Racine réelle d'un polynôme de degré $3$
Bonjour à tous
J'aimerais expliciter la suite définie par récurrence suivante. $$
\left\{
\begin{aligned}
&p_1=p_2=0,\ p_3=\tfrac{1}{8}\\
\forall n\geq 1,~ &p_{n+3}=\tfrac{1}{2}p_{n+2}+\tfrac{1}{4}p_{n+1}+\tfrac{1}{8}p_{n}
\end{aligned}
\right.
$$ L'équation caractéristique est $8X^3-4X^2-2X-1=0$, une étude de fonction permet d'affirmer qu'elle admet une solution réelle et deux complexes conjuguées, la trouvaille de l'unique racine réelle me permettra de déterminer les deux autres et ensuite d'appliquer le lemme des noyaux pour déterminer l'expression de $p_n$ pour tout $n$ non nul.
Cependant je ne parviens par à trouver cette fameuse racine réelle, elle ne me paraît pas évidente.
J'aimerais savoir si il n'y a que la méthode classique pour factoriser un polynôme de degré $3$ en éliminant le coefficient du terme de degré $2$.
Cordialement.
J'aimerais expliciter la suite définie par récurrence suivante. $$
\left\{
\begin{aligned}
&p_1=p_2=0,\ p_3=\tfrac{1}{8}\\
\forall n\geq 1,~ &p_{n+3}=\tfrac{1}{2}p_{n+2}+\tfrac{1}{4}p_{n+1}+\tfrac{1}{8}p_{n}
\end{aligned}
\right.
$$ L'équation caractéristique est $8X^3-4X^2-2X-1=0$, une étude de fonction permet d'affirmer qu'elle admet une solution réelle et deux complexes conjuguées, la trouvaille de l'unique racine réelle me permettra de déterminer les deux autres et ensuite d'appliquer le lemme des noyaux pour déterminer l'expression de $p_n$ pour tout $n$ non nul.
Cependant je ne parviens par à trouver cette fameuse racine réelle, elle ne me paraît pas évidente.
J'aimerais savoir si il n'y a que la méthode classique pour factoriser un polynôme de degré $3$ en éliminant le coefficient du terme de degré $2$.
Cordialement.
Réponses
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Si seul le comportement de la suite importe, on peut montrer qu'elle converge vers $0$ avec peu de calculs (quelles que soient les conditions initiales d'ailleurs).
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On observe que les $p_n$ sont des rationnels de dénominateurs des puissances de $2$.
Par le changement de variables $p_n =q_n /2^n$, on obtient que $q_n$ vérifie $q_1 =q_2 =0$, $q_3 =1$ et $q_{n+3}=q_{n+2}+q_{n+1}+q_n$, $n\geqslant 1$. Donc $(q_n )$ est un suite d'entiers, une sorte de "suite de Fibonacci généralisée". Son équation caractéristique est $x^3 =x^2 +x+1$, qui possède une solution réelle et deux solutions complexes conjuguées. La théorie des suites récurrentes linéaires dit que $q_n$ a une expression de la forme $C_1 \, \lambda^n +C_2 \, \mu^n \cos (n\omega )+ C_3 \, \mu^n \sin (n\omega )$, $n\geqslant 1$. Peut-on espérer que cette expression se simplifie ? Rien n'est moins sûr, car l'expression du terme général de la suite de Fibonacci ne se simplifie par particulièrement ... -
Bonjour Paul Broussous,
merci pour le changement de variable (très bien vu). On a dans cette expression $6$ inconnues ($C_1,\,C_2,\,C_3,\,\lambda,\,\mu,\,\omega$), et on peut calculer les $6$ premiers termes pour avoir $6$ équations : avec $q_1=q_2=0,\ q_3=1,\ q_4=1,\ q_5=2$ et $q_6=4$, on a $$
\left\{
\begin{array}{ccccccc}
C_1\lambda&+&C_2\mu\cos(\omega)&+&C_3\mu\sin(\omega)&=&0\\
C_1\lambda^2&+&C_2\mu^2\cos(2\omega)&+&C_3\mu^2\sin(2\omega)&=&0\\
C_1\lambda^3&+&C_2\mu^3\cos(3\omega)&+&C_3\mu^3\sin(3\omega)&=&1\\
C_1\lambda^4&+&C_2\mu^4\cos(4\omega)&+&C_3\mu^4\sin(4\omega)&=&1\\
C_1\lambda^5&+&C_2\mu^5\cos(5\omega)&+&C_3\mu^5\sin(5\omega)&=&2\\
C_1\lambda^6&+&C_2\mu^6\cos(6\omega)&+&C_3\mu^6\sin(6\omega)&=&4
\end{array}
\right.
$$ Théoriquement, on peut résoudre mais beaucoup trop de calculs. Dans mon exercice, le but était de trouver l'espérance d'une certaine probabilité dont j'ai pu trouver l'expression implicite (la récurrence), je peux calculer l'espérance grâce à la formule de récurrence et non la formule explicite.
