il y a aussi beaucoup de paires d'éléments qui commutent dans $\mathbb H^\times$ (l'ensemble des quaternions inversibles), par un exemple toute paire de nombres complexes non nuls.
Bon, je m'arrête là. Tout ça pour dire que les exemples ne manquent pas !
miclet
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,115718,122867