Anneau Z[j]

Ce sont des questions très classiques. Si tu traites plusieurs sujets d'externe ou d'interne (épreuve 1 II de 2007) tu verras qu'elles reviennent de temps en temps.

Y a peut-être un problème de définition (ici) algébrique, polynôme minimal c'est du vocabulaire qui n'est pas donné en mpsi … mais dans livre de mpsi il y a certainement un exercice du genre !

Quelques questions

2)a)

$j$ vérifie l'équation $Z^3-1=0$

2)b) $\mathbb{Z}[j]$ est l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients entiers de puissances de $j$.

Soit $n$ un entier naturel non nul, il existe $d$ et $0\leq r<3$ tels que $n=3d+r$.

$1=j^n=j^{3d+r}=(j^3)^dj^r=j^r$ avec $0\leq r\leq 2$

Il est donc clair qu'en fait tout élément de $\mathbb{Z}[j]$ est de la forme $a+bj+cj^2$ avec $a,b,c$ des entiers.

Or, $1+j+j^2=\dfrac{1-j^3}{1-j}=0$ donc $j^2=-1-j$

Donc, $a+bj+cj^2=a+bj+c(-1-j)=a-c+(b-c)j$


PS:

2)c)
$\overline{j}=\text{e}^{-\frac{i2\pi}{3}}$

Si $z=a+bj$ avec $a,b$ des entiers.

$\displaystyle z\overline{z}=\left(a+\text{e}^{\frac{i2\pi}{3}}\right)\left(a+\text{e}^{-\frac{i2\pi}{3}}\right)=a^2+2ab\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+b^2$

Or, $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$ donc, $\displaystyle z\overline{z}=a^2-ab+b^2$
Or, $a^2-ab+b^2=\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}>0$
Donc, puisque $a,b$ sont des entiers, $a^2-ab+b^2$ est un entier strictement positif.

Si $u,v$ sont des éléments de $\mathbb{Z}[j]$ on a:

$N(u.v)=|uv|^2=|u|^2|v|^2=N(u)N(v)$.

Si $z\in \mathbb{Z}[j]$ est inversible alors il existe $z'\in \mathbb{Z}[j]$ tel que $zz'=1$.
et on a $N(zz')=|zz'|^2=1$.
Ainsi, $N(z)N(z')=1$
On vient de voir que puisque $z,z'$ sont des éléments de $\mathbb{Z}[j]$ alors $N(z),N(z')$ sont des entiers.
Ainsi, $N(z)$ est un entier naturel qui divise $1$ il est donc égal à $1$.

Juste une remarque : ta définition de $B$ (« posons... ») contient une légère erreur.

Pour terminer la question 2)c) il n'y a plus qu'à résoudre une équation diophantienne à deux variables. B-)-

Poli:

A quoi pensais-tu?

Tu veux montrer que cet anneau est l'anneau $\mathbb{Z}[X]/(P)$, avec $P=X^3-1$?

Et puis pour la question 2)b) pourquoi ne pas utiliser le 1)?

$X^3-1$ annule j.
L'idée est que $P=P_{annulateur} Q + R$. Du coup,
$P(j) =P_{annulateur}(j) Q(j) + R(j) =R(j) $.

Pour être en accord avec la question, le degré du polynôme minimal est 2. Il divise $X^3-1$.

Fin de partie:Pourtant tu as écrit: Or, $1+j+j^2=\dfrac{1-j^3}{1-j}=0$
ou alors quelque chose m'échappe.

C'est la même chez moi aussi, je vais commencer à en écrire aussi.
Bonne nuit.

Fin de Partie a écrit:

Pardon, j'ai donc mal compris.

En effet tu as mal compris :

Oshine a écrit:

Je ne souhaite pas essayer de traiter ce sujet je n'ai pas les connaissances pour, mais je me dis que ces premières questions sont peut être intéressantes pour moi.

Oshine a écrit:

Ok merci je vais chercher alors.

Pour la question 1)d)
$x\in \mathbb{Z}[j],y\in \mathbb{Z}[j]-\{0\}$,

$\displaystyle \dfrac{x}{y}=\dfrac{x\overline{y}}{y\overline{y}}=\dfrac{x\overline{y}}{N(y)}$

$x\overline{y}\in \mathbb{Z}[j]$ donc il existe $a,b$ entiers tels que $x\overline{y}=a+bj$
Par ailleurs, on sait que $N(y)$ est un entier naturel non nul.
Il existe $u,v,r,r'$ entiers tels que:
$a=N(y)u+r,b=N(y)v+r'$ avec $0\leq r<N(y),0\leq r'<N(y)$

On a donc $0\leq \dfrac{r}{N(y)}<1$ et $0\leq \dfrac{r'}{N(y)}<1$
Si $r=r'=0$ alors $\dfrac{x}{y}$ est un élément de $\mathbb{Z}[j]$ et le $q$ cherché est $\dfrac{x}{y}$.