Merci Paul pour votre réponse.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
Paul Broussous écrivait:
> L'expression du terme général de la suite de Fibonacci ne se simplifie par particulièrement
Il me semble que $$F_n=\frac{1}{\sqrt5}\Big(\big(\frac{1+\sqrt5}{2}\big)^n-\big(\frac{1-\sqrt5}{2}\big)^n\Big).
$$ -
Oui la formule "qui ne se simplifie pas" à laquelle je pensais est celle que vous donnez. On est déçu d'exprimer un entier avec une racine de $5$. On peut développer et exprimer les [large]F[/large]ibonacci avec une somme de coefficients binomiaux, mais on n'est guère avancé. Finalement le propriétés utiles des [large]F[/large]ibonacci se montrent souvent par récurrence.
[Leonardo Fibonacci (1175-1250) prend toujours une majuscule. AD] -
Dans la fiche Wikipédia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Généralisations_des_nombres_de_Fibonacci#Augmentation_de_l'ordre_de_la_récurrence
qui traite des généralisations de la suite de Fibonacci, il est question de la suite qui nous intéresse (valeurs initiales $0$, $0$, $1$, récurrence $f_{n+3}=f_{n+2}+f_{n+1}+f_n$). Ils l'appellent la suite de "Tribonacci" et donnent une formule du terme général en fonction de $n$. -
Tout dépend de ce que l'on veut, au juste.
Si l'on veut des formules explicites pour les racines de l'équation $x^3-x^2-x-1=0$, la méthode de résolution par radicaux d'une équation du troisième degré est bien connue, même si elle n'est plus enseignée depuis longtemps, très longtemps. Voir par exemple : https://math.stackexchange.com/questions/819464/best-way-to-solve-x3-x2-x-1-0/819749.
On peut aussi adopter une autre approche. Comme il a été signalé, l'étude de la fonction $x \mapsto x^3-x^2-x-1$ montre que ce polynôme a une seule racine réelle $\alpha$ et que $ \alpha \in ]1,2[$. Un calcul numérique montre que $\alpha \simeq 1,839286755$. Par suite, ce polynôme a aussi deux autres racines, complexes non réelles conjuguées $\beta$ et $\overline{\beta }$, telles que : $|\beta|=|\overline{\beta }|= \frac 1{ \sqrt {\alpha}}<1$.
Si l'on a une suite $u_n$ réelle ou complexe telle que pour tout $n \in \mathbb N$, $u_{n+3}=u_{n+2}+u_{n+1}+u_n$ alors l'équation caractéristique de cette récurrence est $ x^3-x^2-x-1=0$ et comme elle a trois racines complexes distinctes, il existe des constantes complexes $\lambda$, $\mu$, $\nu$ telles que pour tout $n \in \mathbb N$,
$u_{n}=\lambda \alpha ^{n}+\mu \beta ^{n}+\nu \overline{\beta }^{n}$. Pour le prouver, il est vrai qu'on peut utiliser le lemme des noyaux mais ce n'est pas indispensable.
Si $u_0,u_1,u_2$ sont réels, alors $\lambda \in \mathbb R$, et, pour tout $n \in \mathbb N$, $u_{n}=\lambda \alpha ^{n}+\mu \beta ^{n}+\overline{\mu }{\overline{\beta }}^{n}$. C'est le cas pour la suite dite « de Tribonacci », avec une sorte d'humour que pour ma part je trouve lourdingue. https://oeis.org/A000073
Si $|z|< \frac 1{\alpha}$ alors $\lim_{n \rightarrow + \infty }( u_{n}z^{n})=0$, quels que soient $u_0,u_1,u_2$, comme il est dit plus haut. Sous la même hypothèse, on peut calculer $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}u_{n}z^{n}$ en fonction de $u_0,u_1,u_2,z$ seulement, sans $\alpha$, $\beta$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$.
Il faut bien préciser que tout ceci est lié au fait que $\alpha$ est un nombre de Pisot, et je regrette que les références qu'on trouve à ce sujet ne le mentionnent pas.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
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