On suppose que $r$, ou $r'$ n'est pas nul.
On a donc $0<\dfrac{r}{N(y)}<1$ ou $0< \dfrac{r'}{N(y)}<1$

On pose $q=u+vj$ c'est bien un élément de $\mathbb{Z}[j]$.
$\displaystyle \dfrac{x\overline{y}}{N(y)}-q=\dfrac{N(y)u+r}{N(y)}+\dfrac{N(y)v+r'}{N(y)}-(u+vj)=\dfrac{r}{N(y)}+\dfrac{r'}{N(y)}j$
On a vu plus haut que si $z=x_0+y_0j$ avec $x_0,y_0$ réels on a $N(z)=x_0^2-x_0y_0+y_0^2$

Pour $0 <y<1$, on considère la fonction $\varphi$ définie sur $[0;1]$ par $\varphi(x)=x^2-yx+y^2$.
L'étude de cette fonction montre qu'elle prend sa plus grande valeur en $x=0$ ou en $x=1$.
$\varphi(0)=y^2,\varphi(1)=1-y+y^2,\varphi(1)-\varphi(0)=1-y>0$ puisque $0< y<1$.
Donc le maximum de $\varphi$ est atteint en $x=1$ et vaut $1-y+y^2$
En étudiant la fonction $\psi$ définie sur $[0;1]$ par $\psi(y)=1-y+y^2$ on montre que cette fonction a un maximum, la valeur $1$, atteint en $y=0$ ou en $y=1$ et un minimum $\dfrac{3}{4}$, atteint en $y=\dfrac{1}{2}$ ce qui fait que:


Si $y\in ]0;1[,0<1-y-y^2<1$ et donc,
Si $(x_0,y_0)\in ]0,1[\times [0,1]$ ou $(x_0,y_0)\in [0,1]\times ]0,1[$ alors $N(x_0+y_0j)<1$


Ainsi, puisque $r$ ou $r'$ n'est pas nul alors $N\left(\dfrac{r}{N(y)}+\dfrac{r'}{N(y)}j\right)<1$ et le $q$ plus haut est celui cherché.

En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.

NB:
Je n'ai pas sorti de ma tête cette rédaction (que j'espère correcte sur le fond) en quelques secondes, hélas !

OShine:

Ma rédaction (que j'espère correcte) de quelques questions que tu as bien voulu partager ici ne fait appel à rien de compliqué, ni de trop élevé au niveau conceptuel.

La récurrence suggérée dans la question 1) est aisément mise en place quand on sait généraliser le constat suivant:

$A=2x^3+x^2+1,B=x^2+3,A-2xB=x^2-6x+1$ qui est un polynôme de degré inférieur à celui de $A$.
On a donc $A=Q+2xB$, avec $Q$ un polynôme de degré strictement plus petit que $A$.

Pour terminer la question 2)d):
Soit $x\in \mathbb{Z}[j]$ et soit $y\in \mathbb{Z}[j]-\{0\}$
On sait qu'il existe $q\in\mathbb{Z}[j]$ tel que $N\left(\dfrac{x}{y}-q\right)<1$
$N\left(\dfrac{x}{y}-q\right)=N\left(\dfrac{x-qy}{y}\right)=\dfrac{N(x-qy)}{N(y)}$

On sait que $N(y)>0$ quand $y$ est non nul donc: $N(x-qy)<N(y)$.

On pose $r=x-qy$ on a donc montré que:
Pour tout $x\in \mathbb{Z}[j]$ et pour tout $y\in \mathbb{Z}[j]-\{0\}$, il existe $q,r$ des éléments de $\mathbb{Z}[j]$
tels que $x=qy+r$ avec $N(r)<N(y)$.

Il me semble que cela permet de conclure que l'anneau $\mathbb{Z}[j]$ est euclidien.

Je crois que j'ai compris à quoi servait la question 1) dans l'esprit du sujet.
(j'étais parti bille en tête sur une autre idée)

Cela sert pour la question 2b)

Soit $n$ un entier naturel non nul et $a_0,a_1,..,a_n$ des entiers.
Il existe $u,v$ des entiers tels que: $\displaystyle \sum_{k=0}^n a_k \times j^k=u+vj$

Démonstration:

On considère le polynôme: $\displaystyle A(X)= \sum_{k=0}^n a_kX^k$ et le polynôme $B(X)=X^2-X+1$
D'après la question 1) il existe $Q,R$ deux polynômes de $\mathbb{Z}[X]$ tels que $A=BQ+R$ avec $R$ de degré strictement plus petit que $B$ (qui est de degré $2$) ou $R=0$.

Donc il existe $u,v$ entiers naturels tels que $A(X)=B(X)Q(X)+u+vX$
Or, $B(j)=0$ donc $A(j)=u+vj$

C'était ce que me suggérait Poli plus haut j'imagine.